Physik I, WS 1993/94

Lösungen zur Übung Nr. 1

Besprechung: 4. November 1993
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Die Dimensionen müssen auf beiden Seiten der Gleichungen übereinstimmen. Dieses ergibt:
a)

$$\left[ \frac{m}{s} \right]^{n} = k \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{j} \left[ m \right]$$

$$1 = \left[ \frac{m^{n-j-1}}{s^{n-2j}} \right]$$

$$n - 2j = 0$$

$$n - j - 1 = 0$$

Also: n=2 und j=1.
b)

$$1 = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ \frac{m}{s} \right]^{j} \left[ s \right]^{i}$$

$$1 = \left[ \frac{m^{n+j}}{s^{2n+j-i}} \right]$$

$$n + j = 0$$

$$2n + j - i = 0$$

Also: n=1, j=-1 und i=1.
c) Das Argument der Sinusfunktion muß dimensionslos sein. Dieses ergibt zunächst

$$1 = \left[ m \right] \left[ s \right]^{i} \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{l}$$

$$1 + l = 0$$

$$i - 2l = 0$$

Der Faktor vor der Sinusfunktion muß die Dimension einer Länge haben:

$$\left[ m \right] = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ s \right]^{j}$$

$$n-1 = 0$$

$$j-2 = 0$$

Also: n=1 , j=2, l=-1 und i=-2.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Bei der Umrechnung von Knoten in km/h bzw m/s muß zwischen Landmeile und nautischer Meile unterschieden werden:

$$1 \; Landmeile = 1,63 \; km, \; \; \; \; \; 1 \; nautische Meile = 1,85 \; km$$

Bei der Einheit 'Knoten' handelt es sich offensichtlich um die nautische Meile. Daher:

$$12 \; Knoten = 12 \cdot 1.85 \left[ \frac{km}{h} \right] = 6,17 \left[ \frac{m}{s} \right]$$

Koordinatensystem mit x-Achse nach Osten und y-Achse nach Norden:

Schiff und Wind haben die Geschwindigkeitsvektoren (in Einheiten von m/s)

$$\vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{array}{c} -6,17 \\ 0 \\ 0 ... ...\left( \begin{array}{c} 2,47 \\ 2,47 \\ 0 \end{array} \right)$$

Der auf dem Schiff gemessene scheinbare Wind ist

$$\vec{v} = \vec{v}_{Wind} - \vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{array}{c} 8,64 \\ 2,47 \\ 0 \end{array} \right)$$

Daraus folgt: $\underline{\vert\vec{v}\vert \approx 9 \left[ m/s \right]}$.
Das Skalarprodukt beider Vektoren ist:

$$\vec{v}_{Schiff} \cdot \vec{v} = \vert\vec{v}_{Schiff}\vert\vert\vec{v}\vert cos \phi$$

Der Winkel zwischen scheinbarem Wind und Fahrtrichtung ist damit:

$$cos\phi = \frac{\vec{v}_{Schiff} \cdot \vec{v}} {\vert\vec... ...ec{v}\vert} = \frac{-6,17 \cdot 8,64}{6,17 \cdot 9} = -0.96$$

Also: $\underline{\phi \approx 164^{o}}$
Aufgabe 3: (5 Punkte)
a) Gesucht ist

$$\vec{r}(t) = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array... ...\begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{array} \right)$$

Wegen

$$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}/\omega^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}/\omega^{2}} = 1$$

ergibt die Projektion auf die x-y Ebene eine Ellipse mit den Achsen $a/\omega$ und $b/\omega$ und dem Mittelpunkt $(x_{0},y_{0})$.

b) Die Beschleunigung ist

$$\vec{a}(t) = \left( \begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z... ...ga t) \\ -a\omega \; sin(\omega t) \\ c \end{array} \right)$$

Der Körper wird insbesondere in z- Richtung mit konstanter Beschleunigung bewegt.
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Mit $s_{1} = 10 \; m$ und $s_{2} = 90 \; m$ gilt:

$$s_{1} = \frac{a}{2} t_{1}^{2}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; s_{2} = v_{max} t_{2} = a t_{1} t_{2}$$

und damit:

$$t_{1} = \sqrt{\frac{2 s_{1}}{a}}, \; \; \; \; \; \; \; \; \... ... t_{2} = \frac{s_{2}}{at_{1}} = \frac{s_{2}}{\sqrt{2as_{1}}}$$

Die Gesamtzeit ist, mit der Reaktionszeit $t_{r}$:

$$T = t_{r} + t_{1} + t_{2} = t_{r} + \sqrt{\frac{2s_{1}}{a}} + \frac{s_{2}}{\sqrt{2 a s_{1}}}$$

Einsetzen der Zahlenwerte führt auf

$$T = t_{r} + 1,782 \left[ s \right] - 8,018 \left[ s \right] = t_{r} + 9,8 \left[ s \right]$$

Die Gesamtzeit ist also unter 10 $s$, sofern die Reaktionszeit unter $\underline{0,2 \; s}$ bleibt.