Physik III, WS 1992/93

Rechenübungen am 11. November 1992

Ergänzungen zur Vektoranalysis
In der Elektrodynamik sowie insbesondere bei der Behandlung der Maxwell- Gleichungen wird vielfach von Vektoroperatoren Gebrauch gemacht. Für die Differentialoperatoren gilt in kartesischen Koordinaten:

$$grad \; U = \vec{\nabla} U = \frac{\partial U}{\partial x} \vec{e}_{x} + \frac{\partial U}{\partial y} \vec{e}_{y} + \frac{\partial U}{\partial z} \vec{e}_{z}$$

$$div \; \vec{V} = \vec{\nabla} \vec{V} = \frac{\partial V_{x}}{\partial x} + \frac{\partial V_{y}}{\partial y} + \frac{\partial V_{z}}{\partial z}$$

$$rot \; \vec{V} = \vec{\nabla} \times \vec{V} = \left( \frac{\partial V_{z}}{\parti... ...tial V_{y}}{\partial x} - \frac{\partial V_{x}}{\partial y} \right) \vec{e}_{z}$$

Hier und in allen weiteren Formeln bezeichnen wir mit $U$ ein Skalarfeld und mit $\vec{V}$ ein Vektorfeld. Man kann leicht zeigen, daß der Gradient, die Divergenz und die Rotation einer Summe von Feldern additiv auf die Felder angewendet werden können:

$$grad (U_{1}+U_{2}) = \vec{\nabla} (U_{1}+U_{2}) = \vec{\nabla} U_{1} +\vec{\nabla} U_{2}$$

$$div (\vec{V_{1}} + \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} (\vec{V_{1}}+\vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} \vec{V_{1}} + \vec{\nabla} \vec{V_{2}}$$

$$rot (\vec{V_{1}}+ \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} \times (\vec{V_{1}} + \vec{V_{2}} ) = \vec{\nabla} \times \vec{V_{1}} + \vec{\nabla} \times \vec{V_{2}}$$

Ebenso gilt natürlich, wenn $c$ ein konstanter Skalar ist,

$$\vec{\nabla} (c U) = c \vec{\nabla} U, \; \; \; \; \; \; \;... ...c{\nabla} \times (c \vec{V}) = c \vec{\nabla} \times \vec{V}.$$

Einzig die Regeln zur Anwendung von Differentialoperatoren auf Produkte von skalaren und vekoriellen Feldern sind etwas komplizierter. Wie wollen diese Regeln hier nicht beweisen, sondern ein Kochrezept diskutieren, nach dem alle Regeln relativ einfach hergeleitet werden können. Wir schreiben das Produkt einer beliebigen Anzahl von skalaren und vektoriellen Felder in der Form $X_{1} \oplus X_{2} \ominus ...... \otimes X_{n}$. Die Symbole $\oplus$, $\ominus$ und $\otimes$ bezeichnen hierbei eine skalare oder vektorielle Multiplikation. Wir schreiben dann

$$\vec{\nabla} ( X_{1} \oplus X_{2} \ominus ..... \otimes X_{n}) = \vec{\nabla} (\underline{X_{1}} \oplus X_{2} \ominus ..... \otimes X_{n}) + \vec{\nabla} (X_{1} \oplus \underline{X_{2}} \ominus ..... \otimes X_{n})$$

$$+ \; ....... \; + + \vec{\nabla} (X_{1} \oplus X_{2} \ominus ..... \otimes \underline{X_{n}}),$$

Dieses soll andeuten, daß wir den Nablaoperator auf die mit dem Unterstrich versehene Funktion anwenden müssen und anschließend alle Summanden addieren. Danach werden die so gewonnenen Produkte nach den Regeln der Vektoralgebra so umgeformt, daß nach dem Nablaoperator $\vec{\nabla}$ nur noch die mit dem Unterstrich versehene Funktion steht. Beim letzten Schritt wird der Nablaoperator wie ein normaler Vektor behandelt. Die hierzu wichtigsten Regeln der Vektoralgebra sind:

$$\vec{a} \vec{b} = \vec{b} \vec{a}$$ (1)

$$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$$ (2)

$$\vec{a} (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} (\vec{c} \times \vec{a})$$ (3)

$$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \vec{b})$$ (4)

Formel (3) merkt man sich am besten unter der Rubrik der zyklischen Vertauschung. Regel (4) ist sicherlich am schwierigsten zu merken. Weiterhin muß beachtet werden, daß

$$\vec{a} (\vec{b} \vec{c}) \ne (\vec{a} \vec{b}) \vec{c}$$

$$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$$

Falls man diese Regeln der Vektoralgebra weiß, kann man viele Regeln für die Differentialoperatoren leicht herleiten.
Beispiel 1: In diesem Beispiel sollte beachtet werden, daß $U$ kein Vektor, sondern ein Skalar ist. Dieser kann also beliebig in den Vektorprodukten hin- und hergeschoben werden. Daher ist nur Regel (1) zu beachten.

$$div(U \vec{V}) = \vec{\nabla} (U \vec{V}) = \vec{\nabla} ... ...rline{\vec{V}}) = \vec{V} (grad \; U) + U (div \; \vec{V}).$$

Beispiel 2:

$$div(\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} (\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} (\underline{\vec{V_{1}}} \times \vec{V_{2}} ) + \vec{\nabla} (\vec{V_{1}} \times \underline{\vec{V_{2}}} )$$

$$= \vec{V_{2}} (\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V_{1}}}) - \vec{... ...} (\underline{\vec{V_{2}}} \times \vec{V_{1}}) \; \; \; \; \; (nach \; (2),(3))$$

$$= \vec{V_{2}} (\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V_{1}}}) - \vec{V_{1}} (\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V_{2}}}) \; \; \; \; \; (nach \; (3))$$

$$= \vec{V_{2}} (rot \; \vec{V_{1}}) - \vec{V_{1}} (rot \; \vec{V_{2}}).$$

Beispiel 3:

$$grad(\vec{V_{1}} \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} (\vec{V_{1}} \... ...{2}}) + \vec{\nabla} (\vec{V_{1}} \underline{\vec{V_{2}}}).$$

Wegen (4) und (1) gilt $\vec{b}(\vec{c}\vec{a}) = (\vec{a} \vec{b}) \vec{c} + \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$. Identifizieren wir hier $\vec{a}$ mit $\vec{V_{2}}$, $\vec{b}$ mit $\vec{\nabla}$ und $\vec{c}$ mit $\vec{V_{1}}$, so folgt

$$\vec{\nabla} (\underline{\vec{V_{1}}} \vec{V_{2}}) = (\vec{... ..._{2}} \times (\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V_{1}}}).$$

Entsprechend kann der zweite Term umgeformt werden. Insgesamt folgt:

$$grad(\vec{V_{1}} \vec{V_{2}}) = (\vec{V_{2}} grad) \vec{V_{... ...grad) \vec{V_{2}} + \vec{V_{1}} \times (rot \; \vec{V_{2}}).$$

Aufgabe 1:
a) Berechnen Sie $grad \; r$.
b) Wie in der normalen Analysis gilt für den Gradienten einer mittelbaren Funktion:

$$grad \; \phi(U) = \frac{d\phi}{dU} \; (grad \; U).$$

Berechnen Sie hiermit den Gradienten des Zentralfeldes $\phi(r) = \phi_{0}/r$.
c) Berechnen Sie $grad (\vec{r} \; \vec{c})$, wobei $\vec{c}$ ein konstanter Vektor ist.
Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Divergenz der Zentralfelder
a) $\vec{V}(\vec{r}) = \vec{r}$
b) $\vec{V}(\vec{r}) = \phi(r) \vec{r}$
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die Ausdrücke für
a) $grad(U_{1} U_{2})$
b) $rot(U \vec{V})$
c) $rot(\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}})$
Aufgabe 4:
Der Vektor $(\vec{a} \vec{\nabla}) \vec{V}$ heißt der Gradient des Vektorfeldes $\vec{V}$ nach dem Vektor $\vec{a}$. Zeigen Sie, daß

$$2 (\vec{a} \vec{\nabla}) \vec{V} = rot(\vec{V} \times \vec{... ...\vec{V} (div \; \vec{a}) - \vec{V} \times (rot \; \vec{a}).$$

Aufgabe 5:
Überzeugen Sie sich davon, daß für jedes Feld $U$ und $\vec{V}$ gilt:
a) $rot \; grad \; U \; = \; 0$
b) $div \; rot \; \vec{V} \; = \; 0$.


Lösungen zu den Rechenübungen am 11.November 1992.
Aufgabe 1:
a) Man zeigt explizit, daß

$$grad \; r = \vec{\nabla} r = (\frac{\partial}{\partial x}, ... ...rac{(x,y,z)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} = \frac{\vec{r}}{r}.$$

b) Wir setzen $U(r) = r$, dann ist $\phi(U) = \phi_{0}/U$. Damit folgt:

$$\vec{\nabla}(\phi(U)) = -\frac{\phi_{0}}{U^{2}} (\vec{\nabl... ...^{2}} \frac{\vec{r}}{r} = - \frac{\phi_{0}}{r^{3}} \vec{r}.$$

c) Nach Beispiel 3 ist:

$$\vec{\nabla}(\vec{r}\vec{c}) = (\vec{c}\vec{\nabla}) \vec{r... ...la}) \vec{r} + \vec{c} \times (\vec{\nabla} \times \vec{r}).$$

Man zeigt explizit, daß $\vec{\nabla} \times \vec{r} = 0$, also

$$\vec{\nabla} (\vec{r} \vec{c}) = (\vec{c} \vec{\nabla}) \vec{r} = \vec{c}.$$

Aufgabe 2:
a) Wir rechnen explizit:

$$\vec{\nabla} \vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3.$$

b) Mit den Ergebnissen von Beispiel 1 sowie der Aufgabe 1 folgt

$$\vec{\nabla}(\phi(r) \vec{r}) = \vec{r} (\vec{\nabla} \phi) + \phi (\vec{\nabla} \vec{r}) \; \; \; \; \; \; \; (Beispiel \; 1)$$

$$= \vec{r} \frac{d\phi}{dr} (\vec{\nabla} r) + 3 \phi \; \; \; \; \; \; \; (Aufgabe \; 1b \; und \; 1c)$$

$$= 3 \frac{d\phi}{dr} + 3 \phi \; \; \; \; \; \; \; (Aufgabe \; 1a)$$

Aufgabe 3:
a)

$$\vec{\nabla}(U_{1} U_{2}) = \vec{\nabla} (\underline{U_{1}} U_{2}) + \vec{\nabla}(U_{1} \underline{U_{2}})$$

$$= U_{2} (\vec{\nabla} \underline{U_{1}}) + U_{1} (\vec{\nabla} \underline{U_{2}})$$

$$= U_{2} (grad \; U_{1}) + U_{1} (grad \; U_{2})$$

b)

$$\vec{\nabla} \times (U \vec{V}) = \vec{\nabla} \times (\underline{U} \vec{V}) + \vec{\nabla} \times (U \underline{\vec{V}})$$

$$= \vec{\nabla} \times (\vec{V} \underline{U}) + U (\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V}})$$

$$= - \vec{V} \times (\vec{\nabla} \underline{U}) + U ( \vec{\nabla} \times \underline{\vec{V}})$$

$$= - \vec{V} \times (grad \; U) + U (rot \; \vec{V}).$$

c)

$$\vec{\nabla} \times (\vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2}) = \vec{\nabla} \times (\underline{\vec{V}_{1}} \times \vec{V}_{2}) + \vec{\nabla} \times (\vec{V}_{1} \times \underline{\vec{V}_{2}})$$

$$= \underline{\vec{V}_{1}} ( \vec{\nabla} \vec{V}_{2}) - \vec{V}_{2}... ...derline{\vec{V}_{2}} (\vec{\nabla} \vec{V}_{1}) \; \; \; \; \; \; (nach \; (4))$$

Nach zwei weiteren, bereits mehrfach durchgeführten Schritten folgt:

$$\vec{\nabla} \times (\vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2}) = (\v... ..._{2} (div \; \vec{V}_{1}) + \vec{V}_{1} (div \; \vec{V}_{2}).$$

Aufgabe 4:
Folgt aus Beispiel 3 und Aufgabe 3c.
Aufgabe 5:
Folgt durch explizites Rechnen aus den Definitionen der Operatoren