\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{Rechen"ubung am 18. November 1999}
\large
\centerline{Berechnung von} 
\centerline{Schwerpunkten und Tr\"agheitsmomenten}
\normalsize
Der Schwerpunkt und das Tr\"agheitsmoment sind durch \"ahnliche
Integralausdr\"ucke definiert: 
\begin{eqnarray}
\vec{r}_{S} &=& \frac{1}{m} \int \vec{r} dm 
= \frac{1}{m} \int \rho(\vec{r}) \vec{r} dV \nonumber \\
I &=& \int r^{2} dm = \int \rho(r) r^{2} dV \nonumber 
\end{eqnarray}
Allerdings sind in diesen beiden Formeln das $r$ v\"ollig anders
definiert. Beim Schwerpunkt ist $r$ der Abstand von einem festen
Punkt, beim Tr\"agheitsmoment ist $r$ der Abstand von der Drehachse.
Einfache Beispiele wurden bereits in der Vorlesung diskutiert.
Zur \"Ubung sollen hier weitere Beispiele gerechnet werden. 
Um diese Integrale l\"osen zu k\"onnen, ben\"otigt man allerdings h\"aufig
Zylinder- und Kugelkoordinaten. Diese erh\"alt man aus den kartischen
Koordinaten durch die Umrechnung: \newline
1. Zylinderkoordinaten: \newline
\begin{eqnarray}
x &=& \rho \; cos\varphi, \; \; \; \; \; y = \rho \; sin\varphi, 
\; \; \; \; \; z = z \nonumber \\
\rho &=& sqrt{x^{2} + y^{2}}, \; \; \; \; \; \varphi = arctg(y/x) =
arcsin(y/\rho). \nonumber 
\end{eqnarray}
2. Kugelkkordinaten: \newline
\begin{eqnarray}
x &=& r \; sin\theta \; cos\varphi, \; \; \; \; \; 
y = r \; sin\theta \; sin\varphi, \; \; \; \; \; z = r \; cos\theta 
\nonumber \\
r &=& \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \; \; \; \; \; 
\varphi = arctg(y/x), \; \; \; \; \; 
\theta = arctg \left( \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
Die Volumenelemente sind gegeben durch: \newline
1. Zylinderkoordinaten:   
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \newline
Gegeben sei ein homogener gerader Kreiskegel der Masse $M$ und H\"ohe $H$.
Die kreisf\"ormige Basisfl\"ache habe den Radius $R$. \newline
a) Ermitteln Sie den Schwerpunkt . \newline
b) Wie gro"s ist das Tr\"agheitsmoment bei Rotation um die
Symmetrieachse, die durch den Mittelpunkt des Basiskreises und durch die
Spitze des Kegels geht ? 
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Berechnen Sie das Tr\"agheitsmoment einer Hohlkugel mit Radius $R$ und 
vernachl\"assigbar d\"unner Wandst\"arke.    
\end{document}

