\documentstyle[12pt,german,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\Large
\centerline{Physik I, WS 1993/94} 
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\centerline{L\"osungen zur Nachholklausur}
\normalsize  
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\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (8 Punkte) \newline
Die Druckbilanz in den beiden F"allen ist
\begin{displaymath}
p_{1} + \rho h g = p_{0}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
p_{2} = p_{0} + \rho h g
\end{displaymath}
Nach Boyle-Mariotte ist $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ oder
$p_{1} l_{1} = p_{2} l_{2}$, da der der Querschnitt "uberall gleich ist.
Dann folgt
\begin{displaymath}
(p_{0} - \rho g h ) l_{1} = (p_{0} + \rho g h ) l_{2} 
\end{displaymath}
Aufgel"ost nach $p_{0}$ ergibt
\begin{displaymath}
p_{0} = \frac{l_{1}+l_{2}}{l_{1}-l_{2}} \rho g h = \underline{0,99 \cdot 
10^{5} \; Pa = 0,99 \; bar}
\end{displaymath}
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\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (8 Punkte) \newline
Die durch die Temperatur"anderung hervorgerufene Kraft ist
\begin{displaymath}
F_{2} = \frac{\Delta l}{l} E A = \frac{\alpha l \; \Delta t}
{l} E A = \alpha E A \; \Delta t = \frac{\pi}{4} \alpha E d^{2} 
\; \Delta t \approx  79 \; N
\end{displaymath}
Zusammen mit der Vorspannung $F_{1}$ ergibt sich: 
$\underline{F=F_{1} + F_{2} = 179 \; N}$ \newline
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\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (9 Punkte) \newline
a) Es gilt die Bernoulli- Gleichung:
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \rho_{L} v^{2} + p + \rho_{L} g h = constant
\end{displaymath}
Der Term mit $\rho_{L} g h$ braucht hier nicht betrachtet zu werden, 
da $h$ bei der Str"omung konstant ist. Am Schenkel 1 ist $v=0$, daher
\begin{displaymath}
p_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho_{L} v^{2}
\end{displaymath}
Die Druckdifferenz $p_{1} - p_{2}$ erzeugt die Fl"ussigkeitss"aule
$\rho_{W} g x$, daher
\begin{displaymath}
p_{1}-p_{2} = \frac{1}{2} \rho_{L} v^{2} = \rho_{W} g x
\end{displaymath}
Aufgel"ost nach $v$ ergibt:
\begin{displaymath}
v = \sqrt{\frac{2 \rho_{W} g x}{\rho_{L}}} \approx \underline{17,4 \; m/s}
\end{displaymath}    
b) Die Fl"ussigkeit im Schenkel 2 steht nat"urlich h"oher. \newline
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\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (9 Punkte) \newline
Der Satellit hat eine stabile Kreisbahn, wenn zwischen der 
Fliehkraft $F_{F}=m \omega^{2} r = mv^{2}/r$ und der Gravitationskraft
$F_{G} = \gamma m M/r^{2}$ Gleichgewicht herrscht. Daher mu"s gelten:
\begin{displaymath}
\frac{mv^{2}}{r} = \gamma \frac{mM}{r^{2}} \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \gamma \frac{mM}{r}
\end{displaymath}
Die Gesamtenergie des Satelliten auf einer Kreisbahn mit Radius $r$ ist 
also
\begin{displaymath}
E = \frac{1}{2} m v^{2} - \gamma \frac{mM}{r} = - \frac{1}{2} \gamma
\frac{mM}{r}
\end{displaymath}
Die Energie $\Delta E$, die ben"otigt wird, um den Radius von 
$r_{1} = R_{E} + h_{1}$ auf $r_{2} = R_{E}+h_{2}$ zu vergr"o"sern, ist 
dann
\begin{displaymath}
\Delta E = E_{2} - E_{1} = - \frac{1}{2} \gamma m M \left(
\frac{1}{R_{E}+h_{2}} - \frac{1}{R_{E}+h_{1}} \right) = \frac{1}{2}
\gamma m M \frac{h_{2} - h_{1}}{(R_{E}+h_{1})(R_{E}+h_{2})} 
\approx  \underline{10^{10} \; J}
\end{displaymath}
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\bf Aufgabe 5: \rm \hspace{10.5cm} (8 Punkte) \newline
Die Energie des Rades ist zu Beginn der Bewegung 
$E= (1/2) m v^{2} + (1/2) I \omega^{2}$. Mit $\omega = v/r$ und 
$I = (1/2) m r^{2}$ also
\begin{displaymath}
E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{4} m v^{2} = \frac{3}{4} m v^{2}
\end{displaymath}
Diese Energie wird durch Rollreibung auf der Strecke $s$ verbraucht:
\begin{displaymath}
E = \frac{3}{4} m v^{2} = \mu_{R} m g s \; \; \; \;  \; \rightarrow 
\; \; \; \; \; s = \frac{3}{4} \frac{v^{2}}{\mu_{R} g}
\end{displaymath}
Zahlenwerte: $\underline{s \approx 765 \; m}$ \newline
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\bf Aufgabe 6: \rm \hspace{10.5cm} (8 Punkte) \newline
Hier gelten Impulssatz und Energiesatz:
\begin{eqnarray}
m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}} &=& m_{1} \vec{v_{1}}' +
m_{2} \vec{v_{2}}' \nonumber \\
\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} &=&
\frac{1}{2} m_{1} v_{1}'^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}'^{2} \nonumber
\end{eqnarray}
Mit $\vec{v_{2}} = 0$ und $m_{1}=m_{2}$ folgen die beiden Gleichungen
\begin{eqnarray}
\vec{v_{1}} &=& \vec{v_{1}}' + \vec{v_{2}}' \nonumber \\
v_{1}^{2} &=& v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
Quadrieren der ersten Gleichung ergibt 
$v_{1}^{2} = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} + 2 \vec{v_{1}}' \cdot \vec{v_{2}}'$.
Zusammen mit der zweiten Gleichung folgt daraus: 
$\vec{v_{1}}' \cdot \vec{v_{2}}' = 0$ oder $\underline{\phi = 90^{o}}$. 
\end{document}
