Lösungen zur Übung Nr. 8
Besprechung: Donnerstag, den 16. Dezember 1999
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Wir wählen einen Kreisring der Dicke mit den Radius . Dieser
hat die Masse
und erzeugt am Punkt
den Beitrag zum Potential:
Integration über die gesamte Platte ergibt:
Für die Feldstärke gilt:
wobei wir den Einheitsvektor in - Richtung eingeführt haben. Das
Minuszeichen zeigt an, dass die Feldtärke zur Platte hin gerichtet ist.
Aufgabe 2: (7 Punkte)
a) Das Gesamtpotential ist die Summe der Einzelpotentiale:
Sei der Abstand des betrachteten Punktes vom Erdmittelpunkt, dann ist
der Abstand zum Mondmittelpunkt. Daher gilt
Man muss den Bereich in drei Teile aufteilen, einmal innerhalb der Erde,
dann zwischen Erdoberfläche und Mondoberfläche, schliesslich
innerhalb des Mondes. Innerhalb der Erde gilt:
Mit der Maase der Erde kann man dieses auch schreiben:
Die Integrationskonstante folgt aus der Bedingung
zu
Daher erhalten wir schliesslich für :
Zwischen Eroberfläche und Mondoberfläche ist die Sache einfach, und zwar:
Im Innern des Mondes verfahren wir wie im Innern der Erde, dieses ergibt
für
:
b) Man muss nur soviel Energie aufbringen, um den Punkt zu erreichen,
an dem die Anziehungskräfte von Erde und Mond gleich sind, d.h.
Daraus folgt zu
Die hierfür benötigte Energie ist:
Aufgabe 3: (7 Punkte)
Wir betrachten zuerst die Rohrpost durch den Schacht. Die Kraft auf das
Paket im Innern der Erde ist im Abstand vom Erdmittelpunkt:
mit der Dichte der Erde und Masse des Paketes. Nach Vorlesung
muss nur die Teilmasse
der Erde eingesetzt
werden. An einer beliebigen Stelle im Erdinneren erhält man die
Geschwindigkeit aus dem Energiesatz:
mit der Lösung:
Die gesamte Fallzeit für das Paket berechnet sich aus
und mit zu
Für den Wurf um die Erde herum gilt wegen
für die Geschwindigkeit
Hier erhalten wir für die Zeit:
Beide Zeiten sind also offensichtlich gleich.
Harm Fesefeldt
2007-08-02