\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{Rechen"ubung am 28. Oktober 1999}
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\centerline{\bf Differentiation und Integration von Vektoren}
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\vskip 5mm
In der Vorlesung wurden zeitabh\"angige Vektoren in der Form
\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $x(t)$ \\ $y(t)$ \\ $z(t)$ \end{tabular}
\right)
\end{displaymath}
dargestellt. Man kann das ganze auch als Summe dreier Einheitsvektoren
schreiben:
\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{tabular}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{tabular} \right) x(t)
+ \left( \begin{tabular}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{tabular} \right) y(t)
+ \left( \begin{tabular}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{tabular} \right) z(t)
= \vec{e}_{x} x(t) + \vec{e}_{y} y(t) + \vec{e}_{z} z(t).
\end{displaymath}
Mit dieser Schreibweise werden wir uns sp\"ater bei der Behandlung von
Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten (sog. krummliniege Koordinaten)
noch intensiver befassen. F\"ur die Skalarprodukte der Einheitsvektoren
gilt
\begin{eqnarray}
\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}_{j} &=& 1 \; \; \; fuer \; \; i = j  \nonumber \\ 
                              &=& 0 \; \; \; fuer \; \; i \neq j \nonumber
\end{eqnarray}
Ableitung nach der Zeit und Integration \"uber die Zeit wird komponentenweise
durchgef\"uhrt:
\begin{eqnarray}
\frac{d\vec{r}(t)}{dt} &=& \left( \begin{tabular}{c} $\frac{dx(t)}{dt}$ \\
$\frac{dy(t)}{dt}$ \\ $\frac{dz(t)}{dt}$ \end{tabular} \right) =
\vec{e}_{x} \frac{dx(t)}{dt} + \vec{e}_{y} \frac{dy(t)}{dt} + 
\vec{e}_{z} \frac{dz(t)}{dt} \nonumber \\
\int \vec{r}(t) dt &=& \left( \begin{tabular}{c} $\int x(t) dt$ \\ 
$\int y(t) dt$ 
\\ $\int z(t) dt$ \end{tabular} \right) = \vec{e}_{x} \int x(t) dt 
+ \vec{e}_{y} \int y(t) dt + \vec{e}_{z} \int z(t) dt \nonumber
\end{eqnarray} 
Weitere Regeln f\"ur die Ableitungen nach der Zeit:
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt} (\vec{r}_{1} + \vec{r}_{2}) &=& \frac{d\vec{r}_{1}}{dt}
+\frac{d\vec{r}_{2}}{dt} \nonumber \\
\frac{d}{dt} ( \varphi(t) \vec{r}(t) ) &=& \frac{d\varphi}{dt} \vec{r}
+ \varphi(t) \frac{d\vec{r}}{dt} \nonumber \\
\frac{d}{dt} (\vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{2}) &=& \frac{d\vec{r}_{1}}{dt}
\cdot \vec{r}_{2} + \vec{r}_{1} \cdot \frac{d\vec{r}_{2}}{dt} \nonumber \\
\frac{d}{dt}( \vec{r}_{1} \times \vec{r}_{2}) &=& \frac{d\vec{r}_{1}}{dt}
\times \vec{r}_{2} + \vec{r}_{1} \times \frac{d\vec{r}_{2}}{dt} \nonumber \\
\frac{d}{dt} \vec{r}(\varphi(t)) &=& \frac{d\vec{r}}{d\varphi} \cdot
\frac{d\varphi}{dt} \nonumber 
\end{eqnarray}
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{\bf Aufgabe 1:} \newline
Gegeben seien zwei Vektoren $\vec{u} = \vec{e}_{x} + \vec{e}_{y}$ und
$\vec{w} = \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}$, wobei $\vec{e}_{x}$, $\vec{e}_{y}$
und $\vec{e}_{z}$ die Einheitsvektoren entlang der Achsen eines
rechtwinkligen Koordinatensystems sind. Bestimmen Sie die Einheitsvektoren,
die sowohl auf $\vec{u}$ als auch auf $\vec{w}$ senkrecht stehen.
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{\bf Aufgabe 2:} \newline
Die Geschwindigkeit eines K\"orpers werde in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem durch folgende Gleichung beschrieben:
\begin{displaymath}
\vec{v}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $v_{x}$ \\ $v_{y}$ \\ $v_{z}$ 
\end{tabular}
\right) = \left( \begin{tabular}{c} $a \; sin(\omega t)$ \\ 
$b \; cos(\omega t)$ \\ $v_{0} + ct$ \end{tabular} \right).
\end{displaymath}
\newline
a) Berechnen Sie den Ortsvektor $\vec{r}(t)$, der die Bahn des K\"orpers
im Raum beschreibt ! Skizzieren Sie die Projektion der Bahn in die
$x-y$ Ebene. \newline
b) Welche Beschleunigungen wirken auf den K\"orper ?
\newline  \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 3:} \newline
Sei $\vec{e}(t)$ ein Einheitsvektor, der seine Richtung im Raum als
Funktion der Zeit \"andert. Berechnen Sie $\vec{e} \cdot d\vec{e}/dt$.
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 4:} \newline
Ein K\"orper bewegt sich auf einer Geraden  
\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \frac{\vec{r}_{1} + t \vec{r}_{2}}{1 + t}.
\end{displaymath}
a) Zu welchen Zeiten $t$ ist $\vec{r} = \vec{r}_{1}$ b.z.w. 
$\vec{r} = \vec{r}_{2}$ ? \newline
b) Zeigen Sie, da"s die Geschwindigkeit des K\"orpers immer entlang der
Geraden vom Endpunkt des Vektors $\vec{r}_{1}$ zum Endpunkt des Vektors
$\vec{r}_{2}$ zeigt !\newline
c) Wird der K\"orper beschleunigt oder gebremst ?
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\centerline{L\"osungen zu den Rechen\"ubungen am 28. Oktober 1999}
{\bf Aufgabe 1:} \newline
Als Ansatz setzen wir allgemein
\begin{displaymath}
\vec{v} = v_{x} \vec{e}_{x} + v_{y} \vec{e}_{y} + v_{z} \vec{e}_{z}.
\end{displaymath}
Der Vektor $\vec{v}$ soll senkrecht auf $\vec{u}$ und $\vec{w}$ stehen,
also
\begin{eqnarray}
\vec{u} \cdot \vec{v} &=& v_{x} + v_{y} = 0 \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; v_{y} = - v_{x} \nonumber \\
\vec{w} \cdot \vec{v} &=& v_{y} + v_{z} = 0 \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; v_{z} = - v_{y} = v_{x} \nonumber 
\end{eqnarray}
Die orthogonalen Vektoren sind also 
$\vec{v} = v_{x}(\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z})$. F\"ur einen
Einheitsvektor gilt $\vec{v} \cdot \vec{v} = 1$, d.h.
\begin{displaymath}
\vec{v} \cdot \vec{v} = v_{x}^{2} (1 + 1 + 1) = 3 v_{x}^{2} = 1
\; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; v_{x} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.
\end{displaymath}
Die L\"osung ist also
\begin{displaymath}
\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} ( \vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}).
\end{displaymath}
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
a) Gesucht ist
\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $\int v_{x} dt$ \\ $\int v_{y} dt$ \\
$\int v_{z} dt$ \end{tabular} \right) = \left( \begin{tabular}{c}
$-(a/\omega)cos(\omega t)$ \\ $(b/\omega) sin(\omega t)$ \\ 
$v_{o}t + (1/2) ct^{2}$ \end{tabular} \right) + \left( \begin{tabular}{c}
$x_{0}$ \\ $y_{0}$ \\ $z_{0}$ \end{tabular} \right).
\end{displaymath}
Die $x$- und $y$- Komponenten k\"onnen geschrieben werden als
\begin{displaymath}
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}/\omega^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}/\omega^{2}}
= 1
\end{displaymath}
Daher ergibt die Projektion auf die $x-y$ Ebene eine Ellipse mit den Achsen 
$a/\omega$ und $b/\omega$ und dem Mittelpunkt $(x_{0}, y_{0})$.
\newline \vskip 5cm
b) Die Beschleunigung ist
\begin{displaymath}
\vec{a}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $a_{x}$ \\ $a_{y}$ \\ $a_{z}$ 
\end{tabular} \right) = \frac{d}{dt} \left( \begin{tabular}{c}
$v_{x}$ \\ $v_{y}$ \\ $v_{z}$ \end{tabular} \right) =
\left( \begin{tabular}{c} $a\omega \; cos(\omega t)$ \\
$-a\omega \; sin(\omega t)$ \\ $c$ \end{tabular} \right).
\end{displaymath} 
\newline  \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 3:} \newline
F\"ur einen Einheitsvektor gilt $\vec{e} \cdot \vec{e} = 1$.
Differentiation dieses Ausdrucks ergibt 
\begin{displaymath}
\frac{d}{dt}(\vec{e} \cdot \vec{e}) = \frac{d\vec{e}}{dt} \cdot \vec{e}
+ \vec{e} \cdot \frac{d\vec{e}}{dt} = 0.
\end{displaymath}
Das Skalarprodukt ist kommutativ, daher muss $\vec{e} \cdot d\vec{e}/dt = 0$
sein. 
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 4:} \newline
a) Zun\"achst ist klar, da"s f\"ur $t=0$ der Vektor $\vec{r} = \vec{r}_{1}$
ist. Wir schreiben den Ausdruck etwas um:
\begin{displaymath}
\vec{r} = \frac{\vec{r}_{1}}{1+t} + \frac{t}{1+t} \vec{r}_{2}
= \frac{\vec{r}_{1}}{1+t} + \frac{1}{1/t + 1} \vec{r}_{2}.
\end{displaymath}
Hier sieht man jetzt, da"s f\"ur $t=\infty$ der Vektor $\vec{r} = \vec{r}_{2}$
wird.
\newline
b) Die Geschwindigkeit ist
\begin{displaymath}
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = - \frac{1}{(1+t)^{2}} (\vec{r}_{1}
+ t \vec{r}_{2}) + \frac{1}{1+t} \vec{r}_{2} = 
\frac{\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}}{(1+t)^{2}}
\end{displaymath}
Die Richtung der Geschwindigkeit ist also immer durch $\vec{r}_{2}
- \vec{r}_{1}$ gegeben.
\newline 
c) Die Beschleunigung ist
\begin{displaymath}
\vec{a} = \frac{2(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})}{(1+t)^{3}},
\end{displaymath}
zeigt von $\vec{r}_{2}$ nach $\vec{r}_{1}$, also entgegengestzt zur
Geschwindigkeit. Der K\"orper wird also gebremst. Insbesondere ist
die Beschleunigung nicht konstant.  
\end{document}

