Physik I, WS 1993/94
Lösungen zur Übung Nr. 4
Besprechung: 25. November 1993
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Ein Federelement der Länge hat die Masse
und
die kinetische Energie
Die Geschwindigkeit der Federauslenkung an der Stelle ist
, wobei die Geschwindigkeit des Körpers ist.
Daher
Integration von bis ergibt
Die Gesamtenergie wird nun zu
Vergleichen wir dieses mit der Kreisfrequenz
bei der Schwingung mit Vernachlässigung der Federmasse, so folgt sofort
Dieses Kreisfrequenz ist kleiner als die Kreisfrequenz bei
Vernachlässigung der Federmasse
.
Die Masse der Feder muß also schon sehr groß sein, um einen nennenswerten
Unterschied zu erhalten
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Körper und Wagen führen Schwingungen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt
aus. Auf Grund der Anfangsbedingungen ist dieser Schwerpunkt nicht in
der Mitte des Wagens, sondern zum Körper hin verschoben. Wir wählen
den Schwerpunkt als Koordinatenurprung. ist die Koordinate des
Körpers, die der Wagenmitte.
Impulserhaltung fordert, daß
Die Bewegungsgleichung für den Körper ist (siehe Abbildung):
Wegen
also auch
Vergleich mit der allgemeinen Gleichung der harmonischen Schwingung
ergibt dann
Für den Wagen muß natürlich die gleiche Schwingungsdauer herauskommen.
Die Anfangsbedingungen sind
und
, wobei und die Amplituden sind,
Daher folgt:
und
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Allgemein gilt,wenn die Masse des Pendelkörpers ist, für die
potentielle Energie beim Maximalausschlag :
Wir machen hier nicht die Approximation
, da wir
über die Größe der Auslenkung nichts wissen. Die Masse kann bei
den Fallunterscheidungen verschieden sein. Diese potentielle Energie
muß gleich der kinetischen Energie des Pendelkörpers nach dem Aufprall
der Geschoßkugel sein.
a) In diesem Fall ist wegen Impulserhaltung
, wobei
die Geschwindigkeit des Pendelkörpers ist. Damit wird die
kinetische Energie des Pendelkörpers
In der Formel für die potentielle Energie ist , daher
oder
b) Im diesem Fall haben wir vor und nach dem Aufprall die folgende
Situation
Impulserhaltung fordert
oder
. Die kinetische des Körpers wird damit nach dem
Aufprall zu
In der Formel für die potentielle Energie ist diesmal zu setzen,
also
oder
c) Dieses ist natürlich ein Spezialfall von b) mit . Daher folgt
sofort
Aufgabe 4: (5 Punkte)
a) Der Schub einer Rakete ist nach Vorlesung
Hier und in allen weiteren Formeln ist . Dieser Schub muß
größer als die Anziehungskraft durch die Erdbeschleunigung sein:
Für ist und
, daher
b) Wir erweitern die in der Vorlesung abgeleitete Formel, um die
Schwerkraft zu berücksichtigen:
Zur Zeit soll sein, daher
c) Wir erweitern eine andere in der Vorlesung abgeleitete Formel mit der
Schwerkraft:
Wegen und
folgt:
Die Zeit , bei der die Masse der Rakete auf die Hälfte abgenommen
hat, folgt aus zu
. Daher
Harm Fesefeldt
2007-08-06