Physik I, WS 1993/94

Rechenübungen am 28. Oktober 1993

Anmerkung: Falls Sie keinen Taschenrechner zur Hand haben, rechnen Sie in den folgenden Aufgaben mit $g \approx 10 \; m s^{-2}$.
Aufgabe 1:
Zwei Wagen sind mit Federn als Stoßdämpfer ausgestattet. Die Wagen werden einander genähert, sodaß sich die Federn zusammendrücken (siehe Abbildung). Sobald die Wagen wieder losgelassen werden, beschleunigen die Federn den einen Wagen auf $a_{1} = 1 \; m/s^{2}$, den anderen auf $a_{2} = 2 \; m/s^{2}$. Falls der zweite Wagen die Masse $m_{2} = 10000 \; kg$ hat, wie groß ist die Masse des ersten Wagens ?

Aufgabe 2:
Sie stehen in einem Aufzug im Erdgeschoss auf einer Waage. Die Anzeige zeigt
66 $kg$. Sobald sich der Aufzug mit einer konstanten Beschleunigung nach oben bewegt, zeigt die Waage eine Anzeige von 75 $kg$. Wie groß ist die Beschleunigung des Aufzugs ?
Aufgabe 3:
Ein Wagen rollt reibungsfrei auf der schiefen Ebene eines Keils hinab. Der Keilwinkel beträgt $\alpha$. Auf dem Wagen ist ein Pendel angebracht (siehe Abbildung). Wie groß ist der Winkel $\phi$ des Pendelausschlags bezüglich der vertikalen Richtung ?

Aufgabe 4:
Ein Wagen der Masse $m_{2} = 1,5 \; kg$ wird über ein Seil und einer Umlenkrolle mit einem Gewicht der Masse $m_{1} = 0.5 \; kg$ verbunden. (siehe Abbildung unten links).
a) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Wagens !
b) Wie groß ist die Spannungskraft im Seil ?
c) Wie ändern sich Ihre Ergebnisse von Teil a) und b), wenn der Wagen auf einer schiefen Ebene mit Winkel $\alpha = 45^{o}$ reibungsfrei läuft ? (siehe Abbildung unten rechts)

Aufgabe 5:
Zwei Massen $M_{1}$ und $M_{2}$ sind über zwei Umlenkrollen mit einem Seil an einer Decke aufgehängt (siehe Abbildung). Wie groß sind die Beschleunigungen $a_{1}$ und $a_{2}$ der Massen $M_{1}$ und $M_{2}$ ?

Aufgabe 1: (5 Minuten)
Solange die Wagen aneinandergedrückt sind und sich in Ruhe befinden, wirken die folgenden Kräfte auf die Wagen:

Nach Newton sind die Federkonstanten der beiden Wagen in dieser Aufgabe belanglos, die Kräfte $F_{12}$ und $F_{21}$ sind betragsmäßig gleich und entgegengestzt gerichtet. Beim Loslassen der Wagen gilt also:

$$F_{12} + F_{21} = 0 \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; m_{1} a_{1} + m_{2} a_{2} = 0$$

Daher: $\underline{m_{1} = m_{2} \vert a_{2}/a_{1}\vert = 20000 \; kg}$.
Aufgabe 2: (5 Minuten)
Diese Aufgabe ist eine bekannte Klausur- und Prüfungsfrage. Bei ruhendem Aufzug wirkt allein die Erdanziehungskraft, daher $F_{e} = - 66 \cdot 9,81 \; N \approx 660 \; N$. Wenn der Aufzug beschleunigt, kommt eine weitere Kraft $F_{a}$ hinzu, nämlich die der Beschleunigungskraft $m a$ entgegengesetzte Trägheitskraft. Diese sorgt für den anscheinenden Massenzuwachs $\Delta m$. Daher: $m a = \Delta m \; g$.

$$a = \frac{\Delta m}{m} g = \frac{9}{66} \cdot 9,81 \; m/s^{2} \approx \underline{1,33 \; m/s^{2}}$$

Aufgabe 3: (5 Minuten)
Die Trägheitskraft ist entgegengesetzt zur Beschleunigung gerichtet, mit dem Betrag $m g \; sin(\alpha)$, also

$$\vec{F} = \vec{F}_{s} + \vec{F}_t + \vec{F}_{s} - \vec{F}_{a} = \vec{F}_{N}$$

$\vec{F}_{N}$ ist die Normalkomponente auf der schiefen Ebene. Aus der Abbildung folgt sofort: $\underline{\phi = \alpha}$.
Aufgabe 4: (20 Minuten)
Der Wagen mit der Masse $m_{2}$ wird von der Kraft $F_{2}$ beschleunigt. Sofern wir das Seil als masselos ansehen, wirkt die gleiche Kraft in entgegengestzter Richtung auf das Gewicht $m_{1}$, d.h $F_{1}=F_{2}$. Die Masse $m_{1}$ unterliegt noch zusätzlich der Schwerkraft, daher

$$F_{2} = m_{2} a_{2}$$

$$m_{1} g - F_{1} = m_{1} g - F_{2} = m_{1} a_{1}$$

$$m_{1} g - m_{2} a_{2} = m_{1} a_{1}$$

Als Nebenbedingung gilt, daß $a_{1} = a_{2} = a$ sein muß, daher

$$m_{1} g - m_{2} a = m_{1} a \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; a = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} g \approx 2 \; N$$

Die am Seil angreifende Kraft ist schließlich

$$F = F_{1} = F_{2} = m_{2} a_{2} = 1,5 \cdot 2,5 \; N \approx 3,75 \; N$$

Für Teil c) ergibt sich aus

$$F_{2} - m_{2} g \; sin\alpha = m_{2} a_{2}$$

$$m_{1} g - F_{1} = m_{1} a_{1}$$

und den Nebenbedingungen $F_{1}=F_{2}=F$ sowie $a_{1} = a_{2} = a$:

$$a = \frac{m_{2}sin\alpha - m_{1}}{m_{1}+m_{2}} g \; \; \; \;... ...; \; \; \; F = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} (1+sin\alpha ) g$$

Aufgabe 5:
Im durchgehenden Seil von der Masse $M_{1}$ bis zur Decke herrscht überall die Spannung $F$. Daher erhalten wir die Bewegungsgleichungen

$$M_{2} g - 2F = M_{2} a_{2}$$

$$M_{1} g - F = M_{1} a_{1}$$

Daraus folgt zunächst

$$(M_{2} - 2M_{1}) g = M_{2} a_{2} - 2M_{1} a_{1}$$

Die folgende Abbildung führt zu den Nebenbedingungen:

$$l_{1} + l_{2} + l_{3} = l$$

$$l_{1} + d_{1} = x_{1}$$

$$l_{3} + d_{2} = x_{2}$$

$$l_{2} + d_{1} + d_{2} = x_{2}$$

Hieraus folgt:

$$x_{1} + 2x_{2} = 2 d_{1} + 2 d_{2} + l = constant$$

Zweimalige Ableitung nach der Zeit ergibt die Nebenbedingung für die Beschleunigungen:

$$a_{1} + 2 a_{2} = 0 \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; a_{1} = - 2 a_{2}$$

Endergebnis (bitte nachrechnen):

$$a_{1} = \frac{2M_{1} - M_{2}}{2 M_{1} + M_{2}/2} g \; \; \; ... ...\; \; \; \; \; a_{2} = \frac{M_{2} - 2M_{1}}{M_{2} + 4M_{1}} g$$