\documentstyle[12pt,german,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{Physik I, WS 1993/94} 
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\centerline{Rechen"ubungen am 20. Januar 1994}
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\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Ein Kupferw"urfel der Kantenl"ange $a=0,1 \; m$ gleitet "uber eine
um $30^{o}$ geneigte, ge"olte Fl"ache. Kupfer hat die Massendichte 
$\rho_{Cu} = 8,9 \cdot 10^{3} \; kg/m^{3}$. Die Dicke der "Olschicht 
betr"agt $d= 5 \cdot 10^{-5} \; m$, die Z"ahigkeit des "Ols ist 
$\eta = 10 \; kg/ms$. Wie gro"s ist die station"are Geschwindigkeit des
W"urfels ?
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\bf Aufgabe 2: \rm \newline
In einem Gef"a"s befindet sich Wasser mit einer H"ohe $h=0,3 \; m$. 
In welcher H"ohe "uber dem Boden des Gef"a"ses mu"s man eine "Offnung 
anbringen, damit das ausstr"omende Wasser m"oglichst weit entfernt
auf die Unterlage auftrifft, auf der das Gef"a"s steht ?
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\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Eine Rakete f"ahrt reibungsfrei auf einer Schiene und st"o"st kontinuierlich  
($dm/dt = konstant$) Treibgase mit der Geschwindigkeit $v_{g}$ relativ 
zur Rakete aus. Beim Start hat die Rakete die Masse $m_{1}=1000 \; kg$.
Wie gro"s ist die Masse der Rakete, wenn die Geschwindigkeit 
der Rakete gleich der Geschwindigkeit $v_{g}$ der Treibgase ist ? \newline
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\bf Aufgabe 4: \rm \newline
An der Achse eines Vollzylinders der Masse $m$ und Tr"agheitsmoment
$I=(1/2) m r^{2}$ ist eine Feder der  
Federkonstanten $D$ befestigt. Das andere Ende der Feder ist an einer 
Wand arretiert. Der Zylinder rollt auf einer horizontalen Ebene, ohne zu 
gleiten. Daneben gleitet ein W"urfel der Masse $m$ an einer Feder mit der   
gleichen Federkonstanten $D$ reibungsfrei auf der Ebene. 
Wie gro"s ist die Schwingungsdauer des Zylinders, wenn die  
Schwingungsdauer des W"urfels $T= 5 \; s$ betr"agt ?
\newpage
\bf \underline{L"osungen} \rm \newline \vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Es wirken zwei Kr"afte, einmal die Schwerkraft $F_{g}= m g sin\alpha$,
zum anderen die Reibungskraft $F_{R} = \eta a^{2} dv/dz$. Das 
Geschwindigkeitsgef"alle $dv/dz$ zwischen dem W"urfel und der Ebene ist
linear, daher $dv/dz = v/d$. Bei der station"aren Bewegung heben sich
beide Kr"afte gerade auf, $F_{g} = F_{R}$. Daraus folgt 
\begin{displaymath}
m g \; sin\alpha = \eta a^{2} \frac{v_{stat}}{d} \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; v_{stat} = \frac{\rho_{Cu} a g d \; sin\alpha}{\eta} =
\underline{0,022 \; m/s} 
\end{displaymath}
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\bf Aufgabe 2: \rm \newline
F"ur die Geschwindigkeit gilt $v= \sqrt{2 g(h-y)}$. Die Bewegung des
Wassers entspricht einem horizontalen Wurf, daher $y=(1/2)g t^{2}$ und
$x=v t$. Aus diesen drei Beziehungen folgt:
\begin{displaymath}
x = \sqrt{2 g (h-y)} \sqrt{\frac{2 y}{g}} = 2 \sqrt{(h-y) y}
\end{displaymath}
Die Extremalbedingung $dx/dy = 0$ ergibt 
\begin{displaymath}
y_{max} = \frac{h}{2} = \underline{0,15 \; m}
\end{displaymath}
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\bf Aufgabe 3: \rm \newline
F"ur die Rakete gilt die Impulsbilanz:
\begin{displaymath}
m \; dv = dm \; v_{g} \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \;
dv = v_{g} \frac{dm}{m}
\end{displaymath}
Integration auf beiden Seiten liefert
\begin{displaymath}
v_{2} - v_{1} = v_{g} \left( ln( m_{2})-ln(m_{1})  \right) 
\end{displaymath}
In diesem Beispiel soll $v_{1}=0$ und $v_{2}= - v_{g}$ sein, daher
\begin{displaymath}
v_{g} = - v_{g} ln \left( \frac{m_{2}}{m_{1}} \right) \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; \underline{m_{2} = \frac{m_{1}}{e} = 368 \; kg}
\end{displaymath}
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\bf Aufgabe 4: \rm \newline 
Die Gesamtenergie des Zylinders ist
\begin{displaymath}
E_{Z} = \frac{1}{2} I \omega^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2}
D x^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}m r^{2} \right) \frac{v^{2}}{r^{2}} 
+ \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} D x^{2} 
= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}m \right) v^{2} + \frac{1}{2} D x^{2}
\end{displaymath}
Vergleichen wir diesen Ausdruck mit der Schwingungsdauer 
$T=2 \pi \sqrt{m/D}$ des W"urfels ohne Rotation und der Energie
\begin{displaymath}
E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} D x^{2}
\end{displaymath}
so folgt f"ur die Schwingungsdauer des Zylinders
\begin{displaymath}
T_{Z} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{2} \frac{m}{D}} = \sqrt{\frac{3}{2}} T
 = \underline{6,12 \; s} 
\end{displaymath} 
\end{document}                       
