\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{Rechen"ubungen  am 11. November 1992}
\normalsize  
\vskip 5mm
\bf \underline{Erg"anzungen zur Vektoranalysis} \rm \newline
In der Elektrodynamik sowie insbesondere bei der Behandlung der
Maxwell- Gleichungen wird vielfach von Vektoroperatoren Gebrauch
gemacht. 
F"ur die Differentialoperatoren gilt in kartesischen Koordinaten:
\begin{eqnarray}
grad \; U &=& \vec{\nabla} U = \frac{\partial U}{\partial x} \vec{e}_{x}
+ \frac{\partial U}{\partial y} \vec{e}_{y} + \frac{\partial U}{\partial z}
\vec{e}_{z} \nonumber \\
div \; \vec{V} &=& \vec{\nabla} \vec{V} = \frac{\partial V_{x}}{\partial x}
+ \frac{\partial V_{y}}{\partial y} + \frac{\partial V_{z}}{\partial z} 
\nonumber \\
rot \; \vec{V} &=& \vec{\nabla} \times \vec{V} = \left( 
\frac{\partial V_{z}}{\partial y} -\frac{\partial V_{y}}{\partial z}
\right) \vec{e}_{x} + \left( \frac{\partial V_{x}}{\partial z}
- \frac{\partial V_{z}}{\partial x} \right) \vec{e}_{y} +
\left( \frac{\partial V_{y}}{\partial x} - 
\frac{\partial V_{x}}{\partial y} \right) \vec{e}_{z} \nonumber 
\end{eqnarray}
Hier und in allen weiteren Formeln bezeichnen wir mit $U$ ein 
Skalarfeld und mit $\vec{V}$ ein Vektorfeld. Man kann leicht zeigen,
da"s der Gradient, die Divergenz und die Rotation einer Summe von
Feldern additiv auf die Felder angewendet werden k"onnen: 
\begin{eqnarray}
grad (U_{1}+U_{2}) = \vec{\nabla} (U_{1}+U_{2}) &=& \vec{\nabla} U_{1}
+\vec{\nabla} U_{2}  \nonumber \\
div (\vec{V_{1}} + \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} (\vec{V_{1}}+\vec{V_{2}})
&=& \vec{\nabla} \vec{V_{1}} + \vec{\nabla} \vec{V_{2}} \nonumber \\
rot (\vec{V_{1}}+ \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} \times (\vec{V_{1}} +
\vec{V_{2}} )
&=& \vec{\nabla} \times \vec{V_{1}} + \vec{\nabla} \times \vec{V_{2}}
\nonumber 
\end{eqnarray}
Ebenso gilt nat"urlich, wenn $c$ ein konstanter Skalar ist,  
\begin{displaymath}
\vec{\nabla} (c U) = c \vec{\nabla} U, \; \; \; \; \; \; \; 
\vec{\nabla} (c \vec{V}) = c \vec{\nabla} \vec{V}, \; \; \; \; \; \; \; 
\vec{\nabla} \times (c \vec{V}) = c \vec{\nabla} \times \vec{V}.
\end{displaymath}
Einzig die Regeln zur Anwendung von Differentialoperatoren auf 
Produkte von skalaren und vekoriellen Feldern sind etwas komplizierter.
Wie wollen diese Regeln hier nicht beweisen, sondern ein 
\underline{Kochrezept} 
diskutieren, nach dem alle Regeln relativ einfach hergeleitet werden
k"onnen. Wir schreiben das Produkt einer beliebigen Anzahl von
skalaren und vektoriellen Felder in der Form 
$X_{1} \oplus X_{2} \ominus ...... \otimes X_{n}$. Die Symbole
$\oplus$, $\ominus$ und $\otimes$ bezeichnen hierbei eine
skalare oder vektorielle Multiplikation. Wir schreiben dann
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla} ( X_{1} \oplus X_{2} \ominus ..... \otimes X_{n})
= \vec{\nabla} (\underline{X_{1}} \oplus X_{2} \ominus ..... \otimes X_{n})
&+& \vec{\nabla} (X_{1} \oplus \underline{X_{2}} \ominus ..... \otimes X_{n})
\nonumber \\ + \; ....... \; +
&+& \vec{\nabla} (X_{1} \oplus X_{2} \ominus ..... \otimes \underline{X_{n}}),
\nonumber
\end{eqnarray}
Dieses soll andeuten, da"s wir den Nablaoperator auf die mit dem
Unterstrich versehene Funktion anwenden m"ussen und anschlie"send 
alle Summanden addieren. Danach werden die so gewonnenen Produkte
nach den Regeln der Vektoralgebra so umgeformt, da"s nach dem
Nablaoperator $\vec{\nabla}$ nur noch die mit dem Unterstrich versehene 
Funktion steht. Beim letzten Schritt wird der Nablaoperator wie ein 
normaler Vektor behandelt. Die hierzu wichtigsten Regeln der
Vektoralgebra sind:
\begin{eqnarray}
\vec{a} \vec{b} &=& \vec{b} \vec{a} \\
\vec{a} \times \vec{b} &=& - \vec{b} \times \vec{a} \\
\vec{a} (\vec{b} \times \vec{c}) &=& \vec{c} (\vec{a} \times \vec{b})
= \vec{b} (\vec{c} \times \vec{a}) \\
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) &=& \vec{b} (\vec{a} \vec{c})
- \vec{c} (\vec{a} \vec{b}) 
\end{eqnarray}
Formel (3) merkt man sich am besten unter der Rubrik der
zyklischen Vertauschung. Regel (4) ist sicherlich am schwierigsten
zu merken. Weiterhin mu"s beachtet werden, da"s
\begin{eqnarray}
\vec{a} (\vec{b} \vec{c}) &\ne& (\vec{a} \vec{b}) \vec{c} \nonumber \\
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) &\ne& (\vec{a} \times \vec{b})
\times \vec{c} \nonumber 
\end{eqnarray} 
Falls man diese Regeln der Vektoralgebra wei"s, 
kann man viele Regeln f"ur die Differentialoperatoren leicht herleiten. 
\newline \vskip 5mm
\bf Beispiel 1: \rm 
In diesem Beispiel sollte beachtet werden, da"s $U$ kein Vektor, 
sondern ein Skalar ist. Dieser kann also beliebig in den Vektorprodukten
hin- und hergeschoben werden. Daher ist nur Regel (1) zu beachten. 
\begin{displaymath}
div(U \vec{V}) = \vec{\nabla} (U \vec{V}) = \vec{\nabla} 
(\underline{U} \vec{V})
+ \vec{\nabla} (U \underline{\vec{V}}) = \vec{V} (\vec{\nabla} 
\underline{U)} + 
U (\vec{\nabla} \underline{\vec{V}}) = 
\vec{V} (grad \; U) + U (div \; \vec{V}).
\end{displaymath}
\bf Beispiel 2: \rm
\begin{eqnarray}
div(\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla}
(\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}}) &=& \vec{\nabla} 
(\underline{\vec{V_{1}}} \times
\vec{V_{2}} ) + \vec{\nabla} (\vec{V_{1}} \times \underline{\vec{V_{2}}} ) 
\nonumber \\
&=& \vec{V_{2}} (\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V_{1}}}) - \vec{\nabla}
(\underline{\vec{V_{2}}} \times \vec{V_{1}}) \; \; \; \; \; 
(nach \; (2),(3)) \nonumber \\
&=& \vec{V_{2}} (\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V_{1}}}) - \vec{V_{1}} 
(\vec{\nabla} \times \underline{\vec{V_{2}}}) \; \; \; \; \; (nach \; (3))
\nonumber \\
&=& \vec{V_{2}} (rot \; \vec{V_{1}}) - \vec{V_{1}} (rot \; \vec{V_{2}}). 
\nonumber
\end{eqnarray}
\bf Beispiel 3: \rm
\begin{displaymath}
grad(\vec{V_{1}} \vec{V_{2}}) = \vec{\nabla} (\vec{V_{1}} \vec{V_{2}})
= \vec{\nabla} (\underline{\vec{V_{1}}} \vec{V_{2}}) + \vec{\nabla} 
(\vec{V_{1}} \underline{\vec{V_{2}}}).
\end{displaymath}
Wegen (4) und (1) gilt $\vec{b}(\vec{c}\vec{a}) = (\vec{a} \vec{b}) \vec{c}
+ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$. Identifizieren wir hier 
$\vec{a}$ mit $\vec{V_{2}}$, $\vec{b}$ mit $\vec{\nabla}$ und $\vec{c}$
mit $\vec{V_{1}}$, so folgt
\begin{displaymath}
\vec{\nabla} (\underline{\vec{V_{1}}} \vec{V_{2}}) = (\vec{V_{2}} \vec{\nabla})
\underline{\vec{V_{1}}} + \vec{V_{2}} \times (\vec{\nabla} \times 
\underline{\vec{V_{1}}}).
\end{displaymath}
Entsprechend kann der zweite Term umgeformt werden. Insgesamt folgt:
\begin{displaymath}
grad(\vec{V_{1}} \vec{V_{2}}) = (\vec{V_{2}} grad) \vec{V_{1}}
+ \vec{V_{2}} \times (rot \; \vec{V_{1}}) + (\vec{V_{1}} grad) \vec{V_{2}}
+ \vec{V_{1}} \times (rot \; \vec{V_{2}}).
\end{displaymath}
\newpage
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
a) Berechnen Sie $grad \; r$. \newline
b) Wie in der normalen Analysis gilt f"ur den Gradienten einer 
mittelbaren Funktion: 
\begin{displaymath}
grad \; \phi(U) = \frac{d\phi}{dU} \; (grad \; U).
\end{displaymath}
Berechnen Sie hiermit den Gradienten des Zentralfeldes 
$\phi(r) = \phi_{0}/r$. \newline
c) Berechnen Sie $grad (\vec{r} \; \vec{c})$, wobei $\vec{c}$ ein
konstanter Vektor ist. \newline
\vskip 5mm 
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Berechnen Sie die Divergenz der Zentralfelder \newline
a) $\vec{V}(\vec{r}) = \vec{r}$ \newline
b) $\vec{V}(\vec{r}) = \phi(r) \vec{r}$ \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Berechnen Sie die Ausdr"ucke f"ur \newline
a) $grad(U_{1} U_{2})$ \newline
b) $rot(U \vec{V})$ \newline
c) $rot(\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}})$ \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 4: \rm \newline
Der Vektor $(\vec{a} \vec{\nabla}) \vec{V}$ hei"st der Gradient des
Vektorfeldes $\vec{V}$ nach dem Vektor $\vec{a}$. 
Zeigen Sie, da"s
\begin{displaymath}
2 (\vec{a} \vec{\nabla}) \vec{V} = rot(\vec{V} \times \vec{a})
+ grad(\vec{a} \vec{V}) + \vec{a} \; (div \; \vec{V})  
- \vec{a} \times (rot \; \vec{V}) - \vec{V} (div \; \vec{a})
- \vec{V} \times (rot \; \vec{a}). 
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 5: \rm \newline
"Uberzeugen Sie sich davon, da"s f"ur jedes Feld $U$ und $\vec{V}$ gilt: 
\newline
a) $rot \; grad \; U \; = \; 0$ \newline
b) $div \; rot \; \vec{V} \; = \; 0$.   
\newpage
\bf L"osungen zu den Rechen"ubungen am 11.November 1992. \rm \newline 
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
a) Man zeigt explizit, da"s
\begin{displaymath}
grad \; r = \vec{\nabla} r = (\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) 
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
= \frac{\vec{r}}{r}. 
\end{displaymath}
\vskip 5mm
b) Wir setzen $U(r) = r$, dann ist $\phi(U) = \phi_{0}/U$. Damit folgt:
\begin{displaymath}
\vec{\nabla}(\phi(U)) = -\frac{\phi_{0}}{U^{2}} (\vec{\nabla} r)
= - \frac{\phi_{0}}{r^{2}} \frac{\vec{r}}{r} = 
- \frac{\phi_{0}}{r^{3}} \vec{r}.
\end{displaymath}
\vskip 5mm
c) Nach Beispiel 3 ist:
\begin{displaymath}
\vec{\nabla}(\vec{r}\vec{c}) = (\vec{c}\vec{\nabla}) \vec{r} +
\vec{c} \times (\vec{\nabla} \times \vec{r}) + (\vec{r} \vec{\nabla})
\vec{c} + \vec{r} \times (\vec{\nabla} \times \vec{c})
= (\vec{c} \vec{\nabla}) \vec{r} + \vec{c} \times (\vec{\nabla} \times
\vec{r}).
\end{displaymath}
Man zeigt explizit, da"s $\vec{\nabla} \times \vec{r} = 0$, also
\begin{displaymath}
\vec{\nabla} (\vec{r} \vec{c}) = (\vec{c} \vec{\nabla}) \vec{r} =
\vec{c}. 
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
a) Wir rechnen explizit:
\begin{displaymath}
\vec{\nabla} \vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + 
\frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3.
\end{displaymath}
\vskip 5mm
b) Mit den Ergebnissen von Beispiel 1 sowie der Aufgabe 1 folgt
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla}(\phi(r) \vec{r}) &=& \vec{r} (\vec{\nabla} \phi)
+ \phi (\vec{\nabla} \vec{r}) \; \; \; \; \; \; \; (Beispiel \; 1) 
\nonumber \\
&=& \vec{r} \frac{d\phi}{dr} (\vec{\nabla} r) + 3 \phi \; \; \; \; \; \; \; 
(Aufgabe \; 1b \; und \; 1c) \nonumber \\
&=& 3 \frac{d\phi}{dr} + 3 \phi \; \; \; \; \; \; \; (Aufgabe \; 1a)
\nonumber \\
\end{eqnarray}  
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
a)
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla}(U_{1} U_{2}) &=& \vec{\nabla} (\underline{U_{1}} U_{2})
+ \vec{\nabla}(U_{1} \underline{U_{2}}) \nonumber \\
&=& U_{2} (\vec{\nabla} \underline{U_{1}}) + U_{1} (\vec{\nabla}
\underline{U_{2}}) \nonumber \\
&=& U_{2} (grad \; U_{1}) + U_{1} (grad \; U_{2}) \nonumber
\end{eqnarray}
b)
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla} \times (U \vec{V}) &=& \vec{\nabla} \times (\underline{U}
\vec{V}) + \vec{\nabla} \times (U \underline{\vec{V}}) \nonumber \\
&=& \vec{\nabla} \times (\vec{V} \underline{U}) + U (\vec{\nabla}
\times \underline{\vec{V}}) \nonumber \\
&=& - \vec{V} \times (\vec{\nabla} \underline{U}) + U ( \vec{\nabla} 
\times \underline{\vec{V}}) \nonumber \\
&=& - \vec{V} \times (grad \; U) + U (rot \; \vec{V}). \nonumber
\end{eqnarray}
c)
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla} \times (\vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2})
&=& \vec{\nabla} \times (\underline{\vec{V}_{1}} \times \vec{V}_{2})
+ \vec{\nabla} \times (\vec{V}_{1} \times \underline{\vec{V}_{2}})
\nonumber \\
&=& \underline{\vec{V}_{1}} ( \vec{\nabla} \vec{V}_{2}) - \vec{V}_{2}
(\vec{\nabla} \underline{\vec{V}_{1}}) + \vec{V}_{1} (\vec{\nabla}
\underline{\vec{V}_{2}}) - \underline{\vec{V}_{2}} (\vec{\nabla}
\vec{V}_{1}) \; \; \; \; \; \; (nach \; (4)) \nonumber 
\end{eqnarray}
Nach zwei weiteren, bereits mehrfach durchgef"uhrten Schritten folgt:
\begin{displaymath}
\vec{\nabla} \times (\vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2}) =
(\vec{V}_{2} grad) \vec{V}_{1} - (\vec{V}_{1} grad) \vec{V}_{2}
- \vec{V}_{2} (div \; \vec{V}_{1}) + \vec{V}_{1} (div \; \vec{V}_{2}).
\end{displaymath}  
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 4: \rm \newline
Folgt aus Beispiel 3 und Aufgabe 3c. \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 5: \rm \newline
Folgt durch explizites Rechnen aus den Definitionen der Operatoren
\end{document}
