\documentstyle[12pt,german,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{Physik I, WS 1993/94} 
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\centerline{Rechen"ubungen am 13. Januar 1994}
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\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Eine hohle Metallkugel mit Aussendurchmesser $d_{1}$ und Innendurchmesser
$d_{2}$ schwimmt auf der Oberfl"ache einer Fl"ussigkeit. Die Dichte 
des Metalls sei $\rho_{M}$, die der Fl"ussigkeit $\rho_{Fl}$. Wie gro"s
mu"s ein Zusatzgewicht sein, das in die Kugel gestellt wird und das
bewirken soll, da"s die Kugel in der Fl"ussigkeit gerade unterhalb
der Oberfl"ache schwebt ? \newline
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\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Ein Autofahrer macht eine Vollbremsung, ohne da"s die R"ader blockieren
($\mu_{H} = 0,8$), und kommt nach $49 \; m$ zum Stand. Welche 
Geschwindigkeit hatte der Wagen ? 
\begin{itemize}
      \item Nehmen Sie an, da"s die Reibungskraft unabh"angig von der
      Geschwindigkeit ist.
\end{itemize}
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\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Eine kreisf"ormige Scheibe drehe sich um eine Achse durch den Mittelpunkt. 
Die Scheibe habe eine Masse $M=4 \; kg$ und einen Radius $R=20 \; cm$. 
Auf dem Umfang sei eine Schnur aufgewickelt, an der eine Masse von  
$m=6 \; kg$ h"angt (siehe Abbildung). Die Scheibe sei anfangs in Ruhe.
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a) Welche Geschwindigkeit $v$ hat die Masse $m$, wenn sie um $1 \; m$
abgesunken ist ? \newline 
b) Wie "andert sich die Geschwindigkeit, wenn man den Radius der Scheibe
bei gleicher Masse verdoppelt ? \newline
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\bf Aufgabe 4: \rm \newline
Die "Uberh"ohung einer Eisenbahnschiene in einer Kurve mit dem 
Kr"ummungsradius $r=200 \; m$ betrage $5^{o}$. Welche Geschwindigkeit
mu"s ein Zug einhalten, damit die Schienen gleichm"a"sig belastet werden ?
\newpage
\bf \underline{L"osungen} \rm \newline
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Auftriebskraft bei vollst"andig eingetauchter Kugel:
\begin{displaymath}
F_{A} = \rho_{Fl} \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3} g = \rho_{Fl} \frac{\pi}
{6} d_{1}^{3} g.
\end{displaymath}
Gewichtskraft:
\begin{displaymath}
F_{g} = \rho_{M} \frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} -R_{2}^{3}) g + G =
\rho_{M} \frac{\pi}{6} (d_{1}^{3} - d_{2}^{3}) g + G
\end{displaymath}
F"ur den Zustand des Schwebens mu"s $F_{A}=F_{g}$ sein. Daraus folgt
f"ur $G$:
\begin{displaymath}
G = g \frac{\pi}{6} \left( d_{1}^{3} (\rho_{Fl} - \rho_{M}) +
d_{2}^{3} \rho_{M} \right) 
\end{displaymath}
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Die kinetische Energie $E_{kin} = (1/2) m v_{0}^{2}$ des Wagens wird
vollst"andig durch Reibung in W"armeenergie umgewandelt:  
\begin{displaymath}
W = F_{R} s = \mu_{H} m g s = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}. 
\end{displaymath}
Daraus folgt f"ur die Geschwindigkeit:
\begin{displaymath}
v_{0} = \sqrt{2 \mu_{H} g s} \approx 100 \; km/h.
\end{displaymath}
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Energiesatz:
\begin{displaymath}
E = \frac{1}{2} I \omega^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = m g h 
\end{displaymath}
Mit $\omega = v/R$ folgt f"ur die Geschwindigkeit: 
\begin{displaymath}
v = \sqrt{\frac{2 m g h}{m + M/2}} = 3,8 \; m/s. 
\end{displaymath}
\bf Aufgabe 4: \rm \newline 
Die Schienen sind gleichm"a"sig belastet, wenn die resultierende Kraft
aus Erdanziehung und Zentrifugalkraft senkrecht auf den Gleisk"orper
wirken. Daraus folgt \newline 
\begin{displaymath}
tan(\alpha ) = \frac{F_{z}}{G} = \frac{m (v^{2}/r)}{mg} = \frac{v^{2}}{gr}
\end{displaymath}
F"ur die Geschwindigkeit ergibt sich:
\begin{displaymath}
v = \sqrt{g r tan(\alpha )} = 13,1 \; m/s =  47 \; km/h. 
\end{displaymath}
\end{document}
