Physik I, WS 1993/94

Übung Nr. 6

Abgabetermin: 2. Dezember 1993
Aufgabe 1: (5 Punkte)
An einer homogenen Stange der Länge $L=2 \; m$ und Masse $M=1 \; kg$ hängen an den beiden Enden zwei Gewichte mit den Massen $m_{1} = 2 \; kg$ und $m_{2}= 3 \; kg$ (siehe Abbildung unten links). An welchem Punkt muß die Stange unterstützt werden, damit das System unter dem Einfluß der Schwerkraft im Gleichgewicht ist ?

Aufgabe 2: (5 Punkte)
Eine homogene Holzstange der Masse $M= 0,3 \; kg$ und Länge $L= 1 \; m$ ist horizontal drehbar auf einer durch den Mittelpunkt der Stange gehenden vertikalen Achse gelagert. Das eine Ende der Stange wird von einem Geschoß der Masse $m=10 \; g$ und Geschwindigkeit $v=100 \; m/s$ getroffen (siehe Abbildung oben rechts). Das Geschoß bleibt in der Stange stecken.
a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Stange ?
b) Durch welchen Punkt der Stange muß die Achse gehen, damit die Winkelgeschwindigkeit nach dem Aufprall des Geschosses maximal wird ?
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Gegeben sei ein homogener gerader Kreiskegel der Masse $M$ und Höhe $H$. Die kreisförmige Basisfläche habe den Radius $R$.
a) Ermitteln Sie den Schwerpunkt !
b) Wie groß ist das Trägheitsmoment bei Rotation um die Symmetrieachse, die durch den Mittelpunkt des Basiskreises und durch die Spitze des Kegels geht ?
Aufgabe 4: (Bonusaufgabe) (10 Punkte)
Eine dünne homogene Platte in Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Höhe $h$ und Basis $2a$ habe die Masse $M$. Der Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegt auf der Mitte der Basis, wobei die $y$- Achse entlang der Basis verläuft und die $z$- Achse senkrecht zur Plattenebene steht (siehe Abbildung unten links).
a) Wie groß ist das Trägheitsmoment $I_{z}$ bei Rotation um die $z$- Achse ?
b) Seien $I_{x}$ und $I_{y}$ die Trägheitsmomente bei Rotation um die $x$- bzw $y$- Achse. Zeigen Sie, daß $I_{z}=I_{x}+I_{y}$ gilt !
c) Zeigen Sie, daß die Beziehung von Teil b) allgemein für die Trägheitsmomente beliebig geformter dünner Platten gilt, falls die $z$- Achse senkrecht auf der Plattenebene steht !

• Anmerkung: Wer noch nicht mit der Handhabung dreidimensionaler Integrale vertraut ist, kann die Teilaufgaben a) und b) auch mit dem Ansatz einer infinitesimal dünnen Stange und mit Hilfe des Steinerschen Satzes auf eindimensionale Integrationen zurückführen.

Aufgabe 5: (5 Punkte)
Eine Physikerin steht auf einem frei drehbaren Stuhl. In der Hand hält sie einen Kreisel mit dem Trägheitsmoment $I_{K} = 0,01 \; kg\cdot m^{2}$, wobei die Kreiselachse mit der Drehachse des Stuhls übereinstimmt. Der Kreisel rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit $\omega_{K}=20 \; s^{-1}$. Das aus Stuhl und Physikerin bestehende System mit dem Trägheitsmoment $I_{S}= 3 \; kg\cdot m^{2}$ sei zunächst in Ruhe (siehe Abbildung oben rechts).
a) Wie groß sind die Änderungen der kinetischen Energie des Gesamtsystems, bestehend aus Stuhl, Physikerin und Kreisel, wenn die Achse des Kreisels gegenüber der Achse des Stuhls um die Winkel $\alpha=45^{o}$, $90^{o}$, $135^{o}$ und $180^{o}$ gedreht wird ?
b) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Stuhls bei den in Teil a) angegebenen Winkeln der Kreiselachse ?