Physik III, WS 1992/93

Rechenübungen am 4. November 1992

Ergänzungen zur Fourier- Analyse
Periodische Funktionen $f(t)$ mit der Periode $T$ können in eine Fourier- Reihe entwickelt werden,

$$f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cos(n\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} sin(n\omega t).$$ (1)

Die Fourierkoeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ können hierbei in den folgenden Formen geschrieben werden:

$$a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos(n\omega t) dt = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) cos(n\omega t) dt$$ (2)

$$= \frac{2}{T} \int_{0}^{T/2} [f(t)+f(-t)] cos(n\omega t) dt$$ (3)

$$b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) sin(n\omega t) dt = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) sin(n\omega t) dt$$ (4)

$$= \frac{2}{T} \int_{0}^{T/2} [f(t)-f(-t)] sin(n\omega t) dt$$ (5)

Hieraus und den Symmetrieeigenschaften der Zeitfunktion $f(t)$ kann man die verschwindenden Fourier- Koeffizienten bestimmen:

$$\begin{array}{lll} 1. & f(t) = f(-t) & b_{n} = 0 \\ 2. ... ... -f(t) & b_{n} = 0 \; \; und \; \; a_{2n} = 0 \end{array}$$ (6)

Sofern man einen Rechner zur Verfügung hat (hier genügt ein programmierbarer Taschenrechner), kann man die Integration numerisch durchführen. Man unterteilt das Integrationsintervall $[0,T]$ in $2M$ Teilintervalle mit den Stützstellen $t_{m} = mT/(2M)$, berechnet an diesen Stützstellen die Funktionswerte $y_{m}=f(t_{m})$ und bildet die Summen

$$a_{0} = \frac{1}{M} \sum_{m=0}^{2M-1} y_{m}$$ (7)

$$a_{n} = \frac{1}{M} \sum_{m=0}^{2M-1} y_{m} cos(\frac{n m \pi}{M})$$ (8)

$$b_{n} = \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{2M-1} y_{m} sin(\frac{n m \pi}{M})$$ (9)

Der zugrunde liegende Algorithmus ist die Trapezformel der numerischen Integration. Hierbei muß bemerkt werden, daß man für die verschwindenden Koeffizienten im allgemeinen keine guten Resultate erhält, d.h. sie sind relativ weit von Null verschieden. Außerdem sollte grundsätzlich mit doppelter Genauigkeit (64 bit) gerechnet werden, was bei Taschenrechnern sowieso der Fall ist.
Komplexe Schreibweise
Die Formeln der Fourier- Analyse lassen sich kompakter schreiben, wenn man komplexe Zahlen einführt. Wegen

$$cos(n\omega t) = \frac{1}{2} (e^{i n\omega t}+e^{-i n\omega... ...\omega t) = \frac{1}{2i} (e^{i n\omega t}+ e^{-i n \omega t})$$ (10)

folgt bei Einsetzen in die Fourier- Reihe

$$f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2... ...}^{\infty} \frac{b_{n}}{2} (e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}).$$ (11)

Wir sortieren nach $e^{in\omega t}$ und $e^{-in\omega t}$:

$$f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}-... ...+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-in\omega t}$$ (12)

Mit den Festsetzungen

$$c_{n} = \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c_{-n} = \frac{a_{n}+ib_{n}}{2}$$ (13)

folgt schließlich

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{in\omega t}$$ (14)

$$c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-in\omega t} dt, \; \; \; \; \; n=-\infty,....,0,.....,+\infty.$$ (15)

Reihenentwicklungen
Für praktische Anwendungen sind normale Reihenentwicklungen außerordentlich nützlich. Sei $f(t)$ eine reelle Funktion, die als Real- oder Imaginärteil einer komplexen Funktion $g(z)$ mit $z = \rho e^{i\omega t}$ geschrieben werden kann:

$$f(t) = Re\{g(\rho e^{i\omega t})\} \; \; \; \; \; oder \; \; \; \; \; f(t) = Im\{g(\rho e^{i\omega t})\},$$ (16)

dann kann die Reihenentwicklung für $g(z)$,

$$g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n},$$ (17)

benutzt werden, um eine Fourier- Reihe für $f(t)$ zu erhalten:

$$g(\rho e^{i\omega t}) = \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n} \rho^{n}... ...{\infty} (a_{n} \rho^{n}) (cos(n\omega t) + i sin(n\omega t))$$ (18)

Trennung nach Real- und Imaginärteil ergibt ( $a_{n} = Re\{a_{n}\}+i Im\{a_{n}\}$):

$$Re\{g(\rho e^{i\omega t})\} = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{n} [Re\{a_{n}\} cos(n\omega t) - Im\{a_{n}\} sin(n\omega t)]$$ (19)

$$Im\{g(\rho e^{i\omega t})\} = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{n} [Im\{a_{n}\} cos(n\omega t) + Re\{a_{n}\} sin(n\omega t)]$$ (20)

Eine weitere Möglichkeit der Reihenentwicklung ist gegeben, wenn in der Zeitfunktion $f(t)$ infinitesimale Parameter $\epsilon$ auftreten. Ein Beispiel möge dieses zeigen. Sei $f(t)=1/(1+\epsilon \; sin(\omega t))$ und $\epsilon \ll 1$. Da $\vert sin(\omega t)\vert < 1$, kann man nach $\epsilon \; sin(\omega t)$ entwickeln:

$$\frac{1}{1+\epsilon \; sin(\omega t)} = 1 - \epsilon \; sin(\omega t) + \epsilon^{2} \; sin^{2}(\omega t) + ....$$ (21)

$$= 1 - \epsilon \; sin(\omega t) + \frac{\epsilon^{2}}{2} \left( 1-cos(2\omega t) \right) + ....$$ (22)

$$= (1+\frac{\epsilon^{2}}{2}) - \epsilon \left( sin(\omega t) + \frac{\epsilon}{2} cos(2\omega t) \right) + ....$$ (23)

Bei dieser Art von Reihenentwicklungen muß man sich natürlich darüber im Klaren sein, daß in höheren Termen von $\epsilon^{n}$ noch weitere Glieder mit $sin(2\omega t)$ oder $cos(2\omega t)$ auftreten können.
Nichtperiodische Funktionen
Bei nichtperiodischen Funktionen wird aus dem diskreten Frequenzspektrum ein kontinuierliches Frequenzspektrum:

$$c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-in\omega t} dt \r... ...{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$ (24)

Die Reihenentwicklung der Funktion $f(t)$ muß als Integral geschrieben werden:

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{in\omega t} \righ... ...}} \int_{-\infty}^{\infty} g(\omega) e^{i\omega t} d\omega.$$ (25)

Daß diese Ersetzungen richtig sind, ersieht man am einfachsten, wenn man das Frequenzspektrum $g(\omega)$ wieder in das Integral für $f(t)$ einsetzt:

$$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t') e^{-i\omega t'} e^{i\omega t} dt' d\omega$$ (26)

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t') \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(t-t')\omega} d\omega \right) dt'$$ (27)

Da $\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(t-t')\omega} d\omega =\delta (t-t')$ die Diracsche Deltafunktion ist, folgt

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t') \delta (t-t') dt' = f(t).$$ (28)

Aufgabe 1:
Wie groß sind die Amplituden der harmonischen Schwingungen, aus denen sich die periodische Sägezahnkurve $f(t) = 2t/T$ aufbaut ?

• Hinweis: $\int x sin(ax) dx = (1/a^{2}) \; sin(ax) -(1/a) \; x \; cos(ax)$

Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Fourier- Transformierte der nichtperiodischen Funktion $f(t)=-E_{0}$ für $-d<t<0$, $f(t)=+E_{0}$ für $0<t<d$ und $f(t)=0$ für $\vert t\vert>d$.

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Fourierreihen Entwicklung für die Funktion

$$f(t) = \frac{1-a \; cos(\omega t)}{1-2a \; cos(\omega t) + a^{2}}$$ (29)

• Hinweis: Diskutieren Sie die Potenzreihenentwicklung für $g(z) = 1/(1-z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^{n}$ für $\vert z\vert<1$, wobei $z$ eine komplexe Zahl ist.

Lösungen zu den Rechenübungen am 4. November 1992.
Aufgabe 1:
Symmetrie von $f(t)$: $a_{n}=0$. Mit $\omega = 2\pi/T$ folgt:

$$b_{n} = \frac{4}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \frac{t}{T} sin \left( \frac{2 n \pi t}{T} \right) = (-1)^{n+1} \frac{2}{n\pi}.$$ (30)

Aufgabe 2:

$$g(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}... ...left( -\int_{-d}^{0} e^{-i\omega t} dt + \int_{0}^{d} e^{-i\omega t} dt \right)$$ (31)

$$= \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{i \omega} \left( 1 - \frac{e^{i\om... ...ght) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{i \omega} \left( 1 - cos(\omega d) \right)$$ (32)

$$= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{d}{i} \frac{sin^{2}(\omega d/2)}{(\omega d/2)}$$ (33)

Aufgabe 3:
Mit $z=a e^{i\omega t}$ erhalten wir die Potenzreihen- Entwicklung:

$$\frac{1}{1-a e^{i\omega t}} = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} (e^... ...ty} a^{n} \left( cos(n\omega t) + i sin(n \omega t) \right).$$ (34)

Auf der linken Seite dieser Gleichung steht die imaginäre Einheit $i$ im Nenner. Um die linke Seite in Real und Imaginärteil trennen zu können, muß die imaginäre Einheit in den Zähler gebracht werden. Hierzu erweitern wir Zähler und Nenner mit dem komplex konjugierten des Nenners : $(1-a e^{i\omega t})^{\ast} = 1- a e^{-i \omega t}$:

$$\frac{1}{1-a e^{i\omega t}} = \frac{1-a e^{-i\omega t}}{(... ...(cos(\omega t) - i sin(\omega t))}{1-2a cos(\omega t) +a^{2}}$$ (35)

Also:

$$\frac{1}{1-a e^{i\omega t}} = \frac{1-a cos(\omega t)}{1-... ...a^{2}} + i \frac{sin(\omega t)}{1-2a cos(\omega t) + a^{2}}$$ (36)

Vergleich der Real- und Imaginärteile zeigt:

$$\frac{1-a cos(\omega t)}{1-2a cos(\omega t)+a^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} cos(n\omega t)$$ (37)

$$\frac{sin(\omega t)}{1-2a cos(\omega t) + a^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} sin(n\omega t)$$ (38)