Physik III, WS 1992/93
Rechenübungen am 16. Dezember 1992
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Die Ausbreitung einer einfachen harmonischen Welle geschieht mit
einer Geschwindigkeit , die man Phasen- oder auch
Wellengeschwindigkeit nennt. Eine Wellengruppe, die sich nach
Fourier aus vielen Teilwellen verschiedener benachbarter Wellenlängen
bzw Frequenzen aufbauen läßt, bewegt sich mit einer
Gruppengeschwindigkeit . Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
sind verschieden, wenn Dispersion vorhanden ist, d.h. wenn die
Wellengeschwindigkeit von der Wellenlänge bzw von der Frequenz
abhängt. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Signalgeschwindigkeit
und im allgemeinen die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Energie.
Zwischen und bestehen folgende Zusammenhänge:
Falls keine Dispersion vorhanden ist, d.h.
,
dann ist .
Einige Besonderheiten müssen noch für Lichtwellen angeführt werden.
Nach Vorlesung besteht die wichtige Beziehung:
wobei man beachten muß, daß die Wellenlänge in dem
Material ist, in dem sich die Welle ausbreitet. ist
insbesondere nicht die Vakuumwellenlänge. Die Phasengeschwindigkeit ist
dann einfach
und die Gruppengeschwindigkeit
oder auch
|
(1) |
Im allgemeinen drückt man bei der Dispersionsformel
bzw den Brechungsindex aber als Funktion der
Vakuumwellenlänge
des Lichtes aus. Hiermit ergibt
sich eine andere Formel für die Gruppengeschwindigkeit. Zunächst ist
Wegen
folgt
und daher
|
(2) |
Dieses kann man auch schreiben als:
|
(3) |
In praktischen Anwendungen ist der Brechungsindex meistens als
Funktion der Vakuumwellenlänge bzw Frequenz
gegeben, manchmal aber auch als Funktion der
Wellenlänge
in dem betreffenden Material.
Im allgemeinen ergibt es sich aus dem Zusammenhang, ob die
Vakuumwellenlänge oder die Wellenlänge in dem Material gemeint ist.
Aufgabe 1:
Unter der Wirkung von Schwere und Oberflächenspannung
entstehen auf dem Wasser Oberflächenwellen, deren Wellengeschwindigkeit
nach der Formel
gegeben ist. Hierbei ist
die Wellenzahl,
die Oberflächenspannung, die Dichte und
die Gravitationskonstante.
Bei welcher Wellenlänge ist die Phasengeschwindigkeit gleich
der Gruppengeschwindigkeit ?
Aufgabe 2:
Bei der Federkette (siehe Aufgabe 1.4) und beim Wellenleiter
(siehe Aufgabe 5.3) ergab sich für die Dispersion ein Ausdruck
der Form
wobei die Wellenzahl und eine charakteristische Länge,
nämlich der Abstand der Massenpunkte (Federkette) bzw der
Abstand der Induktivitäten (Wellenleiter) ist.
a) Berechnen Sie die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit als
Funktion der Wellenlänge und als Funktion der Frequenz
.
b) Wie groß ist insbesondere die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
für
, d.h bei der Grenzfrequenz ?
- Anmerkung: Es ist
und
Aufgabe 3:
Gelbes Natriumlicht der Wellenlänge wird durch
gelenkt. Der Brechungsindex bei dieser Wellenlänge
beträgt und die Dispersion
. Um wieviel
unterscheiden sich Wellen- und Gruppengeschwindigkeit ?
Aufgabe 4:
In der Atomphysik und Quantenmechanik wird gezeigt, daß man
auch massiven Teilchen eine Wellenlänge zuordnen muß.
Für eine derartige Materiewelle eines mit der Geschwindigkeit
bewegten Massepunktes gilt die Beziehung von
de Broglie:
wobei das Plancksche Wirkungsquantum ist. ist also
insbesondere eine Konstante. Für die Frequenz der Welle gilt in
Analogie zu den Lichtquanten die Beziehung und
.
Die Größe
nennt man die Comptonwellenlänge.
a) Berechnen Sie die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit als Funktion
der Wellenlänge.
b) Wie groß sind insbesondere die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
für , also für masselose Teilchen ?
Anmerkung zur Aufgabe 2 der Heimübungen Nr.9.
In dieser Aufgabe wurde der komplexe Brechungsindex in der Form
geschrieben, während in der Vorlesung
benutzt wurde. Der Unterschied bei dieser
verschiedenen Schreibweise liegt im unterschiedlichen Ansatz für
die Feldstärke begründet. Im ersten Fall schreibt man
, während im zweiten
Fall der Ansatz
benutzt
wird. Das Vorzeichen vor dem Imaginärteil des Brechungsindex hat
also keine tiefere Bedeutung, sondern hängt lediglich vom
Ansatz für die Feldstärken ab.
Lösungen zu den Rechenübungen am 16.12.92.
Aufgabe 1:
Die Phasengeschwindigkeit ist gleich der Gruppengeschwindigkeit, falls
. Daher
Für die Wellenlänge
ist .
Aufgabe 2:
Wegen
folgt
und daher auch
Für die Gruppengeschwindigkeit erhalten wir zunächst als Funktion
der Wellenlänge:
Um als Funktion der Frequenz zu bestimmen, bemerkem wir
zunächst daß nach Anmerkung zur Aufgabe
|
(4) |
ist. Daher folgt:
|
(5) |
Bei der Grenzfrequenz
ist wegen
:
Daher sperrt die Kette den Energietransport, während die
Phasengeschwindigkeit weiterhin von Null verschieden ist.
Aufgabe 3:
Hier ist offensichtlich mit die Vakuumwellenlänge
gemeint. Daher
|
(6) |
Zahlenwerte:
Aufgabe 4:
|
(7) |
Daher
Zur Berechnung der Gruppengeschwindigkeit bemerken wir, daß
Daher
Also:
Die Phasengeschwindigkeit ist also immer größer als die
Lichtgeschwindigkeit , die Gruppengeschwindigkeit dagegen kleiner als
. Die Materiewellen müssen natürlich auch für den Grenzfall
(Lichtwellen im Vakuum) vernünftige Ergebnisse liefern.
In diesem Fall ist
un daher tatsächlich
.
Harm Fesefeldt
2007-08-23