\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungsvorschl\"age zur "Ubung Nr. 2}
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\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 4. November 1999}
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{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (5 Punkte) \newline
Mit $s_{1} = 10 \; m$ und $s_{2} = 90 \; m$ gilt
\begin{eqnarray}
s_{1} &=& \frac{a}{2} t_{1}^{2} \nonumber \\
s_{2} &=& v_{max} t_{2} = at_{1} t_{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
Daher 
\begin{eqnarray}
t_{1} &=& \sqrt{\frac{2s_{1}}{a}} \nonumber \\
t_{2} &=& \frac{s_{2}}{at_{1}} = \frac{s_{2}}{\sqrt{2as_{1}}}. \nonumber
\end{eqnarray}
Mit der Reaktionszeit $t_{r}$ gilt f\"ur die Gesamtzeit
\begin{displaymath}
T = t_{r} + t_{1} + t_{2} = t_{r} + \sqrt{\frac{2s_{1}}{a}} 
+ \frac{s_{2}}{\sqrt{2as_{1}}}.
\end{displaymath}
Einsetzen der Zahlenwerte f\"uhrt auf
\begin{displaymath}
T = t_{r} + 1,782 \; s + 8,018 \; s = t_{r} + 9,8 \; s.
\end{displaymath}
Die Gesamtzeit ist also unter $10 \; s$, sofern die Reaktionszeit unter
$0,2 \; s$ bleibt.
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{\bf Aufgabe 2:}  \hspace{10cm}(5 Punkte) \newline
Der Wagen mit der Masse $m_{2}$ wird von der Kraft $F_{2}$ beschleunigt.
Die gleiche Kraft wirkt in entgegengesetzter Richtung auf das Gewicht
mit der Masse $m_{1}$, d.h. $F_{1} = F_{2}$. Die Masse unterliegt noch
zus\"atzlich der Schwerkraft, daher
\begin{eqnarray}
F_{2} &=& m_{2} a_{2} \nonumber \\
m_{1}g - F_{1} &=& m_{1} g - F_{2} = m_{1} a_{1} \nonumber \\
m_{1}g - m_{2}a_{2} &=& m_{1} a_{1} \nonumber 
\end{eqnarray}
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Als Nebenbedingung gilt, da"s $a_{1} = a_{2} = a$ sein mu"s, daher
\begin{eqnarray}
m_{1} g - m_{2} a &=& m_{1} a \nonumber \\
a &=& \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} g \approx 2,5 \; m/s^{2}. \nonumber
\end{eqnarray}
Die am Seil angreifende Kraft ist schlie"slich
\begin{displaymath}
F = F_{1} = F_{2} = m_{2} a = 1,5 \cdot 2,5 \; kg \cdot m/s^{2} = 3,75 \; N.
\end{displaymath} 
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{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline     
Nach dem L\"osen der Bremse herrscht im Seil \"uberall die Spannungskraft
$F$. Daher folgen die Gleichungen
\begin{eqnarray}
m_{1} g - F &=& m_{1} a_{1} \nonumber \\
m_{2} g - F &=& m_{2} a_{2} \nonumber
\end{eqnarray}
Nach Elimination von $F$ und wegen $a = a_{1} = - a_{2}$ folgt:
\begin{displaymath}
a = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g.
\end{displaymath}
Vor dem L\"osen der Bremse war die Gesamtkraft auf die Umlenkrolle
$F_{vorher} = (m_{1}+m_{2}) g$. Nach dem L\"osen der Bremse ist die 
Gesamtkraft auf die Umlenkrolle
\begin{displaymath}
F_{nachher} = 2 F = 2(m_{1}g - m_{1} a_{1}) = 2(m_{1}g - m_{1}a).
\end{displaymath}
Nach Einsetzen von $a$ folgt:
\begin{displaymath}
F_{nachher} = \frac{4m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g.
\end{displaymath}
Die Differenz ist 
\begin{displaymath}
F_{vorher} - F_{nachher} = (m_{1}+m_{2})g - \frac{4m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}g
= \frac{(m_{1}-m_{2})^{2}}{m_{1}+m_{2}} g.
\end{displaymath}
Der letzte Ausdruck ist gr\"o"ser als Null, daher wird das Gesamtgewicht
der Umlenkrolle beim L\"osen der Bremse kleiner, die Waage neigt sich also
nach rechts. Das Gewicht $G$ mu"s also um den Anteil 
$\Delta G = F_{vorher} - F_{nachher}$ verkleinert werden, um wieder
Gleichgewicht herzustellen.
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{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (4 Punkte) \newline     
F\"ur die Seilspannungen in den zwei Abschnitten des Seils soll gelten:
$F_{AB} = 2 F_{BC} = 2 Mg$. Aus der Geometrie folgt
$F_{AB}^{2} + F_{BC}^{2} = (mg)^{2}$. Daher folgt $(2Mg)^{2} + (Mg)^{2}
= (mg)^{2}$ oder $M = m/\sqrt{5} \approx 4,47 \; kg$.
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