Physik I, WS 1993/94

Rechenübungen am 20. Januar 1994

Aufgabe 1:
Ein Kupferwürfel der Kantenlänge $a=0,1 \; m$ gleitet über eine um $30^{o}$ geneigte, geölte Fläche. Kupfer hat die Massendichte $\rho_{Cu} = 8,9 \cdot 10^{3} \; kg/m^{3}$. Die Dicke der Ölschicht beträgt $d= 5 \cdot 10^{-5} \; m$, die Zähigkeit des Öls ist $\eta = 10 \; kg/ms$. Wie groß ist die stationäre Geschwindigkeit des Würfels ?
Aufgabe 2:
In einem Gefäß befindet sich Wasser mit einer Höhe $h=0,3 \; m$. In welcher Höhe über dem Boden des Gefäßes muß man eine Öffnung anbringen, damit das ausströmende Wasser möglichst weit entfernt auf die Unterlage auftrifft, auf der das Gefäß steht ?
Aufgabe 3:
Eine Rakete fährt reibungsfrei auf einer Schiene und stößt kontinuierlich ( $dm/dt = konstant$) Treibgase mit der Geschwindigkeit $v_{g}$ relativ zur Rakete aus. Beim Start hat die Rakete die Masse $m_{1}=1000 \; kg$. Wie groß ist die Masse der Rakete, wenn die Geschwindigkeit der Rakete gleich der Geschwindigkeit $v_{g}$ der Treibgase ist ?
Aufgabe 4:
An der Achse eines Vollzylinders der Masse $m$ und Trägheitsmoment $I=(1/2) m r^{2}$ ist eine Feder der Federkonstanten $D$ befestigt. Das andere Ende der Feder ist an einer Wand arretiert. Der Zylinder rollt auf einer horizontalen Ebene, ohne zu gleiten. Daneben gleitet ein Würfel der Masse $m$ an einer Feder mit der gleichen Federkonstanten $D$ reibungsfrei auf der Ebene. Wie groß ist die Schwingungsdauer des Zylinders, wenn die Schwingungsdauer des Würfels $T= 5 \; s$ beträgt ?

Lösungen
Aufgabe 1:

Es wirken zwei Kräfte, einmal die Schwerkraft $F_{g}= m g sin\alpha$, zum anderen die Reibungskraft $F_{R} = \eta a^{2} dv/dz$. Das Geschwindigkeitsgefälle $dv/dz$ zwischen dem Würfel und der Ebene ist linear, daher $dv/dz = v/d$. Bei der stationären Bewegung heben sich beide Kräfte gerade auf, $F_{g} = F_{R}$. Daraus folgt

$$m g \; sin\alpha = \eta a^{2} \frac{v_{stat}}{d} \; \; \; \... ...o_{Cu} a g d \; sin\alpha}{\eta} = \underline{0,022 \; m/s}$$

Aufgabe 2:
Für die Geschwindigkeit gilt $v= \sqrt{2 g(h-y)}$. Die Bewegung des Wassers entspricht einem horizontalen Wurf, daher $y=(1/2)g t^{2}$ und $x=v t$. Aus diesen drei Beziehungen folgt:

$$x = \sqrt{2 g (h-y)} \sqrt{\frac{2 y}{g}} = 2 \sqrt{(h-y) y}$$

Die Extremalbedingung $dx/dy = 0$ ergibt

$$y_{max} = \frac{h}{2} = \underline{0,15 \; m}$$

Aufgabe 3:
Für die Rakete gilt die Impulsbilanz:

$$m \; dv = dm \; v_{g} \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; dv = v_{g} \frac{dm}{m}$$

Integration auf beiden Seiten liefert

$$v_{2} - v_{1} = v_{g} \left( ln( m_{2})-ln(m_{1}) \right)$$

In diesem Beispiel soll $v_{1}=0$ und $v_{2}= - v_{g}$ sein, daher

$$v_{g} = - v_{g} ln \left( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right) \; \;... ...; \; \; \; \; \underline{m_{2} = \frac{m_{1}}{e} = 368 \; kg}$$

Aufgabe 4:
Die Gesamtenergie des Zylinders ist

$$E_{Z} = \frac{1}{2} I \omega^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \f... ...1}{2} \left( \frac{3}{2}m \right) v^{2} + \frac{1}{2} D x^{2}$$

Vergleichen wir diesen Ausdruck mit der Schwingungsdauer $T=2 \pi \sqrt{m/D}$ des Würfels ohne Rotation und der Energie

$$E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} D x^{2}$$

so folgt für die Schwingungsdauer des Zylinders

$$T_{Z} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{2} \frac{m}{D}} = \sqrt{\frac{3}{2}} T = \underline{6,12 \; s}$$