\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungen zur "Ubung Nr. 6}
\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 2. Dezember 1999}
\newline
\vskip 1mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Wir zerlegen den Kreiskegel in Scheiben der Dicke $dz$ und Radius 
$r = R(1 - z/H)$. Die Masse einer Kreisscheibe ist $dm = \rho \pi r^{2} \;
dz = \rho \pi R^{2}(1-z/H)^{2} dz$. Die Masse des gesamten Kreiskegels
ist dann 
\begin{displaymath}
M = \int dm = \rho \pi R^{2} \int_{0}^{H} \left( 1 - \frac{z}{H} \right)^{2}
dz = (1/3) \rho \pi R^{2} H
\end{displaymath}
\vskip 7cm
a) Aus Symmetriegr\"unden liegen die $x$- und $y$- Koordinaten des 
Schwerpunktes bei $x_{s} = 0$ und $y_{s}=  0$. F\"ur die $z$- Koordinate
folgt nach Definition:
\begin{displaymath}
z_{s} = \frac{1}{M} \int_{0}^{H} z dm = \frac{\rho \pi R^{2}}{M}
\int_{0}^{H} \left( 1 - \frac{z}{H} \right)^{2} z \; dz =
\frac{\rho \pi R^{2}}{12M} H^{2}.
\end{displaymath}
Ausgedr\"uckt mit der Gesamtmasse folgt:
\begin{displaymath}
z_{s} = \frac{H}{4}.
\end{displaymath}
b) Das Tr\"agheitsmoment einer Kreisscheibe ist nach Vorlesung 
$dI = (1/2)r^{2} \; dm$. Integration von $0$ bis $H$ ergibt:
\begin{displaymath}
I = \int dI = \frac{1}{2} \rho \pi R^{4} \int_{0}^{H} \left( 
1 - \frac{z}{H} \right)^{4} dz = \frac{1}{10} \rho \pi R^{4} H = \frac{3}{10}
M R^{2}.
\end{displaymath}
\newpage
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
a) Der Drehimpuls vor dem Aufprall ist $L_{1} = m v (L/2)$, der Drehimpuls
nach dem Aufprall $L_{2} = (I_{s} + I_{m}) \omega$, mit den 
Tr\"agheitsmomenten
$I_{s} = (1/12) M L^{2}$ der Stange und $I_{m} = m (L/2)^{2}$ des 
Geschosses. Drehimpulserhaltung ergibt:
\begin{displaymath}
mv \frac{L}{2} = \left( \frac{1}{12} M L^{2} + m \frac{L^{2}}{4} \right)
\omega.
\end{displaymath}
Aufgel\"ost nach $\omega$ folgt:
\begin{displaymath}
\omega = \frac{2mv}{(M/3 + m)L} = 18,2 \; s^{-1}.
\end{displaymath}
b) Falls die Achse nicht durch den Mittelpunkt verl\"auft, gilt nach dem
Steinerschen Satz f\"ur den Drehimpuls nach dem Sto"s:
\begin{displaymath}
L_{2} = \left( \frac{1}{12} M L^{2} + Mx^{2} \right) \omega +
m \left( \frac{L}{2} + x \right)^{2} \omega = \left[ (M+m) x^{2}
+ m L x + \frac{L^{2}}{4} \left( \frac{M}{3} + m \right) \right] \omega
\end{displaymath}
\vskip 7cm
Gleichsetzen der Drehimpulse vor und nach dem Sto"s f\"uhrt jetzt auf:
\begin{displaymath}
\omega = \frac{mv(L/2+x)}{(M+m)x^{2} + m L x + (L^{2}/4)(M/3+m)}.
\end{displaymath}
Die Extremalbedingung $d\omega /dx = 0$ ergibt nach einiger Rechnung
(hoffentlich):
\begin{displaymath}
x_{max} = -\frac{L}{2} + \sqrt{\frac{M/3+m/2}{M+m}} L = 0,082 \; m
= 8,2 \; cm. 
\end{displaymath}
Der Punkt liegt also nur wenig vom Schwerpunkt der Stange entfernt.
Die Winkelgeschwindigkeit wird f\"ur diese Drehachse 
$\omega_{max} = 19,14 \; s^{-1}$.
\newpage
{\bf Aufgabe 3:}  \hspace{10cm}(6 Punkte) \newline
Der Drehimpuls $L_{1}$ vorher und $L_{2}$ nachher ist gegeben durch
\begin{eqnarray}
L_{1} &=& \left( \frac{M}{2} + m \right) R^{2} \omega_{1} \nonumber \\
L_{2} &=& \frac{M}{2} R^{2} \omega_{2}. \nonumber
\end{eqnarray}
Drehimpulserhaltung verlangt $L_{1} = L_{2}$. Daraus folgt
\begin{displaymath}
\omega_{2} = \left( 1 + 2 \frac{m}{M} \right) \omega_{1}.
\end{displaymath}
Die Winkelgeschwindigkeit vergr\"o"sert sich also. \newline
b) F\"ur die Energien gilt entsprechend:
\begin{eqnarray}
E_{1} &=& \frac{1}{2} \left( \frac{M}{2} + m \right) R^{2} \omega_{1}^{2}
\nonumber \\
E_{2} &=& \frac{1}{2} \; \frac{M}{2} R^{2} \omega_{2}^{2} =
\frac{M}{4} R^{2} \left(1 + 2 \frac{m}{M} \right)^{2} \omega_{1}^{2}.
\nonumber
\end{eqnarray}
Die Zunahme der Energie ist:
\begin{displaymath}
E_{2} - E_{1} = \left( \frac{m}{2} + \frac{m^{2}}{4M} \right) R^{2} 
\omega_{1}^{2}. 
\end{displaymath}
Diese Energie wird von der Person aufgebracht, indem sie gegen die 
Zentrifugalkraft Arbeit leisten  muss. 
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 4:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm}(10 Punkte) \newline
Siehe z.B Demtr\"oder Band I, Seite 125 - 128 oder Lehrb\"ucher der
theoretischen Physik.
\end{document}




