Physik I, WS 1993/94
Lösungen zur Übung Nr. 13 (Bonusübung)
Besprechung: 3. Februar 1994
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie,
. Allgemein ist
,
daher auch
.
Für die kinetische Energie erhalten wir:
Für die potentielle Energie gilt allgemein bei der ungedämpften
harmonischen Schwingung ein Gesetz der Form
da
. Die Gesamtenergie ist dann
mit
. Für die gesuchte Frequenz folgt:
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Die allgemeine Lösung der gedämpften Schwingung ist nach Vorlesung:
Daher folgt für das Verhältnis der Auslenkungen bei zwei
aufeinanderfolgenden Schwingungen:
Nach Aufgabenstellung also
, daher
Für die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung gilt nach Vorlesung
und daher für die Frequenz:
Aufgabe 3: (6 Punkte)
a) Die Bewegungsgleichung ist
Hierbei ist die um den Auftrieb verringerte Masse des Pendelkörpers,
Wir versuchen den Lösungsansatz
Dieses führt auf die Gleichung
Die zwei partikulären Lösungen sind also:
mit
Für die Schwingungsdauer erhalten wir
b) Der aperiodische Grenzfall wird erreicht für , daher
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Die Schwerkraft erzeugt eine konstante Auslenkung der Feder, verschiebt
also lediglich den Nullpunkt der Auslenkung. Die Bewegungsgleichung
ist
Im Resonanzfall gilt bei schwacher Dämpfung
Mit dem Lösungsanzatz (
) gilt
Daher auch (beachte
):
Im Resonanzfall ist also bei schwacher Dämpfung die äußere Kraft
gleich der Reibungskraft:
Wegen
und
gilt dann auch
oder
Für die Reibungszahl folgt entsprechend
b) Die Leistung kann allgemein durch die Kraft und Geschwindigkeit
ausgedrückt werden:
Die mittlere Leistung ist dann
c) Im Resonanzfall besteht zwischen Geschwindigkeit und der äußeren
Kraft kein Phasenunterschied. Die Amplitude der Geschwindigkeit hat
ein Maximum. Daher hat auch die Arbeit, die während einer Periode
von der äußeren Kraft geleistet wird, ein Maximum:
Harm Fesefeldt
2007-08-06