Physik I, WS 1993/94
Rechenübungen am 11. November 1993
Der Gradient und die Existenz von Potentialen.
In der Vorlesung wurde der Begriff des Gradienten eingeführt. Die
Definition ist:
wobei eine skalare Funktion ist. Die wichtigsten
Rechenregeln sind:
Diese Regeln sind ähnlich den bekannten Differentiationsregeln von
Funktionen mit einer Veränderlichen.
Aufgabe 1:
Sei eine nur vom Radius
abhängige
Funktion. Zeigen Sie, daß dann gilt:
.
In der Vorlesung wurde diskutiert, daß bei einer konservativen Kraft
die Arbeit, die benötigt wird um von einem Punkt zu
einem anderen Punkt zu gelangen, nicht vom dem Weg abhängt,
der die beiden Punkte verbindet. Falls man auf zwei Integrationswegen
zu verschiedenen Ergebnissen für die Arbeit kommt, hat man es sicher
mit einer nicht konservativen Kraft zu tun und es existiert kein
Potential. Die Umkehrung ist dagegen nicht so einfach. Man kann durchaus
auf zwei bestimmten Wegen zum gleichen Ergebnis kommen, trotzdem muß
die Kraft nicht konservativ sein. Die Bedingung ist eben gerade,
daß man auf allen Wegen zum gleichen Ergebnis kommt.
Falls allerdings eine skalare Funktion existiert, für
die
ist, so ist immer
unabhängig vom Integrationsweg.
Aufgabe 2:
Zeigen Sie, daß die Kraft ein Potential besitzt, wenn
die folgenden Gleichungen erfüllt sind:
Diese drei Gleichungen von Aufgabe 2 geben uns also die Bedingung an, die
erfüllen muß, um eine konservative Kraft zu sein.
Abschließend geben wir noch ein Verfahren an, wie man das Potential
bestimmt, der Einfachheit halber für 2-dimensionale Felder
. Wir setzen also und .
Es gilt nach Voraussetzung
Aus der ersten Gleichung entnehmen wir, wobei eine zunächst
beliebige Funktion ist,
Differenziert man diesen Ansatz nach , so folgt
Andererseits sollte nach obiger Voraussetzung
sein. Setzen wir dieses in die
vorherige Gleichung ein, so folgt für :
und nach unbestimmter Integration
Einsetzen von in die obige Gleichung für ergibt:
Im letzten Integral kann natürlich
durch
ersetzt werden. Diese Formel kann leicht
auf 3-dimensionale Felder verallgemeinert werden.
Aufgabe 3:
Zeigen Sie, daß die Kraft
eine konservative Kraft ist und bestimmen Sie das Potential.
Harm Fesefeldt
2007-08-06