\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungen zur "Ubung Nr. 4}
\vskip 2mm
\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 18. November 1999}
\newline
\vskip 1mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (4 Punkte) \newline
Es gelten Impuls- und Energiessatz, die wir beide in vektorieller Form
schreiben:
\begin{eqnarray}
m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} &=& m_{1} \vec{v}_{1}' + m_{2}
\vec{v}_{2}' \nonumber \\
\frac{m_{1}}{2} \vec{v}_{1}^{2} + \frac{m_{2}}{2} \vec{v}_{2}^{2} &=&
\frac{m_{1}}{2} \vec{v}_{1}'^{2} + \frac{m_{2}}{2} \vec{v}_{2}'^{2}
\nonumber
\end{eqnarray}
Mit $\vec{v}_{2} = 0$ und $m_{1} = m_{2}$ folgen die beiden Gleichungen:
\begin{eqnarray}
\vec{v}_{1} &=& \vec{v}_{1}' + \vec{v}_{2}' \nonumber \\
\vec{v}_{1}^{2} &=& \vec{v}_{1}'^{2} + \vec{v}_{2}'^{2} \nonumber
\end{eqnarray}
Wir quadriereren die erste Gleichung, $v_{1}^{2} = v_{1}'^{2}
+ v_{2}'^{2} + 2\vec{v}_{1}' \cdot \vec{v}_{2}'$. Zusammen mit der
zweiten Gleichung folgt daraus, da"s $\vec{v}_{1}' \cdot \vec{v}_{2}' = 0$
sein mu"s, d.h. $\varphi = 90^{o}$.
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{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Wir setzen uns in das Schwerpunktsystem. Hier gilt der Impulssatz
und der Energiesatz in der Form:
\begin{eqnarray}
m_{1} v_{1}' &=& m_{2} v_{2}' \nonumber \\
\frac{1}{2} D x^{2} &=& \frac{1}{2} m_{1} v_{1}'^{2} + \frac{1}{2} m_{2}
v_{2}'^{2} \nonumber
\end{eqnarray}
Aufl\"osen nach $v_{1}'$ b.z.w. $v_{2}'$ ergibt mit $m_{1} = m_{2}$:
\begin{displaymath}
v_{1}' = v_{2}' = \sqrt{\frac{Dx^{2}}{2m}}
\end{displaymath}
F\"ur die Geschwindigkeiten im Ruhesystem der Strasse (Schiene) folgt
\begin{eqnarray}
v_{1} &=& v_{0} - v_{1}' = v_{0} - \sqrt{\frac{Dx^{2}}{2m}} \nonumber \\
v_{2} &=& v_{0} + v_{2}' = v_{0} + \sqrt{\frac{Dx^{2}}{2m}} \nonumber
\end{eqnarray}
F\"ur $v_{1} = 0$ folgt $v_{2} = 2 v_{0}$ und
\begin{displaymath}
m = \frac{Dx^{2}}{2 v_{0}^{2}} = 800 \; kg.
\end{displaymath}
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{\bf Aufgabe 3:}  \hspace{10cm}(4 Punkte) \newline
Die Federkonstante des Seils berechnet sich aus $Mg = D \; \Delta l$ zu
\begin{displaymath}
D = \frac{Mg}{\Delta l}.
\end{displaymath}
Die Frequenz der Schwingung ist $\nu = (1/2\pi) \sqrt{D/(m+M)}$.
Insgesamt also
\begin{displaymath}
\nu = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{M}{(M+m)} \frac{g}{\Delta l} }
\approx 2,8 \; s^{-1}.
\end{displaymath}
\newline \vskip 1mm
{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Allgemein gilt, wenn $M'$ die Masse des Pendelk\"orpers ist, f\"ur die
potentielle Energie beim Maximalausschlag:
\begin{displaymath}
E_{pot} = \int_{0}^{\varphi_{0}} F_{s} ds = L M'g \int_{0}^{\varphi_{0}}
sin\alpha \; d\alpha = L M' g(1 - cos\varphi) = 2 L M' g \; sin^{2}
\left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right).
\end{displaymath}
Wir mach hier also nicht die Approximation $sin\varphi \approx \varphi$,
da wir \"uber die Gr\"o"se der Auslenkung nichts wissen. Die Masse
$M'$ kann bei den Fallunterscheidungen verschieden sein, n\"amlich
$M' = M$ oder $M' = M + m$. Diese potentielle Energie mu"s gleich der
kinetischen Energie des Pendelk\"orpers nach dem Aufprall der
Geschosskugel sein. \newline
a) Hier ist wegen Impulserhaltung $(m+M)v_{K} = m v$, wobei $v_{K}$ die
Geschwindigkeit des Pendelk\"orpers ist. Damit wird die kinetische Energie
am Anfang der Bewegung
\begin{displaymath}
E_{kin} \frac{m+M}{2} v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{m+M} v^{2}.
\end{displaymath}
In die Formel f\"ur die potentielle Energie m\"ussen wir $M' = m+M$
einsetzen, daher
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{m+M} v^{2} = 2 L(M+m) g \; sin^{2} \left(
\frac{\varphi_{0}}{2} \right)
\end{displaymath}
Aufgel\"ost nach $\varphi_{0}$:
\begin{displaymath}
sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right)= \frac{1}{2 \sqrt{Lg}} \; 
\frac{m}{m+M} v = 0,158
\end{displaymath}
oder $\varphi_{0} = 18,2^{o}$. \newline
b) In diesem Fall haben wir vor und nach dem Aufprall die folgende
Situation: \newline \vskip 4cm
Impulserhaltung fordert $mv = Mv_{K} - mv'$ oder $v_{K} = (m/M)(v+v')$.
Die kinetische Energie wird damit nach dem Aufprall zu
\begin{displaymath}
E_{kin} = \frac{1}{2} M v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v+v')^{2}.
\end{displaymath}
In der Formel f\"ur die potentielle Energie ist diesmal $M' = M$ zu setzen,
also
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v + v')^{2} = 2 LMg \; sin^{2} \left(
\frac{\varphi_{0}}{2} \right).
\end{displaymath}
Daraus folgt:
\begin{displaymath}
sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{Lg}} 
\frac{m}{M} (v + v') = 0,176,
\end{displaymath}
oder $\varphi_{0} = 20,3^{o}$. \newline
c) Dieses ist nat\"urlich ein Spezialfall von b) mit $v' = 0$.
Daher
\begin{displaymath}
sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{Lh}} \frac{m}{M}
v = 0,159
\end{displaymath}
oder $\varphi_{0} = 18,4^{o}$. 
\end{document}

