\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{Rechen"ubungen  am 16. Dezember 1992}
\normalsize  
\vskip 5mm
\bf \underline{Phasen- und Gruppengeschwindigkeit} \rm \newline
Die Ausbreitung einer einfachen harmonischen Welle geschieht mit
einer Geschwindigkeit $v_{ph}$, die man Phasen- oder auch
Wellengeschwindigkeit nennt. Eine Wellengruppe, die sich nach 
Fourier aus vielen Teilwellen verschiedener benachbarter Wellenl"angen
bzw Frequenzen aufbauen l"a"st, bewegt sich mit einer 
Gruppengeschwindigkeit $v_{gr}$. Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
sind verschieden, wenn Dispersion vorhanden ist, d.h. wenn die 
Wellengeschwindigkeit von der Wellenl"ange bzw von der Frequenz
abh"angt. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Signalgeschwindigkeit
und im allgemeinen die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Energie.
Zwischen $v_{ph}$ und $v_{gr}$ bestehen folgende Zusammenh"ange:
\begin{eqnarray}
v_{ph} &=& \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi \nu}{2\pi /\lambda} =
\lambda \nu \nonumber \\
v_{gr} &=& \frac{d\omega}{dk} = v_{ph} - \lambda 
\frac{dv_{ph}}{d\lambda} \nonumber
\end{eqnarray}
Falls keine Dispersion vorhanden ist, d.h. $dv_{ph}/d\lambda = 0$,
dann ist $v_{gr}=v_{ph}$. \newline
Einige Besonderheiten m"ussen noch f"ur Lichtwellen angef"uhrt werden.
Nach Vorlesung besteht die wichtige Beziehung:
\begin{displaymath}
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c} n
\end{displaymath}
wobei man beachten mu"s, da"s $\lambda$ die Wellenl"ange in dem
Material ist, in dem sich die Welle ausbreitet. $\lambda$ ist 
insbesondere nicht die Vakuumwellenl"ange. Die Phasengeschwindigkeit ist 
dann einfach
\begin{displaymath}
v_{ph} = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{n},
\end{displaymath}
und die Gruppengeschwindigkeit
\begin{displaymath}
v_{gr} = \frac{c}{n} - \lambda \frac{d(c/n)}{d\lambda} = 
\frac{c}{n} + \frac{\lambda c}{n^{2}} \frac{dn}{d\lambda} 
\end{displaymath}
oder auch
\begin{equation}
v_{gr} = v_{ph} \left( 1 + \frac{\lambda}{n} \frac{dn}{d\lambda} \right)
\end{equation}
Im allgemeinen dr"uckt man bei der Dispersionsformel $n(\omega )$ 
bzw $n(\lambda )$ den Brechungsindex aber als Funktion der 
Vakuumwellenl"ange $\lambda_{vak} = n \lambda$ des Lichtes aus. Hiermit ergibt
sich eine andere Formel f"ur die Gruppengeschwindigkeit. Zun"achst ist
\begin{displaymath}
\frac{1}{v_{gr}} = \frac{dk}{d\omega} = \frac{n}{c} + 
\frac{\omega}{c} \frac{dn}{d\omega}.
\end{displaymath}
Wegen $\omega = 2\pi c/\lambda_{vak}$ 
folgt $d\omega /d\lambda_{vak} = -(2\pi c/\lambda_{vak}^{2})$ und daher
\begin{equation}
\frac{1}{v_{gr}} = \frac{n}{c} - \frac{\lambda_{vak}}{c}
\frac{dn}{d\lambda_{vak}} = \frac{n}{c} \left( 1 - 
\frac{\lambda_{vak}}{n} \frac{dn}{d\lambda_{vak}} \right)  
\end{equation}
Dieses kann man auch schreiben als:
\begin{equation}
v_{gr} = v_{ph} \frac{1}{1 - (\lambda_{vak}/n) (dn/d\lambda_{vak})}
\end{equation}
In praktischen Anwendungen ist der Brechungsindex meistens als
Funktion der Vakuumwellenl"ange $\lambda_{vak}$ bzw Frequenz 
$\omega$ gegeben, manchmal aber auch als Funktion der 
Wellenl"ange $\lambda = \lambda_{vak}/n $ in dem betreffenden Material.
Im allgemeinen ergibt es sich aus dem Zusammenhang, ob die 
Vakuumwellenl"ange oder die Wellenl"ange in dem Material gemeint ist. 
\newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Unter der Wirkung von Schwere und Oberfl"achenspannung 
entstehen auf dem Wasser Oberfl"achenwellen, deren Wellengeschwindigkeit
nach der Formel
\begin{displaymath}
v_{ph}^{2} = \frac{g}{k} + \frac{\sigma k}{\rho}   
\end{displaymath}
gegeben ist. Hierbei ist $k=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl,
$\sigma$ die Oberfl"achenspannung, $\rho$ die Dichte und 
$g$ die Gravitationskonstante. \newline
Bei welcher Wellenl"ange ist die Phasengeschwindigkeit gleich 
der Gruppengeschwindigkeit ?  \newline 
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Bei der Federkette (siehe Aufgabe 1.4) und beim Wellenleiter
(siehe Aufgabe 5.3) ergab sich f"ur die Dispersion ein Ausdruck
der Form
\begin{displaymath}
\omega = \Omega \; sin(\frac{ka}{2}),
\end{displaymath}
wobei $k$ die Wellenzahl und $a$ eine charakteristische L"ange,
n"amlich der Abstand der Massenpunkte (Federkette) bzw der
Abstand der Induktivit"aten (Wellenleiter) ist. \newline
a) Berechnen Sie die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit als
Funktion der Wellenl"ange $\lambda$ und als Funktion der Frequenz
$\omega$. \newline
b) Wie gro"s ist insbesondere die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
f"ur $\omega = \Omega$, d.h bei der Grenzfrequenz ? 
\begin{itemize}
\item Anmerkung: Es ist $arcsin(1)=\pi/2$ und 
$(d/dx) arcsin(x) = 1/\sqrt{1-x^{2}}$ 
\end{itemize} 

\newpage
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Gelbes Natriumlicht der Wellenl"ange $589,6 \; nm$ wird durch
$CS_{2}$ gelenkt. Der Brechungsindex bei dieser Wellenl"ange
betr"agt $n=1,628$ und die Dispersion 
$dn/d\lambda = -1,6 \cdot 10^{3} \; cm^{-1}$. Um wieviel $\%$
unterscheiden sich Wellen- und Gruppengeschwindigkeit ? \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 4: \rm \newline
In der Atomphysik und Quantenmechanik wird gezeigt, da"s man 
auch massiven Teilchen eine Wellenl"ange zuordnen mu"s.
F"ur eine derartige Materiewelle eines mit der Geschwindigkeit
$v$ bewegten Massepunktes $m$ gilt die Beziehung von
de Broglie:
\begin{displaymath}
\lambda = \frac{h}{mv},
\end{displaymath}
wobei $h$ das  Plancksche Wirkungsquantum ist. $h$ ist also
insbesondere eine Konstante. F"ur die Frequenz der Welle gilt in
Analogie zu den Lichtquanten die Beziehung $E=h \nu$ und 
$E^{2} = c^{2} (m^{2}c^{2} + (m v)^{2})$. 
Die Gr"o"se $\Lambda = h/(mc)$ nennt man die Comptonwellenl"ange. \newline
a) Berechnen Sie die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit als Funktion
der Wellenl"ange. \newline
b) Wie gro"s sind insbesondere die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
f"ur $m=0$, also f"ur masselose Teilchen ?    \newline
\vskip 20mm
\underline{Anmerkung zur \bf Aufgabe 2 \rm der Heim"ubungen \bf Nr.9. \rm} 
\newline
In dieser Aufgabe wurde der komplexe Brechungsindex in der Form
$\tilde{n} = n - i\; \kappa$ geschrieben, w"ahrend in der Vorlesung
$\tilde{n} = n + i\; \kappa$ benutzt wurde. Der Unterschied bei dieser
verschiedenen Schreibweise liegt im unterschiedlichen Ansatz f"ur
die Feldst"arke begr"undet. Im ersten Fall schreibt man
$\vec{E} = \vec{E_{0}} exp[i(\omega t - k z)]$, w"ahrend im zweiten
Fall der Ansatz $\vec{E} = \vec{E_{0}} exp[i(kz-\omega t)]$ benutzt
wird. Das Vorzeichen vor dem Imagin"arteil des Brechungsindex hat
also keine tiefere Bedeutung, sondern h"angt lediglich vom
Ansatz f"ur die Feldst"arken ab.         
\newpage
\bf L"osungen zu den Rechen"ubungen am 16.12.92. \rm \newline
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Die Phasengeschwindigkeit ist gleich der Gruppengeschwindigkeit, falls
$dv_{ph}/d\lambda = 0$. Daher
\begin{displaymath}
0 = \frac{dv_{ph}}{d\lambda} = \frac{(g/2\pi ) - (2\pi \sigma)/
(\rho \lambda^{2}) }{2 \sqrt{(g\lambda/2\pi) + (2\pi \sigma/
\rho \lambda)}} \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; 
\lambda^{2} = \frac{4\pi^{2} \sigma}{\rho g}
\end{displaymath}
F"ur die Wellenl"ange
\begin{displaymath}
\lambda = 2 \pi \sqrt{ \frac{\sigma}{\rho g}}
\end{displaymath}
ist $v_{gr}=v_{ph}$. \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
\begin{displaymath}
v_{ph} = \frac{\omega}{k} = \frac{\Omega}{k} sin(\frac{ka}{2}) 
= \frac{\Omega}{2\pi} \lambda \; sin(\frac{\pi a}{\lambda}) 
\end{displaymath}
Wegen $\omega =\Omega sin(ka/2)$ folgt 
$k=(2/a) arcsin(\omega /\Omega)$ und daher auch
\begin{displaymath}
v_{ph} = \frac{a}{2} \frac{\omega}{arcsin(\omega/\Omega)}
\end{displaymath}
F"ur die Gruppengeschwindigkeit erhalten wir zun"achst als Funktion
der Wellenl"ange:
\begin{displaymath}
v_{gr} = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\Omega a}{2} 
cos(\frac{ka}{2}) = \frac{\Omega a}{2} cos(\frac{\pi a}{\lambda}) 
\end{displaymath}
Um $v_{gr}$ als Funktion der Frequenz zu bestimmen, bemerkem wir
zun"achst da"s nach Anmerkung zur Aufgabe
\begin{equation}
\frac{dk}{d\omega} = \frac{2}{a} \frac{d}{d\omega} arcsin(
\frac{\omega}{\Omega}) = \frac{2}{a \Omega} 
\frac{1}{\sqrt{1-(\omega /\Omega )^{2} }}
\end{equation}
ist. Daher folgt:
\begin{equation}
v_{gr} = \frac{1}{dk/d\omega} = 
\frac{a \Omega}{2} \sqrt{1 - \left( \frac{\omega}{\Omega} \right)^{2}}
\end{equation}
Bei der Grenzfrequenz $\omega_{g} = \Omega$ ist wegen 
$arcsin(1)=\pi/2$: 
\begin{displaymath}
v_{ph}= \frac{\Omega a}{\pi} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
v_{gr} = 0.
\end{displaymath}
Daher sperrt die Kette den Energietransport, w"ahrend die 
Phasengeschwindigkeit weiterhin von Null verschieden ist. \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Hier ist offensichtlich mit $\lambda$ die Vakuumwellenl"ange 
$\lambda_{vak}$ gemeint. Daher
\begin{equation}
\frac{v_{gr}-v_{ph}}{v_{gr}} = 1 - \frac{v_{ph}}{v_{gr}} =
1 - \frac{c}{n} \left( \frac{n}{c} - \frac{\lambda_{vak}}{c}
\frac{dn}{d\lambda_{vak}} \right) = 
\frac{\lambda_{vak}}{n} \frac{dn}{d\lambda_{vak}}
\end{equation}
Zahlenwerte: 
\begin{displaymath}
\frac{v_{gr}-v_{ph}}{v_{gr}} = - 0.058 = - 5,8 \; \%
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 4: \rm \newline
\begin{equation}
v_{ph}^{2} = \nu^{2} \lambda^{2} = \frac{c^{2}}{h^{2}} 
[m^{2} c^{2} + (mv)^{2}] \lambda^{2} = c^{2} \left( \frac{m^{2}
c^{2}}{h^{2}} \lambda^{2} + 1 \right) = c^{2} \left( 1 +
\frac{\lambda^{2}}{\Lambda^{2}} \right)  
\end{equation}
Daher
\begin{displaymath}
v_{ph} = c \sqrt{1 + \frac{\lambda^{2}}{\Lambda^{2}} }
\end{displaymath}
Zur Berechnung der Gruppengeschwindigkeit bemerken wir, da"s
\begin{displaymath}
\frac{dv_{ph}}{d\lambda} = \frac{c \lambda}{\Lambda^{2}} 
\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^{2}/\Lambda^{2}}} = \frac{c^{2} \lambda}
{\Lambda^{2}} \frac{1}{v_{ph}}
\end{displaymath}
Daher
\begin{displaymath}
v_{gr} = v_{ph} - \lambda \frac{dv_{ph}}{d\lambda} = 
v_{ph}-\frac{c^{2}\lambda^{2}}{\Lambda^{2} v_{ph}} =
\frac{v_{ph}^{2} - c^{2} \lambda^{2}/\Lambda^{2}}{v_{ph}}
= \frac{c^{2}}{v_{ph}}
\end{displaymath}
Also:
\begin{displaymath}
v_{gr} = \frac{c^{2}}{v_{ph}} = \frac{c}{\sqrt{1 + \lambda^{2}/\Lambda^{2}}}
\end{displaymath}
Die Phasengeschwindigkeit ist also immer gr"o"ser als die
Lichtgeschwindigkeit $c$, die Gruppengeschwindigkeit dagegen kleiner als
$c$. Die Materiewellen m"ussen nat"urlich auch f"ur den Grenzfall
$m \to 0$ (Lichtwellen im Vakuum) vern"unftige Ergebnisse liefern.
In diesem Fall ist $\Lambda \to \infty$ un daher tats"achlich 
$v_{ph}=v_{gr}=c$.  
\end{document}
