\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{Rechen"ubungen  am 4. November 1992}
\normalsize  
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\bf \underline{Erg"anzungen zur Fourier- Analyse} \rm \newline 
Periodische Funktionen $f(t)$ mit der Periode $T$ k"onnen in eine Fourier-
Reihe entwickelt werden,
\begin{equation}
f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cos(n\omega t)
                       + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} sin(n\omega t).
\end{equation}
Die Fourierkoeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ k"onnen hierbei in den
folgenden Formen geschrieben werden:
\begin{eqnarray}
a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos(n\omega t) dt
       &=&  \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) cos(n\omega t) dt \\
       &=&  \frac{2}{T} \int_{0}^{T/2} [f(t)+f(-t)] cos(n\omega t) dt \\
b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) sin(n\omega t) dt
       &=&  \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t) sin(n\omega t) dt \\
       &=&  \frac{2}{T} \int_{0}^{T/2} [f(t)-f(-t)] sin(n\omega t) dt
\end{eqnarray}
Hieraus und den Symmetrieeigenschaften der Zeitfunktion $f(t)$ kann
man die verschwindenden Fourier- Koeffizienten bestimmen:
\begin{equation}
\begin{array}{lll} 
1. & f(t) = f(-t) & b_{n} = 0 \\
2. & f(t) = -f(t) & a_{n} = 0 \\
3. & f(t+T/2) = -f(t) & a_{2n} = 0 \; \; und \; \; b_{2n} = 0 \\
4. & f(t)=-f(-t) \; \; und \; \; f(t+T/2) = -f(t) & a_{n} = 0 \; \;
und \; \; b_{2n} = 0 \\
5. & f(t) = f(-t) \; \; und \; \; f(t+T/2)= -f(t) & b_{n} = 0 \; \; 
und \; \; a_{2n} = 0 
\end{array}
\end{equation}
Sofern man einen Rechner zur Verf"ugung hat (hier gen"ugt ein 
programmierbarer Taschenrechner), kann man die Integration 
numerisch durchf"uhren. Man unterteilt das Integrationsintervall
$[0,T]$ in $2M$ Teilintervalle mit den St"utzstellen
$t_{m} = mT/(2M)$, berechnet an diesen St"utzstellen die
Funktionswerte $y_{m}=f(t_{m})$ und bildet die Summen
\begin{eqnarray}
a_{0} &=& \frac{1}{M} \sum_{m=0}^{2M-1} y_{m} \\
a_{n} &=& \frac{1}{M} \sum_{m=0}^{2M-1} y_{m} cos(\frac{n m \pi}{M}) \\
b_{n} &=& \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{2M-1} y_{m} sin(\frac{n m \pi}{M})
\end{eqnarray}
Der zugrunde liegende Algorithmus ist die Trapezformel der numerischen
Integration.
Hierbei mu"s bemerkt werden, da"s man f"ur die verschwindenden
Koeffizienten im allgemeinen keine guten Resultate erh"alt, d.h.
sie sind relativ weit von Null verschieden.  
Au"serdem sollte grunds"atzlich mit doppelter Genauigkeit (64 bit)
gerechnet werden, was bei Taschenrechnern sowieso der Fall ist.   
\newline
\bf \underline{Komplexe Schreibweise} \rm \newline
Die Formeln der Fourier- Analyse lassen sich kompakter schreiben,
wenn man komplexe Zahlen einf"uhrt. Wegen 
\begin{equation}
cos(n\omega t) = \frac{1}{2} (e^{i n\omega t}+e^{-i n\omega t})
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
sin(n\omega t) = \frac{1}{2i} (e^{i n\omega t}+ e^{-i n \omega t})
\end{equation}

folgt bei Einsetzen in die Fourier- Reihe
\begin{equation}
f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2}
(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}) - i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{2}
(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}).
\end{equation}
Wir sortieren nach $e^{in\omega t}$ und $e^{-in\omega t}$:
\begin{equation}
f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty}
\frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-in\omega t}
\end{equation}
Mit den Festsetzungen
\begin{equation}
c_{n} = \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
c_{-n} = \frac{a_{n}+ib_{n}}{2}
\end{equation}
folgt schlie"slich
\begin{eqnarray}
f(t) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{in\omega t} \\      
c_{n} &=& \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-in\omega t} dt, \; \; \; \; \;
n=-\infty,....,0,.....,+\infty.
\end{eqnarray}
\bf \underline{Reihenentwicklungen} \rm \newline
F"ur praktische Anwendungen sind normale Reihenentwicklungen au"serordentlich
n"utzlich. Sei $f(t)$ eine reelle Funktion, die als Real- oder
Imagin"arteil einer komplexen Funktion $g(z)$ mit 
$z = \rho e^{i\omega t}$  geschrieben werden kann:
\begin{equation}
f(t) = Re\{g(\rho e^{i\omega t})\} \; \; \; \; \; oder \; \; \; \; \; 
f(t) = Im\{g(\rho e^{i\omega t})\},
\end{equation}
dann kann die Reihenentwicklung f"ur $g(z)$,
\begin{equation}
g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n},
\end{equation}
benutzt werden, um eine Fourier- Reihe f"ur $f(t)$ zu erhalten:
\begin{equation}
g(\rho e^{i\omega t}) = \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n} \rho^{n}) e^{in\omega t}
= \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n} \rho^{n}) (cos(n\omega t) + i sin(n\omega t))
\end{equation}
Trennung nach Real- und Imagin"arteil ergibt
($a_{n} = Re\{a_{n}\}+i Im\{a_{n}\}$):
\begin{eqnarray}
Re\{g(\rho e^{i\omega t})\} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{n}
[Re\{a_{n}\} cos(n\omega t) - Im\{a_{n}\} sin(n\omega t)] \\
Im\{g(\rho e^{i\omega t})\} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{n}
[Im\{a_{n}\} cos(n\omega t) + Re\{a_{n}\} sin(n\omega t)]
\end{eqnarray}
Eine weitere M"oglichkeit der Reihenentwicklung ist gegeben, wenn 
in der Zeitfunktion $f(t)$ infinitesimale Parameter $\epsilon$
auftreten. Ein Beispiel m"oge dieses zeigen. 
Sei $f(t)=1/(1+\epsilon \; sin(\omega t))$ und $\epsilon \ll 1$.
Da $|sin(\omega t)| < 1$, kann man nach 
$\epsilon \; sin(\omega t)$ entwickeln:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{1+\epsilon \; sin(\omega t)} &=& 1 - \epsilon \; sin(\omega t)
+ \epsilon^{2} \; sin^{2}(\omega t) + ....  \\
&=& 1 - \epsilon \; sin(\omega t) + \frac{\epsilon^{2}}{2}
\left( 1-cos(2\omega t) \right) + .... \\
&=& (1+\frac{\epsilon^{2}}{2}) - \epsilon \left( sin(\omega t) + 
\frac{\epsilon}{2} cos(2\omega t) \right) + ....
\end{eqnarray}
Bei dieser Art von Reihenentwicklungen mu"s man sich nat"urlich 
dar"uber im Klaren sein, da"s in h"oheren Termen von $\epsilon^{n}$
noch weitere Glieder mit  $sin(2\omega t)$ oder $cos(2\omega t)$ 
auftreten k"onnen. \newline
\bf \underline{Nichtperiodische Funktionen} \rm \newline
Bei nichtperiodischen Funktionen wird aus dem diskreten 
Frequenzspektrum ein kontinuierliches Frequenzspektrum:
\begin{equation}
c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-in\omega t} dt \rightarrow
g(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}
f(t) e^{-i\omega t} dt
\end{equation}
Die Reihenentwicklung der Funktion $f(t)$ mu"s als Integral geschrieben
werden:
\begin{equation}
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{in\omega t} \rightarrow
f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(\omega) 
e^{i\omega t} d\omega.
\end{equation}
Da"s diese Ersetzungen richtig sind, ersieht man am einfachsten, wenn
man das Frequenzspektrum $g(\omega)$ wieder in das Integral f"ur
$f(t)$ einsetzt:
\begin{eqnarray}
f(t) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t') e^{-i\omega t'}
e^{i\omega t} dt' d\omega \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t') \left(
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(t-t')\omega} d\omega \right) dt'
\end{eqnarray}
Da $\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(t-t')\omega} d\omega
=\delta (t-t')$ die Diracsche Deltafunktion ist, folgt
\begin{equation}
f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t') \delta (t-t') dt' = f(t).
\end{equation}
\newpage
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Wie gro"s sind die Amplituden der harmonischen Schwingungen, aus denen sich
die periodische S"agezahnkurve $f(t) = 2t/T$  aufbaut ? \newline
\begin{itemize}
\item Hinweis: $\int x sin(ax) dx = (1/a^{2}) \; sin(ax) 
-(1/a) \; x \; cos(ax)$
\end{itemize}
\vskip 30mm
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Berechnen Sie die Fourier- Transformierte der nichtperiodischen
Funktion $f(t)=-E_{0}$ f"ur $-d<t<0$, $f(t)=+E_{0}$ f"ur $0<t<d$ und
$f(t)=0$ f"ur $|t|>d$. \newline
\vskip 30mm
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Bestimmen Sie die Fourierreihen Entwicklung f"ur die Funktion
\begin{equation}
f(t) = \frac{1-a \; cos(\omega t)}{1-2a \; cos(\omega t) + a^{2}}
\end{equation}
\begin{itemize}
\item Hinweis: Diskutieren Sie die Potenzreihenentwicklung f"ur
$g(z) = 1/(1-z) = \sum_{n=0}^{\infty} z^{n}$ f"ur $|z|<1$, wobei $z$ eine
komplexe Zahl ist.
\end{itemize}  
\newpage
\bf L"osungen zu den Rechen"ubungen am 4. November 1992. \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Symmetrie von $f(t)$: $a_{n}=0$. Mit $\omega = 2\pi/T$ folgt:
\begin{equation}
b_{n} = \frac{4}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \frac{t}{T} sin \left(
\frac{2 n \pi t}{T} \right) = (-1)^{n+1} \frac{2}{n\pi}.
\end{equation}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
\begin{eqnarray}
g(\omega) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)
e^{-i\omega t} dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( -\int_{-d}^{0}
e^{-i\omega t} dt + \int_{0}^{d} e^{-i\omega t} dt \right) \\
&=& \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{i \omega} \left( 1 -
\frac{e^{i\omega d} + e^{-i\omega d}}{2} \right) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}
\frac{1}{i \omega} \left( 1 - cos(\omega d) \right) \\
&=& \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{d}{i} 
\frac{sin^{2}(\omega d/2)}{(\omega d/2)}
\end{eqnarray}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Mit $z=a e^{i\omega t}$ erhalten wir die Potenzreihen- Entwicklung:
\begin{equation}
\frac{1}{1-a e^{i\omega t}} = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} (e^{i\omega t})^{n}
= \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} e^{i n \omega t} = \sum_{n=0}^{\infty}
a^{n} \left( cos(n\omega t) + i sin(n \omega t) \right).
\end{equation}
Auf der linken Seite dieser Gleichung steht die imagin"are Einheit $i$
im Nenner. Um die linke Seite in Real und Imagin"arteil trennen zu 
k"onnen, mu"s die imagin"are Einheit in den Z"ahler gebracht werden.
Hierzu erweitern wir Z"ahler und Nenner mit dem komplex konjugierten 
des Nenners : $(1-a e^{i\omega t})^{\ast} = 1- a e^{-i \omega t}$:
\begin{equation}
\frac{1}{1-a e^{i\omega t}} = 
\frac{1-a e^{-i\omega t}}{(1-a e^{i\omega t})(1-a e^{-i\omega t})}
= \frac{1-a(cos(\omega t) - i sin(\omega t))}{1-2a cos(\omega t) +a^{2}}
\end{equation}
Also:
\begin{equation}
\frac{1}{1-a e^{i\omega t}} = 
\frac{1-a cos(\omega t)}{1-2a cos(\omega t) + a^{2}} 
+ i \frac{sin(\omega t)}{1-2a cos(\omega t) + a^{2}}
\end{equation}
Vergleich der Real- und Imagin"arteile zeigt:
\begin{eqnarray}
\frac{1-a cos(\omega t)}{1-2a cos(\omega t)+a^{2}} &=& 
\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} cos(n\omega t) \\
\frac{sin(\omega t)}{1-2a cos(\omega t) + a^{2}} &=&
\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} sin(n\omega t)
\end{eqnarray}
\end{document}
