\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{Rechen"ubung am 21. Oktober 1999}
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\centerline{\bf Einige einfache Aufgaben}
\centerline{\bf zur Addition von Geschwindigkeiten}
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{\bf Aufgabe 1:} \newline
Angenommen, Sie wollen  senkrecht zum Ufer in 200 Sekunden \"uber
einen 100 Meter breiten Fluss schwimmen. 
Die Flussgeschwindigkeit des Wassers betr\"agt 1 $m/s$. Wie schnell
m\"ussen Sie schwimmen k\"onnen und in welche Richtung m\"ussen Sie
schwimmen ? 
\newline   
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{\bf Aufgabe 2:} \newline
Ein Schiff segelt bei ruhigem Wasser mit einer Geschwindigkeit von
12 Knoten hart am Wind nach Westen. Der Wind kommt aus S\"udwesten mit einer
Geschwindigkeit von 3,5 $m/s$. Welche Windgeschwindigkeit und welche 
Windrichtung relativ zur Fahrtrichtung messen Sie als Skipper auf dem
Schiff ? 
\newline
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{\bf Aufgabe 3:} \newline
Ein Rheindampfer f\"ahrt zwischen zwei 100 $km$ entfernten Orten hin und her.
Mit dem Strom braucht er 4 Stunden, gegen den Strom 10 Stunden. Wie gro"s
ist die Geschwindigkeit des Stromes und wie gro"s ist die Geschwindigkeit
des Dampfers relativ zum Wasser ?
\newline
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{\bf Aufgabe 4:} \newline
Ein (nat\"urlich punktf\"ormiger) Tintenfisch schl\"aft in einer Ecke eines
rechtwinkligen Aquariums an der Wasseroberfl\"ache. Das Aquarium ist 8 $m$
lang und 3 $m$ breit. Die Wassertiefe betr\"agt 2,5 $m$. In der Mitte des
Bodens befindet sich ein Futternapf. \newline
a) W\"ahlen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die
Komponenten des Vektors vom Tintenfisch zum Futternapf an ! \newline
b) Welche Strecke legt der Tintenfisch zur\"uck, wenn er geradlinig zum
Futternapf schwimmt und welche Zeit ben\"otigt er bis dahin bei einer
konstanten Geschwindigkeit von 30 $cm/s\;$? \newline
c) Wie lang ist der k\"urzeste Weg, wenn er sich mit seinen Saugn\"apfen
an den W\"anden entlanghangelt und wie lange braucht er in diesem Fall
bei einer Geschwindigkeit von 10 $cm/s$ ?
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\centerline{L\"osungen zu den Rechen\"ubungen Nr.1}
\centerline{am 21. Oktober 1999}
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{\bf Aufgabe 1:} \newline
Bezeichnen wir die Flussgeschwindigkeit mit $\vec{v}_{1}$
und die Schwimmgeschwindigkeit relativ zum Wasser mit $\vec{v}_{2}$,
so ergibt sich die Gesamtgeschwindigkeit zu 
$\vec{v} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}$. \newline \vskip 5cm
Mit $v = 100/200 \; m/s = 0,5 \; m/s$ und $v_{1} = 1 \; m/s$
folgt $v_{2} = \sqrt{v^{2} + v_{1}^{2}} = \sqrt{1,25} \; m/s = 1,12 \; m/s$.
Der Winkel betr\"agt $\alpha = arctg(v_{1}/v) = 
arctg(2) = 63^{o}$. \newline \vskip 1cm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Bei der Umrechnung von Knoten in $km/h$ bzw $m/s$ muss zwischen Landmeile
( = 1,63 $km$) und nautischer Meile ( = 1,85 $km$) unterschieden werden.
Bei der Einheit Knoten ist offensichtlich die nautische Meile gemeint.
Daher gilt: $12 \; Knoten = 12 \cdot 1,85 \; km/h = 6,17 \; m/s$.
Wir w\"ahlen ein Koordinatensystem mit x-Achse noch Osten und y-Achse
nach Norden: \newline \vskip 5cm
Schiff und Wind haben die Geschwindigkeiten:
\begin{displaymath}
\vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{tabular}{c} -6,17 $\; m/s$ \\ 0 \\ 0 
\end{tabular} \right), \; \; \; 
\vec{v}_{Wind} = \left( \begin{tabular}{c} 3,5 $\cdot cos(45^{o}) \; m/s$  \\
3,5 $\cdot cos(45^{o}) \; m/s$  \\ 0 \end{tabular} \right) = \left(
\begin{tabular}{c}  2,47 $\; m/s$  \\  2,47 $\; m/s$  \\ 0 \end{tabular} \right).
\end{displaymath}
Der auf dem Schiff gemessene scheinbare Wind ist
\begin{displaymath}
\vec{v} = \vec{v}_{Wind} - \vec{v}_{Schiff} = \left(
\begin{tabular}{c}  8,64 $\; m/s$ \\ 2,47 $\; m/s$  \\ 0 \end{tabular} \right).
\end{displaymath}
Daraus folgt $|\vec{v}| \approx 9 \; m/s$. \newline
Das Skalarprodukt beider Vektoren ist
\begin{displaymath}
\vec{v}_{Schiff} \cdot \vec{v} = |\vec{v}_{Schiff}| |\vec{v}| cos\varphi.
\end{displaymath}
Der Winkel zwischen scheinbarem Wind und Fahrtrichtung ist damit:
\begin{displaymath}
cos\varphi = \frac{\vec{v}_{Schiff} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}_{Schiff}|
|\vec{v}|} = \frac{-6,17 \cdot 8,64}{6,17 \cdot 9} = -0.96.
\end{displaymath}
Also: $\varphi \approx 164^{o}$. \newline \vskip 1cm
{\bf Aufgabe 3:} \newline
Sei $v_{1}$ die Geschwindigkeit des Stromes und $v_{2}$ die
Geschwindikeit des Dampfers relativ zum Wasser, so gilt mit $L=100 \; km$
\begin{eqnarray}
\frac{L}{t_{1}} &=& v_{2}+v_{1} \nonumber \\
\frac{L}{t_{2}} &=& v_{2}-v_{1} \nonumber
\end{eqnarray}
Aufgel\"ost nach $v_{1}$ und $v_{2}$ folgt:
\begin{eqnarray}
v_{1} &=& \frac{L}{2} \cdot \frac{t_{2}-t_{1}}{t_{1}t_{2}} = 7,5 \; km/h 
\nonumber \\
v_{2} &=& \frac{L}{2} \cdot \frac{t_{2}+t_{1}}{t_{1}t_{2}} = 17,5 \; km/h
\nonumber
\end{eqnarray}
\vskip 1cm  
{\bf Aufgabe 4:} \newline
a) In einem rechtwinkligen Koordinatensystem stellen wir Tintenfisch und
Futternapf als Vektoren dar:
\begin{displaymath}
\vec{r}_{T} = \left( \begin{tabular}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{tabular} \right)
\cdot m, 
\; \; \; \; \;
\vec{r}_{F} = \left( \begin{tabular}{c} 1,5 \\ 4 \\ -2,5 \end{tabular}
\right) \cdot m.
\end{displaymath}
\vskip 5cm
b) Der direkte Weg wird durch den Vektor
\begin{displaymath}
\vec{r}_{W} = \left( \begin{tabular}{c} 1,5 \\ 4 \\ -2,5 \end{tabular}
\right) \cdot m
\end{displaymath}
beschrieben, mit der L\"ange $|\vec{r}_{W}| = 4,95 \; m$. Die Zeit
betr\"agt $t = |\vec{r}_{W}|/v = 495 \; cm/(30 \; cm/s) = 16,5 \; s$.
\newline
c) Um den k\"urzesten Weg zu finden, klappen wir die Seitenw\"ande einfach
auf, \newline \vskip 5cm
Wir erhalten dann zwei M\"oglichkeiten, Weg A oder Weg B, von denen der
zweite mit $5,66 \; m$ L\"ange offensichtlich der k\"urzere ist.
Daher $t_{2} = 566 \; cm/(10 \; cm/s) = 56,6 \; s$. 
\end{document}

