\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{Rechen"ubungen  am 9. Dezember 1992}
\normalsize  
\vskip 5mm
\bf \underline{Optische Instrumente} \rm \newline
In der "Ubungsstunde am 2.12.92 wurden die Grundlagen der 
paraxialen Matrizen- Optik eingef"uhrt. In dieser "Ubungsstunde
werden wir dieses Verfahren benutzen, um einfache optische 
Ger"ate zu studieren. Wir wiederholen kurz die wichtigsten
Transformationen. \newline
1) Ein Lichtstrahl mit Abstand $r_{1}$ und Winkel $r_{1}'$ 
zur optischen Achse wird von
Punkt $z_{1}$ nach Punkt $z_{2}$ transformiert ($d=|z_{2}-z_{1}|$): 
\begin{equation}
T : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & d \\
0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\
r_{1}' \end{array} \right).
\end{equation}
\vskip 30mm
2) Ein sph"arischer Spiegel l"a"st den Abstand $r_{1}$ zur optischen
Achse konstant ($r_{2}=r_{1}$) und "andert nur die Richtung
$r_{1}'$ nach $r_{2}'$:
\begin{equation}
R : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2/R & 1 \end{array}
\right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array}
\right).
\end{equation}
\vskip 30mm
3) Eine sp"arische Begrenzungsfl"ache zwischen zwei Medien mit den
Brechungsindizes $n_{1}$ und $n_{2}$ l"a"st den Abstand zur
optischen Achse ebenfalls konstant, "andert aber die Richtung des
Lichtstrahls. Der Strahl l"auft von Medium 1 nach Medium 2:
\begin{eqnarray}
B : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - P_{21} & 
n_{1}/n_{2} 
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}'
\end{array} \right) \nonumber \\
P_{21} &=& \frac{1}{n_{2}} \; \frac{(n_{2}-n_{1})}{R} \nonumber 
\end{eqnarray}
\newpage
Um die Brechkraft einer einzelnen Bregrenzungsfl"ache von der Brechkraft
der Linse (siehe sp"ater) zu unterscheiden, f"uhren wir ab jetzt die
Bezeichnung $P$ ein. In der letzten "Ubung hatten wir hierf"ur
ebenfalls das Symbol $D$ benutzt. \newline  
4) Mit Hilfe dieser drei Transformationen kann man die
Transformations- Matrix einer Linse herleiten (siehe Beispiel 3 der 
"Ubungsstunden vom 2.12.92). 
F"ur die d"unne Linse (Dicke der
Linse $d=0$) erh"alt man (siehe auch Vorlesung und Aufgabe 1 dieser
"Ubung):
\begin{eqnarray}
L : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) &=&
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{21} & n_{1}/n_{2} \end{array}
\right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)
\nonumber \\
D_{21} &=& \frac{1}{n_{2}} \left[ \frac{n-n_{1}}{R_{1}} -
\frac{n-n_{2}}{R_{2}} \right] \nonumber
\end{eqnarray}
Hierbei haben wir die allgemeinste Form angeschrieben. Die Linse
begrenzt zwei Medien mit Brechungsindex $n_{1}$ und $n_{2}$, der
Brechungsindex des Linsenmaterials selbst ist $n$. Die 
Kr"ummungsradien der Linsenfl"achen sind $R_{1}$ und $R_{2}$.
Der Lichtstrahl l"auft von Medium 1 durch die Linse in das Medium 2.
\newline \vskip 40mm
\underline{Vorzeichenkonvention f"ur die Kr"ummungsradien} \newline
$R$ ist \underline{positiv}, wenn die Kr"ummung von der Richtung des 
Lichtstrahls
aus gesehen \underline{konvex} ist, $R$ ist \underline{negativ}, 
wenn die Kr"ummung von der
Richtung des Lichtstrahls aus gesehen \underline{konkav} ist. \newline
\vskip 40mm
\begin{itemize}
\item Diese Vorzeichenkonvention ist f"ur die Brechung
und f"ur die Linsen identisch mit der in der Vorlesung 
gew"ahlten Konvention, f"ur die Reflektion dagegen gerade umgekehrt.
In der Vorlesung wurde das Vorzeichen im Hinblick auf die
Realit"at und Virtualit"at von Abbildungen gew"ahlt. Hiernach
mu"s man bei der Reflektion an konkaven Fl"achen ein positives 
Vorzeichen, bei der Reflektion an konvexen Fl"achen ein negatives
Vorzeichen w"ahlen. In der Matrizen- Optik dagegen kann es zu
schlimmen Fehlern f"uhren, wenn man verschiedene Vorzeichen 
f"ur Reflektion und Brechung an ein und derselben W"olbung einf"uhrt,
insbesondere dann, wenn man Spiegel und Linsen in ein- und
derselben optischen Anordnung hat (z.B. bei Spiegellinsen). 
Wer die in der Vorlesung benutzte Vorzeichenkonvention vorzieht,
mu"s in der Transformationsmatrix der Reflexion $2/R$ durch 
$-2/R$ ersetzen.
\item In der technischen Literaur weicht die Bezeichnung f"ur Linsen
von dem hier gew"ahlten Schema ab. Eine Bikonvex- Linse ist z.B. eine
Linse mit einer konvexen und einer konkaven Begrenzungsfl"ache. Bei der
Bezeichnung von Linsen ist nicht entscheidend, welche W"olbung der
Lichtstrahl sieht, sondern welche W"olbung man jeweils von au"sen
sieht. Im folgenden sind die technischen Bezeichnungen noch einmal
aufgef"uhrt.
\end{itemize}
\vskip 50mm 
Im "ubrigen ist es empfehlenswert, die Vorzeichen von $R$ bereits
bei der Aufstellung der Transformationen einzusetzen, soda"s in den
Rechnungen selbst $R$ stets positiv ist. 
Schlie"slich sollte noch erw"ahnt werden, da"s die Transformationen
der Brechung und Reflexion auch f"ur den Grenzfall $R \to \infty$
gelten, d.h. auch f"ur ebene Begrenzungsfl"achen g"ultig sind.   \newline
Durch Mehrfachanwendung kann man mit Hilfe dieser drei Transformationen
den Strahlengang in 
beliebig komplizierten Systeme berechnen. 
In dieser "Ubung betrachten wir die wichtigsten, aus zwei d"unnen
Linsen bestehenden Systeme. \newline 
\vskip 5mm
\begin{itemize}
\item \bf Aufgabe 1: \rm \newline
Zeigen Sie, da"s die oben angegebene Transformationsmatrix f"ur
die d"unne Linse aus der Transformationsmatrix der Brechung folgt.
\item \bf Aufgabe 2: \rm \newline
Unter welche Bedingungen ist bei einer einzigen Linse der 
Strahlengang vertauschbar, d.h. wann ist es f"ur die Abbildung 
egal, Vorder- und R"uckseite der Linse zu vertauschen ? 
\end{itemize}
\newpage
\bf Systeme aus zwei Linsen. \rm \newline
Wir betrachten ein System aus zwei d"unnen Linsen, die sich auf der
optischen Achse im Abstand $d$ befinden. \newline
\vskip 20mm
Hierbei kann es sich um
belibig gew"olbte Linsen handeln. Das umgebende Material sei ein
Material mit Brechungsindex $n_{0}$ (d.h. $n_{1}=n_{2}=n_{0}$ in der
Linsenmatrix), 
das Linsenmaterial sei immer Glas mit Brechungsindex $n$. 
Dann erhalten wir f"ur die Brechkr"afte der Linsen:
\begin{equation}
D = \frac{(n-n_{0})}{n_{0}} \left( \frac{1}{R_{a}}-\frac{1}{R_{b}} \right)
\end{equation}
Beachten Sie hierbei aber sorgf"altig die Vorzeichenkonvention f"ur
die Kr"ummungsradien. Diese sind in der nachfolgenden Skizze 
noch einmal f"ur die verschiedenen Linsentypen angegeben,
und zwar einmal f"ur Lichtstrahlen in Richtung der optischen Achse (oben),
zum anderen f"ur Lichtstrahlen entgegengesetzt zur optischen Achse
(unten). \newline
\vskip 40mm
\underline{Abbildung durch einen zweistufigen Proze"s.} \newline
In Lehrb"uchern (siehe auch Vorlesung)
wird die Abbildung durch ein System zweier Linsen
gew"ohnlich als zweistufiger Proze"s dargestellt. Dazu wird zun"achst
das von der ersten Linse entworfene Zwischenbild bestimmt. Dieses
Zwischenbild wird dann mit der zweiten Linse zum Endbild
abgebildet. Die folgende Skizze zeigt das Verfahren. \newline
\newpage
Offensichtlich gilt
\begin{eqnarray}
\frac{1}{g} + \frac{1}{b'} &=& \frac{1}{f_{1}} \nonumber \\
\frac{1}{d-b'} + \frac{1}{b} &=& \frac{1}{f_{2}} \nonumber
\end{eqnarray} 
Elimination von $b'$ aus beiden Gleichungen f"uhrt dann zu 
der gesuchten Abbildungsgleichung zwischen $g$ und $b$.       
"Ahnlich kann der Abbildungsma"stab aus einem derartigen 
zweistufigen Proze"s berechnet werden. Bei Systemen mit
mehr als zwei Linsen wird dieses Verfahren aber au"serordentlich
m"uhsam, wenn nicht sogar unl"osbar. Systeme mit vielen 
Abbildungselementen werden
in der Lasertechnik (z.B. optische Resonatoren) und in der Teilchenoptik 
(Elektronenmikroskope, Beschleuniger) ben"otigt. Im letzteren Fall 
handelt es sich nat"urlich nicht um optische, sondern um
elektrische und magnetische Linsen. Derartige Systeme k"onnen
nur mit den Methoden der Matrizen- Optik behandelt werden.
Als "Ubung hierzu wollen wir auch das zweistufe Linsensystem
mit der Matrizen- Optik behandeln.
\newline
\underline{Abbildung mit Hilfe der Matrizen-Optik.} \newline 
Die Transformation eines Lichtstrahls vom Punkt $z_{1}$ zum
Punkt $z_{2}$ ist gegeben durch
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) &=&
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{2} & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1} & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)
\nonumber \\
&=& \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
M \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)
\nonumber 
\end{eqnarray}
\vskip 50mm
Die Systemmatrix $M$ l"a"st sich leicht auswerten und ergibt:
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{2} & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1} & 1 \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 - dD_{1} & d \\ -D_{1} - D_{2} +
d D_{1} D_{2} & 1 - dD_{2} \end{array} \right)
\end{equation}
Die Elemente der Matrix $M$ sind also:
\begin{eqnarray}
M_{11} &=& 1 - d D_{1} \nonumber \\
M_{12} &=& d \nonumber \\
M_{21} &=& -D_{1} -D_{2} +d D_{1} D_{2} \nonumber \\
M_{22} &=& 1 - d D_{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
\begin{itemize}
\item \bf Aufgabe 3: \rm \newline
Eine d"unne, plankonkave Linse ($n=3/2$) ist in horizontaler Stellung so
in Wasser ($n_{w}=4/3$) getaucht, da"s der unter der sph"arischen Fl"ache 
liegende Raum mit Luft ($n_{0}=1$) gef"ullt ist. Die Gesamtbrechkraft 
des optischen Systems hat den
Wert $D=-2,6 \; dpt.$ Bestimmen Sie den Kr"ummungsradius der Linse.
Betrachten Sie hierbei das System \newline 
a) einmal als zentriertes System zweier Linsen ($d=0$), \newline
b) zum anderen als Einzellinse aus drei brechenden Fl"achen. 
\end{itemize}
\vskip 50mm
Die gesamte Transformation l"a"st sich ausrechnen zu (siehe
auch Beispiel 3 der "Ubungen vom 2.12.92):
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& [M_{11}+M_{21} d_{2}] r_{1} + [M_{11} d_{1} + M_{12} +
M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ] r_{1}' \nonumber \\
r_{2}' &=& M_{21} r_{1} + [M_{21} d_{1} + M_{22} ] r_{1}' \nonumber
\end{eqnarray}
Zur Bestimmung der Abbildungsgleichung setzen wir $g=d_{1}$, $b=d_{2}$
und fordern, da"s jeder von $r_{1}$ kommende Lichtstrahl in $r_{2}$
fokussiert wird, unabh"angig von $r_{1}'$. Dann mu"s der
Koeffizient vor $r_{1}'$ in der ersten der beiden Transformationsformeln
verschwinden:
\begin{displaymath}
M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b = 0
\end{displaymath}
Hieraus folgen die Abbildungsgleichungen
\begin{displaymath}
g = - \frac{M_{22} b + M_{12}}{M_{21}b + M_{11}} \; \; \; \; \; \; \; \; 
\; \; oder \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
b = - \frac{M_{11} g + M_{12}}{M_{21}g + M_{22}}
\end{displaymath}
Den Abbildungsma"sstab erh"alt man hieraus zu 
($r_{1}=G, \; r_{2}= B, \; d_{2}=b$):
\begin{displaymath}
\frac{B}{G} = M_{11} + M_{21} b = M_{11} - M_{21} \frac{M_{11}g
+ M_{12}}{M_{21}g + M_{22}} = \frac{M_{11}M_{22}-M_{21}M_{12}}
{M_{21}g+M_{22}} = \frac{det(M)}{M_{21}g + M_{22}}.
\end{displaymath}
Die Determinante dieser Systemmatrix ist aber gleich 1, was man 
durch Einsetzen der Matrixelemente pr"ufen kann. Durch Mischen der
obigen Formeln kann man vier verschiedene Formeln f"ur den
Abbildungsma"stab herleiten: 
\begin{displaymath}
\frac{B}{G} = \frac{1}{M_{22}+M_{21}g} = M_{11} + M_{21} b
= - \frac{b}{M_{12} + M_{11}g} = - \frac{M_{12}+M_{22}b}{g}.
\end{displaymath}
Aus den ersten beiden Formeln erhalten wir noch die Newtonsche Form der
Abbildungsgleichung:
\begin{equation}
\left( b + \frac{M_{11}}{M_{21}} \right) \left( g + 
\frac{M_{22}}{M_{21}} \right) = \left( \frac{1}{M_{21}} \right)^{2}
\end{equation}
\vskip 5mm
Optische Systeme mit zwei Linsen (Mikroskop, Fernrohr, Projektor u.s.w)
unterscheiden sich im wesentlichen durch die Brechkr"afte 
$D_{1}=1/f_{1}$, $D_{2}=1/f_{2}$ und den Abstand 
$d=f_{1}+f_{2}+l$. Beim Mikroskop ist $l > f_{1}$ und $l > f_{2}$, 
beim Fernrohr $l<f_{1}$, $l<|f_{2}|$.
Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir f"ur die Systemmatrix:
\begin{eqnarray}
M_{11} &=& 1-(f_{1}+f_{2}+l)\frac{1}{f_{1}} = -\frac{f_{2}+l}{f_{1}} 
\nonumber \\
M_{12} &=& f_{1}+f_{2} + l \nonumber \\
M_{21} &=& -\frac{1}{f_{1}} - \frac{1}{f_{2}} + (f_{1}+f_{2}+l)
\frac{1}{f_{1}f_{2}} = \frac{l}{f_{1}f_{2}} \nonumber \\
M_{22} &=& 1 - (f_{1}+f_{2}+l) \frac{1}{f_{2}} =
- \frac{f_{1}+l}{f_{2}} \nonumber 
\end{eqnarray}
Die Newtonsche Abbildungsgleichung wird hiermit zu
\begin{equation}
\left[ g - \frac{f_{1}(f_{1}+l)}{l} \right] \left[ 
b - \frac{f_{2}(f_{2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1}f_{2}}
{l} \right)^{2}
\end{equation}
und der Abbildungsma"sstab zu
\begin{equation}
\frac{B}{G} = \frac{f_{1} f_{2}}{l(g-f_{1}) - f_{1}^{2}} =
\frac{l(b-f_{2}) - f_{2}^{2}}{f_{1}f_{2}}
\end{equation}
In der obigen Abbildungsgleichung sind $g$ und $b$ grunds"atzlich
Gegenstands- und Bildweite von den Linsenbegrenzungen aus gemessen.
In der "alteren Literatur und f"ur zeichnerische Zwecke werden
h"aufig noch die Hauptebenen eingef"uhrt (siehe Vorlesung). Hierbei
wird dann $g$ und $b$ als Abst"ande von den Hauptebenen definiert.
In der Matrizen-Optik ist die Definition der Hauptebenen
jedoch im allgemeinen "uberfl"ussig.    
\begin{itemize}
\item \bf Aufgabe 4: \rm \newline
Beweisen Sie die beiden letzten Formeln f"ur die Abbildungsgleichung
und den Abbildungsma"sstab. 
\item \bf Aufgabe 5: \rm \newline
Zwei Sammellinsen mit den Brennweiten $3\; cm$ und $4 \; cm$ sind auf
einer optischen Bank im Abstand von $15 \; cm$ angebracht. Berechnen
Sie, in welchem Abstand vor der ersten, als Objektiv wirkenden Linse 
man einen Gegenstand aufstellen mu"s, damit das System vom Gegenstand
ein virtuelles Bild entwirft, da"s sich in der deutlichen Sehweite
befindet. Das Auge des Beobachters sei dicht an die zweite, als
Okular wirkende Linse ger"uckt. 
\end{itemize}
\newpage
\bf L"osungen zu den Rechen"ubungen am 9.12.92. \rm \newline  
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Die Systemmatrix einer Einzellinse ist:
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{2} & n/n_{2} \end{array}
\right) \left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{1} & n_{1}/n \end{array} \right)
\end{equation}
wobei die Brechkr"afte der Fl"achen durch
\begin{displaymath}
P_{1}=\frac{1}{n} \left( \frac{n-n_{1}}{R_{a}} \right), 
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
P_{2} = \frac{1}{n_{2}} \left( \frac{n_{2}-n}{R_{b}} \right)
\end{displaymath}
gegeben sind. Der Lichtstrahl l"auft vom Medium 1 durch die Linse in 
das Medium 2. Mit $d=0$ (d"unne Linse) folgt:
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -(P_{2} +n P_{1}/n_{2}) & 
n_{1}/n_{2} \end{array} \right)
\end{equation}
Daraus folgt:
\begin{equation}
D_{21} =  P_{2} + \frac{n}{n_{2}} P_{1} =
\frac{1}{n_{2}} \left[ \frac{n-n_{1}}{R_{a}} - \frac{n-n_{2}}{R_{b}}
\right]
\end{equation}
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Antwort: $n_{1}=n_{2}=n_{0}$, denn dann gilt:
\begin{displaymath}
D_{21} = \frac{1}{n_{0}} \left[ \frac{n-n_{0}}{R_{a}} -
\frac{n-n_{0}}{R_{b}} \right]    
\end{displaymath}
Falls der Lichtstrahl von der entgegengesetzten Seite kommt,
"andert sich die Reihenfolge der Fl"achen und die
Vorzeichen der Kr"ummungsradien. Daher
\begin{equation}
D_{12} = \frac{n-n_{0}}{n_{0}} \left[ \frac{1}{R_{b}'} - 
\frac{1}{R_{a}'} \right] = \frac{n-n_{0}}{n_{0}} \left[
\frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right] = D_{21}
\end{equation}
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
a) Wir betrachten das System als aus 2 Linsen zusammengesetzt,
zun"achst mit Abstand $d$. \newline
\vskip 30mm
Dann sind die Brechkr"afte
\begin{displaymath}
D_{1} = - \frac{n-n_{w}}{n_{w}} \frac{1}{|R|} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
D_{2} = \frac{n_{0}-n_{w}}{n_{w}} \frac{1}{|R|}
\end{displaymath}
Mit $d \to 0$ folgt:
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1}-D_{2} & 1 \end{array} \right)
\end{equation}
Daher
\begin{displaymath}
D = D_{1} + D_{2} = \frac{n_{0}-n}{n_{w}} \frac{1}{|R|}
\end{displaymath}
b) Der Strahlengang bei einem System dreier brechender Fl"achen ist
im folgenden gezeigt: \newline
\vskip 30mm
Die Systemmatrix wird zu:
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{3} & n_{0}/n_{w} \end{array}
\right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{2} & n/n_{0} \end{array}
\right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -P_{1} & n_{w}/n \end{array}
\right)
\end{equation}
Wegen
\begin{displaymath}
P_{1} = 0 \; \; \; \; \; \; \; P_{2}=\frac{n_{0}-n}{n_{0}} 
\frac{1}{|R|} \; \; \; \; \; \; \; P_{3} = 0
\end{displaymath}
folgt
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -n_{0} P_{2}/n_{w} & 1 \end{array}
\right)
\end{equation}
Daher erhalten wir ebenfalls:
\begin{displaymath}
D = \frac{n_{0}}{n_{w}} P_{2} =  \frac{n_{0}-n}{n_{w}} \frac{1}{|R|}    
\end{displaymath}
\bf Aufgabe 5: \rm \newline
In der folgenden Abbildung ist $f_{1}=3 \; cm$, $f_{2}=4 \; cm$,
$d=15 \; cm$, $l=d-f_{1}-f_{2}=8 \; cm$ und $b=-25 \; cm$ (deutliche
Sehweite): \newline
\vskip 40mm
Diese Werte setzen wir in die Abbildungsgleichung
\begin{displaymath}
\left[ g- \frac{f_{1}(f_{2}+l)}{l} \right] \left[ b -
\frac{f_{2}(f_{2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1}f_{2}}{l} \right)^{2}
\end{displaymath}
ein und erhalten: $\underline{4,05 \; cm}$.    
\end{document}
