Lösungen zur Übung Nr. 10 (Bonusübung)

Besprechung: Donnerstag, den 13. Januar 2000
Aufgabe 1: (Bonusaufgabe) (4 Punkte)
Mit der folgenden Abbildung gilt $h = (g/2) t^{2}$ und $t = \sqrt{2h/g}$. Daraus folgt

$$v = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{\sqrt{2h/g}} = 15 \; m/s.$$

Aufgabe 2: (Bonusaufgabe) (4 Punkte)
Mit $I_{Rad} = m r^{2} = 0,5 \; kg \cdot m^{2}$ folgt der Drehimpuls

$$L_{Rad} = I_{Rad} \omega = I_{Rad} 2 \pi \nu = 6,28 \; kg \cdot m^{2}/s.$$

Die Drehimpulserhaltung verlangt $L_{Person} + L_{Rad}' = L_{Rad}$, d.h.

$$I \omega' + I_{Rad} \omega' = I_{Rad} \omega = L_{Rad}$$

oder

$$\omega' = \frac{I_{Rad}}{I + I_{Rad}} \omega = \frac{1}{7} \omega$$

b.z.w.

$$\nu' = \frac{1}{7} \nu = \frac{2}{7} \; s^{-1}.$$

Aufgabe 3: (Bonusaufgabe) (4 Punkte)
Aus der Energieerhaltung folgt

$$\frac{m}{2} v_{0}^{2} - \gamma \frac{m M_{E}}{r_{E}} = - \gamma \frac{m M_{E}}{r_{E} + 4 r_{E}}.$$

Daraus folgt:

$$v_{0}^{2} = 2 \gamma \frac{M_{E}}{r_{E}} \left( 1 - \frac{1}... ...5} \gamma \frac{M_{E}}{r_{E}^{2}} r_{E} = \frac{8}{5} g r_{E}.$$

Also:

$$v_{0} = \sqrt{(8/5) g r_{E}} \approx 10,1 \; km/s.$$

Aufgabe 4: (Bonusaufgabe) (4 Punkte)
Mit $r_{P}$ als Radius des Planeten und $r_{E}$ als Radius der Erde gilt mit der Voraussetzung $\rho_{E} = \rho_{P} = \rho$:

$$g_{P} = \gamma \frac{M_{P}}{r_{P}^{2}} = \gamma \frac{4}{3} ... ...\frac{r_{P}}{r_{E}} = \frac{1}{2} g_{E} \approx 5 \; m/s^{2}.$$

Aufgabe 5: (Bonusaufgabe) (4 Punkte)
Die kinetische Energie am Anfang der Bewegung muss gleich der gesamten Reibungsenergie auf der Strecke $s$ sein, $(1/2) m v_{0}^{2} = \mu m g s$. Daher

$$s = \frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} = 10 \; cm.$$

Aufgabe 6: (Bonusaufgabe) (4 Punkte)
Die rücktreibende Kraft ist gleich der Trägheitskraft,

$$F = \rho A 2x g = \rho A L \frac{d^{2}x}{dt^{2}},$$

wobei $x$ die Auslenkung aus der Ruhelage ist. Daraus folgt die DGL

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} - \frac{2g}{L} x = 0.$$

Vergleich mit $d^{2}x/dt^{2} - \omega_{0}^{2} x = 0$ zeigt, dass $\omega_{0} = \sqrt{2g/L}$ sein muss. Daraus folgt

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2g}} = 0,2 \; \pi \; s = 0,63 \; s.$$