Lösungen zur Übung Nr. 5
Besprechung: Donnerstag, den 25. November 1999
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Am tiefsten Punkt der Bahn ist die Auflagekraft auf die Bahn durch
gegeben, wobei
und der Krümmungsradius ist.
Dieser ist gegeben durch
Wegen und
folgt an der Stelle
der Wert
. Daher
Falls man sich mit der Formel für den Krümmungsradius schwertut,
kann man auch folgende Argumentation verwenden. Das zeitliche Verhalten der
Bahn ist durch gegeben. Wegen
Am tiefsten Punkt der Bahn ist dann
und
, also
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Zur Lösung der Aufgabe setzt man für einen der Wagen die Kraftgleichung aus Federkraft und
Zentrifugalkraft an:
wobei die Position des Wagens auf der Schiene von der Drehachse aus gemessen ist. Wir brauchen keine Vektoren
zu schreiben, da beide Kräfte in Richtung von zeigen. Auf einen der beiden Wagen wirkt nur die
halbe Federkraft. Daher gilt:
Mit können wir auch schreiben:
Als erstes bestimmen wir die Gleichgewichtslage des Wagens. In diesem Fall wirkt keine Beschleunigung, also
und
Da sein muss, existiert nur eine Gleichgewichtslage für und
(1. Fall) oder
und
(2. Fall). Für
und ist der Wagen immer im Gleichgewicht
(indifferentes Gleichgewicht).
Zur Untersuchung der Stabilität der Gleichgewichtslagen lenken wir den Wagen um eine kleine
Strecke aus und untersuchen die Reaktion des Wagens auf diese Störung.
Die Bewegungsgleichung wird zu
Setzt man noch für die bereits oben angeschriebene Lösung ein, so folgt nach einigen Umformungen die DGL
Falls
(2. Fall) wird der Wagen bei einer positiven Auslenkung weiter nach aussen beschleunigt
(
). Dieser Fall ist also instabil.
Falls
(1. Fall) wird der Wagen bei einer positiven Auslenkung zurück nach innen,
also zur Gleichgewichtslage hin, beschleunigt (
). Dieser Fall ist also stabil und kann als
Fliehkraftregler benutzt werden.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Allgemein gilt:
oder
a) In unserem Fall ist der Grenzwinkel durch
gegeben,
also
. Daher folgt
b) Das Drehmoment ist durch
definiert.
Wir müssen also die Drehimpulse im Anfangs- und im
Endzustand bestimmen. Im Anfangzustand ist
Für
ist
und
daher
Im Endzustand ist entsprechend:
Für das Drehmoment folgt mit :
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Wir bezeichnen mit und die Unterteilung der Stange, sodass
also
ist. Das Drehmoment eines infinitesimalen
Massenelementes
, mit Querschnitt und Dichte
ist also
Daraus folgt, zusammen mit den Massen und :
Bei der Stange greifen die Kräfte also auch im Schwerpunkt der
Teilstücke und an. und sind die
Massen dieser Teilstücke. Im Gleichgewicht muss
sein, d.h.
Elimination von
ergibt:
Entsprechend ist
.
Harm Fesefeldt
2007-08-02