Lösungen zur Übung Nr. 11
Besprechung: Donnerstag, den 20. Januar 2000
Aufgabe 1: (8 Punkte)
Wenn die Höhe des Wasserspiegels sinkt, erniedrigt sich der Wasserdruck, und damit erhöht sich das Volumen im Kolben gemäss $V = p_{0} V_{0}/p$ mit
$\displaystyle p_{0}$ $\textstyle =$ $\displaystyle (h_{0} - x_{0}) \rho_{W} g + p_{a} = 2 \cdot 10^{4} \; Pa$  
$\displaystyle V_{0}$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_{0} \pi r^{2} = 5,56 \cdot 10^{-4} \; m^{3}$  
$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle (h - x) \rho_{W} g + p_{a}$  

Der Kolben hebt vom Boden ab, wenn die Auftriebskraft gleich der Schwerkraft ist, d.h. für

\begin{displaymath} F_{g} = m g = F_{A} = \rho_{W} V g \end{displaymath}

oder

\begin{displaymath} \rho_{W} \frac{p_{0} V_{0}}{p} = m. \end{displaymath}

Einsetzen von $p$ und umordnen liefert:

\begin{displaymath} (h - x) \rho_{W} g = \frac{\rho_{W}}{m} p_{0} V_{0} - p_{a} \end{displaymath}

oder

\begin{displaymath} h - x = \frac{\rho_{W} p_{0} V_{0} - m p_{a}}{m \rho_{W} g} = 0,13 \; m \end{displaymath}

Mit $V = x \pi r^{2}$ und $p = (h-x) \rho_{W} g + p_{a}$ folgt

\begin{displaymath} x = \frac{p_{0} V_{0}}{\pi r^{2}((h-x)\rho_{W} g + p_{a})} \end{displaymath}

Daraus kann man $x= 0,35 \; m$ und $h = 0,48 \; m$ berechnen.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Die in der Seifenblase gespeicherte Energie ist

\begin{displaymath} W = \sigma A = 2 \sigma 4 \pi R^{2} = 8 \pi \sigma R^{2} = 1,8 \cdot 10^{-3} \; J. \end{displaymath}

Diese Energie verteilt sich beim Zerplatzen auf die kinetische Energie der entstehenden Tröpfchen:

\begin{displaymath} W = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} v^{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} = \frac{1}{2} M v^{2}. \end{displaymath}

Hierbei wurde ausgenutzt, dass nach Aufgabenstellung die Geschwindigkeiten $v_{i}$ der einzelnen Tröpfchen gleich sind, also $v_{i} = v$, und dass die Gesamtmasse $M$ der Seifenblase gleich der Summe der Massen der Tröpfchen sein muss. Daher folgt

\begin{displaymath} v = \sqrt{\frac{2W}{M}} = 4 \sqrt{\frac{\pi \sigma}{M}} \; R \approx 6 \; m/s. \end{displaymath}

Insbesondere hängt die Geschwindigkeit nicht von der Anzahl der erzeugten Teilchen ab.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Das erste Rohr misst die Summe von statischem Druck und Staudruck, das zweite Rohr nur den Staudruck, da hier $v = 0$ ist. Daher gilt

\begin{displaymath} p_{stat} + \frac{1}{2} \rho v^{2} = constant. \end{displaymath}

Die Druckdifferenz ist

\begin{displaymath} \rho g \Delta h = p_{stat} + \frac{1}{2} \rho v^{2} - p_{stat} = \frac{1}{2} \rho v^{2}. \end{displaymath}

Daraus folgt für die Geschwindigkeit

\begin{displaymath} v = \sqrt{2g \Delta h}. \end{displaymath}

Pro Sekunde strömt das Flüssigkeitsvolumen

\begin{displaymath} A v = A \sqrt{2 g \Delta h} = 0,26 \; m^{3}/s \end{displaymath}

durch das Rohr.

Harm Fesefeldt
2007-08-02