Physik I, WS 1993/94

Übung Nr. 7

Abgabetermin: 9. Dezember 1993
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Auf einer schiefen Ebene lasse man drei Zylinder aus der Höhe $h=3 \; m$ herabrollen. Der Neigungswinkel der Ebene sei $\alpha = 15^{o}$. Die Zylinder sind homogen und massiv aus Alluminium (Dichte $\rho=2,7 \; g/cm^{3}$) und haben alle die Masse $m=5,4 \; kg$. Lediglich die Längen und Radien $r_{1}=3 \; cm$, $r_{2}= 10 \; cm$ und $r_{3}=20 \; cm$ sind unterschiedlich.
a) Welche kinetische Energie haben die Zylinder, wenn sie das Ende der Ebene erreichen ?
b) Berechnen Sie für jeden Zylinder den Anteil der Rotationsenergie an der kinetischen Energie !
c) Welcher Zylinder braucht die geringste Zeit, um die Bahn hinunterzurollen ?
d) Jetzt möchte man diese Masse von $5,4 \; kg$ Alluminium in ein masseloses Zylindergehäuse von $10 \; cm$ Radius und $15 \; cm$ Länge so einbauen, daß der Zylinder möglichst schnell die Bahn hinunterrollt. Wie muß er gebaut werden und welche Geschwindigkeit hat er am Ende der schiefen Ebene ?
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Eine Billardkugel mit Radius $r=2,5 \; cm$ wird durch einen waagerecht geführten Billardstock in der Höhe $h$ angestoßen (siehe Abbildung). Wie groß muß $h$ sein, damit die Kugel von Anfang an rollt, ohne zu gleiten ?

Aufgabe 3: (7 Punkte)
a) Ein Wagen der Masse $m$ steht auf dem Äquator der Erde. Leiten Sie, ausgehend von der allgemeinen Formulierung der Trägheitskräfte ( $\vec{F}_{z} = -m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$, $F_{c} = - 2m \vec{\omega} \times \vec{v}'$), einen Ausdruck für die wirkende Gesamtkraft her.
b) Nun fährt der Wagen mit einer Geschwindigkeit $v$ gleichförmig entlang des Äquators in Richtung Osten. Welche Kräfte wirken auf ihn, falls er auf diese Weise die Erde einmal umrunden könnte ?
c) Wie schnell muß der Wagen in Ostrichtung um den Äquator fahren, damit er von der Erdoberfläche abhebt ? Wie lange muß er dazu beschleunigen, falls sein Antrieb eine Beschleunigung von $a=5 \; m/s^{2}$ zuläßt ?

• Hinweis: Nehmen Sie die Erde als kugelförmig mit Radius $R_{Erde}= 6370 \; km$ an. Die Winkelgeschwindigkeit beträgt $\omega_{Erde} = 7,27 \cdot 10^{-5} \; s^{-1}$.