Physik III, WS 1992/93

Rechenübungen am 9. Dezember 1992

Optische Instrumente
In der Übungsstunde am 2.12.92 wurden die Grundlagen der paraxialen Matrizen- Optik eingeführt. In dieser Übungsstunde werden wir dieses Verfahren benutzen, um einfache optische Geräte zu studieren. Wir wiederholen kurz die wichtigsten Transformationen.
1) Ein Lichtstrahl mit Abstand $r_{1}$ und Winkel $r_{1}'$ zur optischen Achse wird von Punkt $z_{1}$ nach Punkt $z_{2}$ transformiert ( $d=\vert z_{2}-z_{1}\vert$):

$$T : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c}... ...left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right).$$ (1)

2) Ein sphärischer Spiegel läßt den Abstand $r_{1}$ zur optischen Achse konstant ($r_{2}=r_{1}$) und ändert nur die Richtung $r_{1}'$ nach $r_{2}'$:

$$R : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c}... ...\left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right).$$ (2)

3) Eine spärische Begrenzungsfläche zwischen zwei Medien mit den Brechungsindizes $n_{1}$ und $n_{2}$ läßt den Abstand zur optischen Achse ebenfalls konstant, ändert aber die Richtung des Lichtstrahls. Der Strahl läuft von Medium 1 nach Medium 2:

$$B : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - P_{21} & n_{1}/n_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

$$P_{21} = \frac{1}{n_{2}} \; \frac{(n_{2}-n_{1})}{R}$$

Um die Brechkraft einer einzelnen Bregrenzungsfläche von der Brechkraft der Linse (siehe später) zu unterscheiden, führen wir ab jetzt die Bezeichnung $P$ ein. In der letzten Übung hatten wir hierfür ebenfalls das Symbol $D$ benutzt.
4) Mit Hilfe dieser drei Transformationen kann man die Transformations- Matrix einer Linse herleiten (siehe Beispiel 3 der Übungsstunden vom 2.12.92). Für die dünne Linse (Dicke der Linse $d=0$) erhält man (siehe auch Vorlesung und Aufgabe 1 dieser Übung):

$$L : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{21} & n_{1}/n_{2} \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

$$D_{21} = \frac{1}{n_{2}} \left[ \frac{n-n_{1}}{R_{1}} - \frac{n-n_{2}}{R_{2}} \right]$$

Hierbei haben wir die allgemeinste Form angeschrieben. Die Linse begrenzt zwei Medien mit Brechungsindex $n_{1}$ und $n_{2}$, der Brechungsindex des Linsenmaterials selbst ist $n$. Die Krümmungsradien der Linsenflächen sind $R_{1}$ und $R_{2}$. Der Lichtstrahl läuft von Medium 1 durch die Linse in das Medium 2.

Vorzeichenkonvention für die Krümmungsradien
$R$ ist positiv, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konvex ist, $R$ ist negativ, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konkav ist.

• Diese Vorzeichenkonvention ist für die Brechung und für die Linsen identisch mit der in der Vorlesung gewählten Konvention, für die Reflektion dagegen gerade umgekehrt. In der Vorlesung wurde das Vorzeichen im Hinblick auf die Realität und Virtualität von Abbildungen gewählt. Hiernach muß man bei der Reflektion an konkaven Flächen ein positives Vorzeichen, bei der Reflektion an konvexen Flächen ein negatives Vorzeichen wählen. In der Matrizen- Optik dagegen kann es zu schlimmen Fehlern führen, wenn man verschiedene Vorzeichen für Reflektion und Brechung an ein und derselben Wölbung einführt, insbesondere dann, wenn man Spiegel und Linsen in ein- und derselben optischen Anordnung hat (z.B. bei Spiegellinsen). Wer die in der Vorlesung benutzte Vorzeichenkonvention vorzieht, muß in der Transformationsmatrix der Reflexion $2/R$ durch $-2/R$ ersetzen.
• In der technischen Literaur weicht die Bezeichnung für Linsen von dem hier gewählten Schema ab. Eine Bikonvex- Linse ist z.B. eine Linse mit einer konvexen und einer konkaven Begrenzungsfläche. Bei der Bezeichnung von Linsen ist nicht entscheidend, welche Wölbung der Lichtstrahl sieht, sondern welche Wölbung man jeweils von außen sieht. Im folgenden sind die technischen Bezeichnungen noch einmal aufgeführt.

Im übrigen ist es empfehlenswert, die Vorzeichen von $R$ bereits bei der Aufstellung der Transformationen einzusetzen, sodaß in den Rechnungen selbst $R$ stets positiv ist. Schließlich sollte noch erwähnt werden, daß die Transformationen der Brechung und Reflexion auch für den Grenzfall $R \to \infty$ gelten, d.h. auch für ebene Begrenzungsflächen gültig sind.
Durch Mehrfachanwendung kann man mit Hilfe dieser drei Transformationen den Strahlengang in beliebig komplizierten Systeme berechnen. In dieser Übung betrachten wir die wichtigsten, aus zwei dünnen Linsen bestehenden Systeme.

• Aufgabe 1:
  Zeigen Sie, daß die oben angegebene Transformationsmatrix für die dünne Linse aus der Transformationsmatrix der Brechung folgt.
• Aufgabe 2:
  Unter welche Bedingungen ist bei einer einzigen Linse der Strahlengang vertauschbar, d.h. wann ist es für die Abbildung egal, Vorder- und Rückseite der Linse zu vertauschen ?

Systeme aus zwei Linsen.
Wir betrachten ein System aus zwei dünnen Linsen, die sich auf der optischen Achse im Abstand $d$ befinden.

Hierbei kann es sich um belibig gewölbte Linsen handeln. Das umgebende Material sei ein Material mit Brechungsindex $n_{0}$ (d.h. $n_{1}=n_{2}=n_{0}$ in der Linsenmatrix), das Linsenmaterial sei immer Glas mit Brechungsindex $n$. Dann erhalten wir für die Brechkräfte der Linsen:

$$D = \frac{(n-n_{0})}{n_{0}} \left( \frac{1}{R_{a}}-\frac{1}{R_{b}} \right)$$ (3)

Beachten Sie hierbei aber sorgfältig die Vorzeichenkonvention für die Krümmungsradien. Diese sind in der nachfolgenden Skizze noch einmal für die verschiedenen Linsentypen angegeben, und zwar einmal für Lichtstrahlen in Richtung der optischen Achse (oben), zum anderen für Lichtstrahlen entgegengesetzt zur optischen Achse (unten).

Abbildung durch einen zweistufigen Prozeß.
In Lehrbüchern (siehe auch Vorlesung) wird die Abbildung durch ein System zweier Linsen gewöhnlich als zweistufiger Prozeß dargestellt. Dazu wird zunächst das von der ersten Linse entworfene Zwischenbild bestimmt. Dieses Zwischenbild wird dann mit der zweiten Linse zum Endbild abgebildet. Die folgende Skizze zeigt das Verfahren.

Offensichtlich gilt

$$\frac{1}{g} + \frac{1}{b'} = \frac{1}{f_{1}}$$

$$\frac{1}{d-b'} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f_{2}}$$

Elimination von $b'$ aus beiden Gleichungen führt dann zu der gesuchten Abbildungsgleichung zwischen $g$ und $b$. Ähnlich kann der Abbildungsmaßtab aus einem derartigen zweistufigen Prozeß berechnet werden. Bei Systemen mit mehr als zwei Linsen wird dieses Verfahren aber außerordentlich mühsam, wenn nicht sogar unlösbar. Systeme mit vielen Abbildungselementen werden in der Lasertechnik (z.B. optische Resonatoren) und in der Teilchenoptik (Elektronenmikroskope, Beschleuniger) benötigt. Im letzteren Fall handelt es sich natürlich nicht um optische, sondern um elektrische und magnetische Linsen. Derartige Systeme können nur mit den Methoden der Matrizen- Optik behandelt werden. Als Übung hierzu wollen wir auch das zweistufe Linsensystem mit der Matrizen- Optik behandeln.
Abbildung mit Hilfe der Matrizen-Optik.
Die Transformation eines Lichtstrahls vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{2}$ ist gegeben durch

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right) ... ...end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

$$= \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right) ... ...end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$

Die Systemmatrix $M$ läßt sich leicht auswerten und ergibt:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{2} & 1 \end{array... ...{1} - D_{2} + d D_{1} D_{2} & 1 - dD_{2} \end{array} \right)$$ (4)

Die Elemente der Matrix $M$ sind also:

$$M_{11} = 1 - d D_{1}$$

$$M_{12} = d$$

$$M_{21} = -D_{1} -D_{2} +d D_{1} D_{2}$$

$$M_{22} = 1 - d D_{2}$$

• Aufgabe 3:
  Eine dünne, plankonkave Linse ($n=3/2$) ist in horizontaler Stellung so in Wasser ($n_{w}=4/3$) getaucht, daß der unter der sphärischen Fläche liegende Raum mit Luft ($n_{0}=1$) gefüllt ist. Die Gesamtbrechkraft des optischen Systems hat den Wert $D=-2,6 \; dpt.$ Bestimmen Sie den Krümmungsradius der Linse. Betrachten Sie hierbei das System
  a) einmal als zentriertes System zweier Linsen ($d=0$),
  b) zum anderen als Einzellinse aus drei brechenden Flächen.

Die gesamte Transformation läßt sich ausrechnen zu (siehe auch Beispiel 3 der Übungen vom 2.12.92):

$$r_{2} = [M_{11}+M_{21} d_{2}] r_{1} + [M_{11} d_{1} + M_{12} + M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ] r_{1}'$$

$$r_{2}' = M_{21} r_{1} + [M_{21} d_{1} + M_{22} ] r_{1}'$$

Zur Bestimmung der Abbildungsgleichung setzen wir $g=d_{1}$, $b=d_{2}$ und fordern, daß jeder von $r_{1}$ kommende Lichtstrahl in $r_{2}$ fokussiert wird, unabhängig von $r_{1}'$. Dann muß der Koeffizient vor $r_{1}'$ in der ersten der beiden Transformationsformeln verschwinden:

$$M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b = 0$$

Hieraus folgen die Abbildungsgleichungen

$$g = - \frac{M_{22} b + M_{12}}{M_{21}b + M_{11}} \; \; \; \... ...; \; \; \; b = - \frac{M_{11} g + M_{12}}{M_{21}g + M_{22}}$$

Den Abbildungsmaßstab erhält man hieraus zu ( $r_{1}=G, \; r_{2}= B, \; d_{2}=b$):

$$\frac{B}{G} = M_{11} + M_{21} b = M_{11} - M_{21} \frac{M_{... ...}M_{12}} {M_{21}g+M_{22}} = \frac{det(M)}{M_{21}g + M_{22}}.$$

Die Determinante dieser Systemmatrix ist aber gleich 1, was man durch Einsetzen der Matrixelemente prüfen kann. Durch Mischen der obigen Formeln kann man vier verschiedene Formeln für den Abbildungsmaßtab herleiten:

$$\frac{B}{G} = \frac{1}{M_{22}+M_{21}g} = M_{11} + M_{21} b = - \frac{b}{M_{12} + M_{11}g} = - \frac{M_{12}+M_{22}b}{g}.$$

Aus den ersten beiden Formeln erhalten wir noch die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung:

$$\left( b + \frac{M_{11}}{M_{21}} \right) \left( g + \frac{M_{22}}{M_{21}} \right) = \left( \frac{1}{M_{21}} \right)^{2}$$ (5)

Optische Systeme mit zwei Linsen (Mikroskop, Fernrohr, Projektor u.s.w) unterscheiden sich im wesentlichen durch die Brechkräfte $D_{1}=1/f_{1}$, $D_{2}=1/f_{2}$ und den Abstand $d=f_{1}+f_{2}+l$. Beim Mikroskop ist $l > f_{1}$ und $l > f_{2}$, beim Fernrohr $l<f_{1}$, $l<\vert f_{2}\vert$. Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir für die Systemmatrix:

$$M_{11} = 1-(f_{1}+f_{2}+l)\frac{1}{f_{1}} = -\frac{f_{2}+l}{f_{1}}$$

$$M_{12} = f_{1}+f_{2} + l$$

$$M_{21} = -\frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{2}} + (f_{1}+f_{2}+l) \frac{1}{f_{1}f_{2}} = \frac{l}{f_{1}f_{2}}$$

$$M_{22} = 1 - (f_{1}+f_{2}+l) \frac{1}{f_{2}} = - \frac{f_{1}+l}{f_{2}}$$

Die Newtonsche Abbildungsgleichung wird hiermit zu

$$\left[ g - \frac{f_{1}(f_{1}+l)}{l} \right] \left[ b - \f... ...2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1}f_{2}} {l} \right)^{2}$$ (6)

und der Abbildungsmaßstab zu

$$\frac{B}{G} = \frac{f_{1} f_{2}}{l(g-f_{1}) - f_{1}^{2}} = \frac{l(b-f_{2}) - f_{2}^{2}}{f_{1}f_{2}}$$ (7)

In der obigen Abbildungsgleichung sind $g$ und $b$ grundsätzlich Gegenstands- und Bildweite von den Linsenbegrenzungen aus gemessen. In der älteren Literatur und für zeichnerische Zwecke werden häufig noch die Hauptebenen eingeführt (siehe Vorlesung). Hierbei wird dann $g$ und $b$ als Abstände von den Hauptebenen definiert. In der Matrizen-Optik ist die Definition der Hauptebenen jedoch im allgemeinen überflüssig.

• Aufgabe 4:
  Beweisen Sie die beiden letzten Formeln für die Abbildungsgleichung und den Abbildungsmaßstab.
• Aufgabe 5:
  Zwei Sammellinsen mit den Brennweiten $3\; cm$ und $4 \; cm$ sind auf einer optischen Bank im Abstand von $15 \; cm$ angebracht. Berechnen Sie, in welchem Abstand vor der ersten, als Objektiv wirkenden Linse man einen Gegenstand aufstellen muß, damit das System vom Gegenstand ein virtuelles Bild entwirft, daß sich in der deutlichen Sehweite befindet. Das Auge des Beobachters sei dicht an die zweite, als Okular wirkende Linse gerückt.

Lösungen zu den Rechenübungen am 9.12.92.
Aufgabe 1:
Die Systemmatrix einer Einzellinse ist:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{2} & n/n_{2} \end... ...egin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{1} & n_{1}/n \end{array} \right)$$ (8)

wobei die Brechkräfte der Flächen durch

$$P_{1}=\frac{1}{n} \left( \frac{n-n_{1}}{R_{a}} \right), \... ... P_{2} = \frac{1}{n_{2}} \left( \frac{n_{2}-n}{R_{b}} \right)$$

gegeben sind. Der Lichtstrahl läuft vom Medium 1 durch die Linse in das Medium 2. Mit $d=0$ (dünne Linse) folgt:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -(P_{2} +n P_{1}/n_{2}) & n_{1}/n_{2} \end{array} \right)$$ (9)

Daraus folgt:

$$D_{21} = P_{2} + \frac{n}{n_{2}} P_{1} = \frac{1}{n_{2}} \left[ \frac{n-n_{1}}{R_{a}} - \frac{n-n_{2}}{R_{b}} \right]$$ (10)

Aufgabe 2:
Antwort: $n_{1}=n_{2}=n_{0}$, denn dann gilt:

$$D_{21} = \frac{1}{n_{0}} \left[ \frac{n-n_{0}}{R_{a}} - \frac{n-n_{0}}{R_{b}} \right]$$

Falls der Lichtstrahl von der entgegengesetzten Seite kommt, ändert sich die Reihenfolge der Flächen und die Vorzeichen der Krümmungsradien. Daher

$$D_{12} = \frac{n-n_{0}}{n_{0}} \left[ \frac{1}{R_{b}'} - ... ...}} \left[ \frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right] = D_{21}$$ (11)

Aufgabe 3:
a) Wir betrachten das System als aus 2 Linsen zusammengesetzt, zunächst mit Abstand $d$.

Dann sind die Brechkräfte

$$D_{1} = - \frac{n-n_{w}}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert} \; \... ...\; D_{2} = \frac{n_{0}-n_{w}}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert}$$

Mit $d \to 0$ folgt:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1}-D_{2} & 1 \end{array} \right)$$ (12)

Daher

$$D = D_{1} + D_{2} = \frac{n_{0}-n}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert}$$

b) Der Strahlengang bei einem System dreier brechender Flächen ist im folgenden gezeigt:

Die Systemmatrix wird zu:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{3} & n_{0}/n_{w} ... ...gin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{1} & n_{w}/n \end{array} \right)$$ (13)

Wegen

$$P_{1} = 0 \; \; \; \; \; \; \; P_{2}=\frac{n_{0}-n}{n_{0}} \frac{1}{\vert R\vert} \; \; \; \; \; \; \; P_{3} = 0$$

folgt

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -n_{0} P_{2}/n_{w} & 1 \end{array} \right)$$ (14)

Daher erhalten wir ebenfalls:

$$D = \frac{n_{0}}{n_{w}} P_{2} = \frac{n_{0}-n}{n_{w}} \frac{1}{\vert R\vert}$$

Aufgabe 5:
In der folgenden Abbildung ist $f_{1}=3 \; cm$, $f_{2}=4 \; cm$, $d=15 \; cm$, $l=d-f_{1}-f_{2}=8 \; cm$ und $b=-25 \; cm$ (deutliche Sehweite):

Diese Werte setzen wir in die Abbildungsgleichung

$$\left[ g- \frac{f_{1}(f_{2}+l)}{l} \right] \left[ b - \fra... ..._{2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1}f_{2}}{l} \right)^{2}$$

ein und erhalten: $\underline{4,05 \; cm}$.