Rechenübung am 18. November 1999

Berechnung von

Schwerpunkten und Trägheitsmomenten

Der Schwerpunkt und das Trägheitsmoment sind durch ähnliche Integralausdrücke definiert:

$$\vec{r}_{S} = \frac{1}{m} \int \vec{r} dm = \frac{1}{m} \int \rho(\vec{r}) \vec{r} dV$$

$$I = \int r^{2} dm = \int \rho(r) r^{2} dV$$

Allerdings sind in diesen beiden Formeln das $r$ völlig anders definiert. Beim Schwerpunkt ist $r$ der Abstand von einem festen Punkt, beim Trägheitsmoment ist $r$ der Abstand von der Drehachse. Einfache Beispiele wurden bereits in der Vorlesung diskutiert. Zur Übung sollen hier weitere Beispiele gerechnet werden. Um diese Integrale lösen zu können, benötigt man allerdings häufig Zylinder- und Kugelkoordinaten. Diese erhält man aus den kartischen Koordinaten durch die Umrechnung:
1. Zylinderkoordinaten:

$$x = \rho \; cos\varphi, \; \; \; \; \; y = \rho \; sin\varphi, \; \; \; \; \; z = z$$

$$\rho = sqrt{x^{2} + y^{2}}, \; \; \; \; \; \varphi = arctg(y/x) = arcsin(y/\rho).$$

2. Kugelkkordinaten:

$$x = r \; sin\theta \; cos\varphi, \; \; \; \; \; y = r \; sin\theta \; sin\varphi, \; \; \; \; \; z = r \; cos\theta$$

$$r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \; \; \; \; \; \varphi = arctg(y/x), \; \; \; \; \; \theta = arctg \left( \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z} \right)$$

Die Volumenelemente sind gegeben durch:
1. Zylinderkoordinaten:
Aufgabe 1:
Gegeben sei ein homogener gerader Kreiskegel der Masse $M$ und Höhe $H$. Die kreisförmige Basisfläche habe den Radius $R$.
a) Ermitteln Sie den Schwerpunkt .
b) Wie groß ist das Trägheitsmoment bei Rotation um die Symmetrieachse, die durch den Mittelpunkt des Basiskreises und durch die Spitze des Kegels geht ?
Aufgabe 2:
Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Hohlkugel mit Radius $R$ und vernachlässigbar dünner Wandstärke.