\documentstyle[12pt,german,briefkn]{article}
\begin{document}
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\centerline{Physik I, WS 1993/94} 
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\centerline{\"Ubung Nr. 4}
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Abgabetermin: \bf 18. November 1993 \rm \newline
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\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Auf einer horizontalen Ebene ist ein K"orper der Masse $m=1 \; kg$ mit einer
Feder der L"ange $L$ und Federkonstanten $D=1000 \; N/m$ verbunden
(siehe Abbildung unten links). 
Der K"orper f"uhrt reibungsfreie harmonische Schwingungen um die 
Ruhelage aus, wobei die Amplitude klein gegen"uber der L"ange $L$ ist.
Entgegen unseren sonstigen Annahmen kann die Masse $m_{F}= 0,3 \; kg$ der
Feder \underline{nicht} vernachl"assigt werden. Wie gro"s ist die
Kreisfrequenz $\omega$ des Systems ? 
\begin{itemize}
      \item Anleitung: Schreiben Sie zun"achst die kinetische Energie
      der Feder als Funktion der Geschwindigkeit des K"orpers und         
      diskutieren Sie dann die Gesamtenergie des Systems.
\end{itemize}
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\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Ein K"orper der Masse $m=1 \; kg$ ist mit Hilfe zweier identischer Federn 
mit einem Wagen der Masse $M=5 \; kg$ gekoppelt. Die Federkonstanten
sind jeweils $D=0,05 \; kg/cm$. Der K"orper gleitet reibungsfrei auf dem  
Boden des Wagens, der Wagen wiederum ist ebenfalls reibungsfrei auf dem
horizontalen Erdboden beweglich. Mit Hilfe eines Seils, das an einem 
Ende des Wagens befestigt ist, wird der K"orper um $d=6 \; cm$ aus der
Gleichgewichtslage ausgelenkt (siehe Abbildung oben rechts).  
Das gesamte System befindet sich zun"achst in Ruhe.
Sobald das Seil jedoch durchgeschnitten wird, f"uhren K"orper und Wagen 
harmonische Schwingungen aus. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer und
Amplituden. 
\begin{itemize}
      \item Anmerkung: Beachten Sie, da"s auf Grund der gew"ahlten 
      Anfangsbedingungen der Schwerpunkt des Gesamtsystems in Ruhe bleibt.
      Beachten Sie weiterhin, da"s die 
      Schwerpunkte der beiden Einzelteile des Systems in der Mitte des
      K"orpers und insbesondere in der Mitte des Wagens liegen. 
\end{itemize}
\newpage
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Der K"orper eines ballistischen Pendels habe die Masse $M=1 \; kg$.
Die Pendell"ange betr"agt $L=1 \; m$, die Masse des starren Pendelarmes 
kann vernachl"assigt werden. Auf den K"orper des Pendels
wird eine Kugel mit der Geschwindigkeit $v = 100 \; m/s$  und Masse
$m= 10 \; g$ geschossen (siehe Abbildung).
Wie gro"s ist die maximale Winkelauslenkung des Pendels f"ur die 
folgenden drei F"alle ? \newline
a) Die Kugel bleibt im Pendelk"orper stecken; \newline 
b) Die Kugel prallt mit einer Geschwindigkeit $v'=10 \; m/s$ ab; \newline
c) Die Kugel f"allt nach dem Aufprall senkrecht nach unten auf den 
Erdboden. \newline
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\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Die Masse einer Rakete verringert sich durch das Abbrennen des Triebsatzes
nach dem Gesetz 
\begin{displaymath}
m(t) = m_{0} e^{-t/T} \; ,
\end{displaymath}
wobei die Konstante $T$ ein Ma"s f"ur die Abbrenngeschwindigkeit ist. Die 
Austrittsgeschwindigkeit $v_{g}=3 \; km/s$ der Gase sei zeitlich konstant.
Die Rakete werde im Schwerefeld der Erde senkrecht nach oben geschossen.
Nehmen Sie auch die Erdbeschleunigung auf dem gesamten Weg als konstant
an. \newline
a) Wie gro"s darf die Konstante $T$ h"ochstens sein, damit die Rakete
"uberhaupt vom Erdboden abhebt ? \newline
b) Wir gro"s mu"s $T$ sein, damit die Beschleunigung beim Start $5g$
betr"agt ? \newline
c) Die Rakete startet mit einer Beschleunigung von $5g$. In welcher
H"ohe befindet sie sich und mit welcher Geschwindigkeit fliegt sie,
wenn die Masse der Rakete auf die H"alfte abgenommen hat ?
\end{document}
