\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{Rechen"ubungen  am 2. Dezember 1992}
\normalsize  
\vskip 5mm
\bf \underline{Grundlagen der paraxialen Matrizen- Optik} \rm \newline
In der Vorlesung werden die Formeln f"ur Reflexion und Brechung
an geraden und gekr"ummten Fl"achen diskutiert. Es zeigt sich dabei,
da"s es ausgesprochen m"uhsam und un"ubersichtlich ist, mit Hilfe
dieser Formeln die Abbildungsgesetze f"ur kompliziertere optische
Systeme herzuleiten und zu diskutieren. In dieser "Ubung wollen wir
ein mathematisches Verfahren kennenlernen, mit dessen Hilfe man in
einfacher Weise die kompliziertesten optischen Systeme studieren
kann. Dieses Verfahren eignet sich insbesondere f"ur Anwendungen
auf Rechenanlagen und ist daher gerade in den letzten Jahrzehnten
au"serordentlich gut ausgearbeitet worden. Wir beschr"anken uns
hier auf die paraxiale Optik, d.h. wir betrachten nur Lichtstrahlen,
die nahe zur optischen Achse verlaufen und deren Winkel mit der
optischen Achse klein sind. Wir w"ahlen die $z$- Achse als optische
Achse und bezeichnen mit $r$ den Abstand eines Punktes von der
$z$- Achse. In der paraxialen Optik verlaufen alle Lichtstrahlen
in einer Ebene durch die optische Achse. Der Abstand $r$ liege genau
in dieser Ebene. Wir definieren einen zweidimensionalen Vektor $\vec{q}$,
dessen Komponenten einmal der Abstand $r$, und zum anderen 
die Richtung $r'=dr/d|z|$ 
bez"uglich der optischen Achse sind, d.h.
\begin{equation}
\vec{q} = \left( \begin{array}{c} r \\ r' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} r(z) \\ dr/d|z| \end{array} \right)
\end{equation}
\vskip 30mm
In der paraxialen Optik gilt die N"aherung 
$r'=dr/d|z|=tan \theta \approx sin \theta \approx \theta$, wobei
$\theta$ der Winkel des Lichtstrahls mit der optischen Achse ist.
Die geradliniege Bewegung eines Lichtstrahls 
$n$ von Punkt $z_{1}$ bis zum Punkt $z_{2}$ l"a"st sich darstellen durch  
die Transformation (siehe Abbildung oben):
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& r_{1} + d \cdot r_{1}' \nonumber \\
r_{2}' &=& r_{1}', \nonumber
\end{eqnarray}
wobei $d=|z_{2}-z_{1}|$ die L"ange der Strecke ist.
Eine Translation "andert nat"urlich nicht die Steigung, bzw den
Winkel des Lichtstrahls mit der optischen Achse, sondern nur den
Abstand $r$. Diese Translation kann auch mit Hilfe einer Matrizen-
Gleichung in der folgenden Form geschrieben werden:
\begin{equation}
T : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & d \\
0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\
r_{1}' \end{array} \right).
\end{equation}
Die Matrix selbst nennt man die
Translationsmatrix $T$ oder auch $T_{21}$, um anzudeuten, da"s eine
Transformation vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{2}$ durchzuf"uhren ist.
\newline  
Als n"achstes diskutieren wir die Reflexion eines Lichtstrahls an einer
sph"arischen Begrenzung. Hierbei "andert sich nicht der Abstand zur 
optischen Achse, sondern nur die Richtung bzw der Winkel des Strahls
mit der optischen Achse. In Matrizen- Schreibweise gilt dann:
\begin{equation}
R : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2/R & 1 \end{array}
\right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array}
\right).
\end{equation}
Der Kr"ummungsradius $R$ kann hierbei positiv oder negativ
sein, je nachdem ob die gekr"ummte Fl"ache dem Lichtstrahl 
konvex oder konkav erscheint.
(siehe nachstehende Skizze). Die Matrix $R$ ist die Reflexionsmatrix.
Man schreibt hierf"ur auch $R_{21}$, um anzudeuten, da"s eine
Reflexion an der Trennfl"ache von Medium 1 und Medium 2 stattgefunden
hat. \newline
\vskip 30mm
Als letzte Transformation ben"otigen wir noch die Brechung an 
Begrenzungsfl"achen zwischen zwei Medien. Diese ist gegeben durch
\begin{equation}
B : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - (n_{2}-n_{1})/(n_{2} R) & 
n_{1}/n_{2} 
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}'
\end{array} \right) 
\end{equation}
Die Vorzeichenkonvention f"ur
$R$ ist die gleiche wie bei der Reflexion. \newline
Die hier definierte Vorzeichenkonvention ist leider nicht  
eindeutig in verschiedenen literarischen Darstellungen der Matrizen- Optik.
Wir widerholen daher unsere Vorzeichenkonvention 
noch einmal: \newline
$R$ ist \underline{positiv}, wenn die Kr"ummung von der Richtung des 
Lichtstrahls
aus gesehen \underline{konvex} ist, $R$ ist \underline{negativ}, 
wenn die Kr"ummung von der
Richtung des Lichtstrahls aus gesehen \underline{konkav} ist.  
Im "ubrigen ist es empfehlenswert, die Vorzeichen von $R$ bereits
bei der Aufstellung der Transformationen einzusetzen, soda"s in den
Rechnungen selbst $R$ stets positiv ist.  \newline
Schlie"slich sollte noch erw"ahnt werden, da"s die Transformationen
der Brechung und Reflexion auch f"ur den Grenzfall $R \to \infty$
gelten, d.h. auch f"ur ebene Begrenzungsfl"achen g"ultig sind.   \newline
Durch Mehrfachanwendung kann man mit Hilfe dieser drei Transformationen
beliebig komplizierte Systeme zusammensetzen. 
Wir demonstrieren das
Verfahren an einigen einfachen Beispielen. \newline
\vskip 5mm
\bf Beispiel 1: \rm            
Das erste Beispiel soll noch einmal zeigen, da"s das Brechungsgesetz
durch diese Transformationen richtig beschrieben wird. \newline
\vskip 30mm
Die Transformation besteht aus 3 Schritten. Zun"achst f"uhren wir 
eine Translation vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{0}$, der $z$-
Koordinate der Begrenzungsfl"ache. Schlie"slich f"uhrt eine weitere
Translation zum Punkt $z_{2}$. Man beachte, da"s bei der Brechung
in diesem Fall $-(n_{2}-n_{1})/(n_{2} R) \to 0$, da $R \to \infty$.
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 
n_{1}/n_{2}  
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\
0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\
r_{1}' \end{array} \right) = M \left( \begin{array}{c} r_{1} \\
r_{1}' \end{array} \right)
\end{equation}   
wobei $d_{1} = |z_{0}-z_{1}|$ und
$d_{2} = |z_{2} - z_{0}|$. Ausmultiplizieren der Matrizen f"uhrt dann auf:
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1}+ d_{2} n_{1}/n_{2}  
\\ 0 & n_{1}/n_{2} \end{array} \right)
\end{equation}
Die Transformation lautet ausgeschrieben:
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& r_{1} + \frac{n_{2} d_{1} + n_{1} d_{2}}{n_{2}} 
r_{1}' \\ r_{2}' &=& (n_{1}/n_{2}) r_{1}' 
\end{eqnarray}
Da $r_{2}' = tan \theta_{2} \approx sin \theta_{2}$ und
$r_{1}' = tan \theta_{1} \approx sin \theta_{1}$, folgt aus der
zweiten Gleichung
\begin{equation}
n_{2} sin\theta_{2} = n_{1} sin\theta_{1},
\end{equation}    
also das uns bekannte Brechungsgesetz. \newline
\vskip 2mm
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Zeigen Sie die G"ultigkeit des Reflexionsgesetzes an einer ebenen
Begrenzungsfl"ache mit Hilfe der paraxialen Matrizen- Optik. \newline
\newpage
\bf Beispiel 2: \rm \newline
Unser zweites Beispiel behandelt die Reflexion an einer sph"arischen
Kugelfl"ache. \newline
\vskip 50mm
Wir setzen $d_{1} = |z_{0}-z_{1}|$ und $d_{2}=|z_{2}-z_{0}|$. 
Die Transformation lautet (man beachte $R<0$, da Begrenzung konkav):
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2}  \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2/R & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 - 2d_{2}/R & d_{1}+d_{2} 
- 2d_{1}d_{2}/R \\ -2/R & 1 - 2d_{1} R \end{array} \right)
\end{equation}
Die Transformation lautet also ausgeschrieben:
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& (1-2 \frac{d_{2}}{R}) r_{1} + (d_{1} +d_{2} - 
\frac{2d_{1} d_{2}}{R} ) r_{1}' \\
r_{2}' &=& -\frac{2}{R} r_{1} +(1-\frac{2d_{1}}{R} ) r_{1}' 
\end{eqnarray}
\vskip 30mm
Zur Berechnung des Brennpunkts nehmen wir Strahlen, die parallel
zur optischen Achse laufen ($r_{1}'=0$) und berechnen die Strecke
$d_{2}= f$, bei der diese Strahlen nach der Reflektion die optische
Achse schneiden ($r_{2}=0$). Dieses ergibt:
\begin{equation}
1 - \frac{2f}{R} = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f = \frac{R}{2}.
\end{equation}
Die Abbildungsgleichung erh"alt man ebenso einfach (siehe Skizze
oben rechts). Falls $r_{2}$ das Bild von $r_{1}$ ist, so m"ussen
sich alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen in $r_{2}$ schneiden,
unabh"angig von der Steigung $r_{1}'$. Daher mu"s der Koeffizient
von $r_{1}'$ in der ersten der beiden Transformationsformeln 
verschwinden. In diesem Fall ist aber $d_{1}=g$ und $d_{2}=b$:
\begin{equation}
g + b - \frac{2 g b}{R} = 0 \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{g}+\frac{1}{b} = \frac{2}{R} 
\end{equation}
\newpage     
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Ein Kugelsegment aus Glas sei auf der gekr"ummten Fl"ache versilbert.
Der Radius der Kugel ist $R=20 \; cm$ und das Glas habe den 
Brechungsindex $n = 1,5$. Die Dicke $d$ des Segmentes sei 
vernachl"assigbar, d.h. $d \approx 0$. \newline
\vskip 30mm
a) Berechnen Sie die Brechkraft f"ur paraxiale Lichtstrahlen, die 
durch die ebene Fl"ache in das Glas eintreten, an der gekr"ummten
Spiegelfl"ache reflektiert werden und wieder aus dem Glas
austreten. \newline
b) Ein Bild sei bei der Gegenstandsweite $g=50 \; cm$ senkrecht zur
optischen Achse angeordnet. Wo liegt das Bild auf der optischen Achse ?
\newline
\vskip 5mm
\bf Beispiel 3: \rm \newline
Als drittes Beispiel diskutieren wir die Abbildung mit einer Linse.
Die Transformationen sind in der folgenden Abbildung skizziert. \newline
\vskip 30mm
Zun"achst eine Translation bis zur ersten brechenden Fl"ache,
nach der Brechung eine zweite Translation durch die Linse, eine
weitere Brechung an der zweiten Begrenzungsfl"ache der Linse, sowie
schlie"slich eine Transformation zum Punkt $z_{2}$. Das Linsenmaterial
habe den Brechungsindex $n$, die Umgebung sei Luft mit dem
Brechungsindex $n_{Luft}=1$. Die Abst"ande seien 
$d_{1}$, $d_{2}$ sowie die Dicke der Linse $d$.  
Die Kr"ummungsradien seien $R_{1}$ und $R_{2}$.  
Man beachte aber, da"s bei der linken konvexen 
Fl"ache $R_{1}$ positiv,  bei der rechten konkaven Fl"ache 
$R_{2}$ negativ ist.
Dann erhalten wir die Transformation
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\  r_{2}' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ +(1-n)/R_{2} & n \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -(n-1)/(n R_{1}) & 1/n \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)
\end{equation}
Wir wiederholen nochmal, da"s wir die Vorzeichen von $R_{1}$ und 
$R_{2}$ bei der Aufstellung der Transformation bereits angbracht haben,
in der weiteren Rechnung sind $R_{1}$ und $R_{2}$ also beide positiv.
Die mittleren drei Matrizen beschreiben das Verhalten der Linse, die beiden
"au"seren Matrizen bilden die Translationen zur vorderen Linsenbegrenzung    
bzw von der hinteren Linsenbegrenzung zum Endpunkt $z_{2}$.
Wir schreiben die Gesamtmatrix daher in der Form
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
M_{L} \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\end{equation}
wobei $M_{L}$ also die Linsenmatrix ist. Mit der Abk"urzung
$D_{1} = (n-1)/R_{1}$ und $D_{2}= (n-1)/R_{2}$ ist die Linsenmatrix:
\begin{equation}
M_{L} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{2} & n \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1}/n & 1/n \end{array} \right)
\end{equation}  
Hierf"ur ergibt sich nach kurzer Rechnung:
\begin{equation}
M_{L} = \left( \begin{array}{cc} 1 - D_{1} d/n & d/n \\
-D_{1} -D_{2} + D_{1} D_{2} d/n & 1 - D_{2} d/n \end{array} \right)
\end{equation}
Wir setzen im folgenden die Elemente der Linsenmatrix gleich
\begin{equation}
M_{L} = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22}
\end{array} \right)
\end{equation}
also ausgeschrieben:
\begin{eqnarray}
M_{11} &=& 1 - D_{1} d/n \\
M_{12} &=& d/n \\
M_{21} &=& -D_{1} - D_{2} + D_{1} D_{2} d/n \\
M_{22} &=& 1 - D_{2} d/n 
\end{eqnarray}
Wir m"ussen noch die Transformationen von den Begrenzungsfl"achen
zu den Punkten $z_{1}$ und $z_{2}$ durchf"uhren, d.h.
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} 
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right) 
\left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right) 
\end{equation}
Die L"osung ist einfach und ergibt
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& (M_{11}+M_{21} d_{2}) r_{1} + (M_{11} d_{1} + M_{12} 
+M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ) r_{1}' \\
r_{2}' &=& M_{21} r_{1} + (M_{21} d_{1} + M_{22}) r_{1}'
\end{eqnarray}
Im folgenden wollen wir noch zwei wichtige Folgerungen herausarbeiten.
Falls die Strahlen parallel zur optischen Achse in die Linse 
eintreten, so werden sie nach Definition in den Brennpunkt 
abgebildet. \newline
\vskip 50mm
F"ur parallel einfallende Strahlen gilt aber $r_{1}'=0$. Au"serdem
mu"s $d_{2}=f$ sein, sofern wir $r_{2}=0$ setzen, d.h.
\begin{equation}
0 = (M_{11} + M_{21} f) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f = - \frac{M_{11}}{M_{21}}.
\end{equation}
F"ur die Brechkraft gilt entsprechend ($D=1/f$):
\begin{equation}
D = -\frac{M_{21}}{M_{11}}.
\end{equation}
Setzen wir die Ausdr"ucke der Matrizelemente ein, so folgt f"ur die
allgemeine Linse:
\begin{equation}
D_{L} = - \frac{-D_{1} - D_{2} + D_{1} D_{2} d/n}{1 - D_{1}d/n} =
\frac{D_{1}}{1-D_{1}d/n} + D_{2}.
\end{equation}
Auch die Abbildungsgleichung kann sehr einfach hergeleitet werden.
Wir setzen $d_{1} = g$, $d_{2} = b$ und erhalten
\begin{equation}
r_{2} = (M_{11} + M_{21}b) r_{1} + (M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b
+ M_{22} b) r_{1}'
\end{equation}
Alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen m"ussen sich in $r_{2}$ schneiden,
und zwar unabh"angig von der Steigung $r_{1}'$. Daher mu"s der 
Koeffizient von $r_{1}'$ verschwinden:
\begin{equation}
M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b = 0
\end{equation}
\bf Approximation f"ur d"unne Linsen. \rm \newline
Wir wollen zum Schlu"s die Brechkraft und die Abbildungsgleichung
f"ur den \underline{Spezialfall} der d"unnen Linse noch einmal
hinschreiben. Bei der d"unnen Linse wird die Approximation
$d \approx 0$ gemacht. Dann wird die Linsenmatrix extrem einfach,
\begin{equation}
M_{l} = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & 
M_{22} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\
-D_{1} - D_{2} & 1 \end{array} \right).
\end{equation}
Die Brechkraft errechnet sich zu
\begin{equation}
D_{l} = D_{1} + D_{2} = (n-1) \left(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}
{R_{2}} \right).
\end{equation}
F"ur die Abbildungsgleichung erhalten wir:
\begin{equation}
g + (-D_{1}-D_{2}) g b + b = 0
\end{equation}
Mit der Umformung $g+b = (D_{1} + D_{2}) gb$ folgt sofort:
\begin{equation}
\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = D_{1}+ D_{2} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{1}}
+ \frac{1}{R_{2}} \right) 
\end{equation}           
\newpage
\bf L"osungen zu den Rechen"ubungen am 2. Dezember 1992. \rm \newline
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Transformationsgleichung:
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right) 
\end{equation}
L"osung:
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& r_{1} +(d_{1}+d_{2}) r_{1}' \\
r_{2}' &=& r_{1}'
\end{eqnarray}
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Die allgemeine Transformation besteht aus 7 Matrizen, von denen wir
die Translation durch das Linsenmaterial aber sofort vernachl"assigen
k"onnen, da in diesen Schritten ($d=0$) die Translationsmatrizen zu
Einheitsmatrizen werden. Es bleibt
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
M \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)
\end{equation}
mit
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & n \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2/R & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1/n \end{array} \right) 
= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2n/R & 1 \end{array} \right)
\end{equation}
Die Transformationen lauten also:
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& (1-2 n d_{2}/R) r_{1} + (d_{1}+ d_{2} - 2n d_{1}d_{2}/R) r_{1}' \\
r_{2}' &=& -(2n/R) r_{1} + (1-2n d_{1}/R) r_{1}'
\end{eqnarray}
a) Achsenparallele Strahlen ($r_{1}'=0$) schneiden ($r_{2} = 0$)
die optische Achse bei
$d_{2}=f$. Daher folgt aus der ersten Gleichung:
\begin{equation}
0 = (1 - 2n f/R) r_{1} \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \underline{D=\frac{1}{f} =\frac{2n}{R}}  
\end{equation}
b) Wenn $r_{2}$ das Bild von $r_{1}$ sein soll, so m"ussen alle
von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen sich in $r_{2}$ schneiden, 
unabh"angig von $r_{1}'$. Daher mu"s der Koeffizient von $r_{1}'$
in der ersten Transformationsgleichung verschwinden. F"ur $d_{1}=b$
und $d_{2}=g$ gilt also:
\begin{equation}
b + g - 2n b g/R = 0  \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{2n}{R} = D
\end{equation}
Zahlenwerte: $\underline{b = 8 \; cm}$
\end{document}
