Physik III, WS 1992/93
Rechenübungen am 28. Oktober 1992
Rechnen mit komplexen Zahlen
Die formale Definition der imaginären Einheit mit Hilfe der Definition
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führt zu einer Erweiterung des Zahlenbegriffs, zu den komplexen Zahlen.
Mit Hilfe dieser Definition können wir die Wurzeln der algebraischen
Gleichung
angeben zu
Eine komplexe Zahl besitzt die allgemeine Form
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nennt man den Realteil, den Imaginärteil von und schreibt
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Man veranschaulicht komplexe Zahlen durch Punkte in der Gaußschen
Zahlenebene.
Der Betrag der komplexen Zahl ist
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sodaß wir auch in der trigonometrischen Form
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schreiben können. Den Winkel nennt man das Argument der komplexen
Zahl . Aus den Reihenentwicklungen für , und
kann man die Eulersche Formel
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herleiten. Daraus folgt die Exponentialform der komplexen Zahlen
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Aus der trigonometrischen Darstellung ersieht man, daß das Argument
nicht eindeutig ist. Für eine gegebene komplexe Zahl besitzt das
Argument unendlich viele Werte. Unter dem Hauptwert des Arguments versteht
man den Wert zwischen und .
Grundoperationen.
Die Grundoperationen können aus den Grundoperationen der Real- und
Imaginärteile hergeleitet werden.
Bei der Multiplikation und Division wählt man besser die Exponentialform:
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Die Rechenregeln für komplexe Zahlen sind so definiert, daß alle
vom Rechnen mit reellen Zahlen her bekannten Regeln und Relationen
(Kommutativität, Distributivität, u.s.w.) erhalten bleiben. Lediglich die
Ordnungsrelationen (
) haben für komplexe Zahlen selbst keine
Bedeutung, sondern nur für die Beträge der komplexen Zahlen. Die
wichtigsten Ungleichungen seien im folgenden zusammengestellt.
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Die zu konjugiert komplexe Zahl ist durch
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gegeben. Die folgenden einfachen Rechenregeln lassen sich leicht
nachrechnen. Es kann absolut nicht schaden, wenn man sie auswendig kann.
Die komplexen trigonometrischen Funktionen.
Die Eulersche Formel kann allgemeiner formuliert werden. Hierzu definieren
wir die Sinus-, Cosinus- und Exponentialfunktion durch die aus dem
Reellen übertragenen Reihenentwicklungen:
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Aus diesen Reihenentwicklungen folgt die Eulersche Formel auch für
komplexe Argumente,
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sowie der gesamte Formelapperat der komplexen Trigonometrie, z.B
Aufgabe 1:
Berechnen Sie die konjugiert komplexen Zahlen zu
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie den Betrag der komplexen Größe
Aufgabe 3:
Leiten Sie die Beziehungen
aus der Eulerschen Formel ab.
Aufgabe 4:
Schreiben Sie die Funktionen und als Summe ihrer Real-
und Imaginärteile.
Aufgabe 5:
Beweisen Sie, daß die Multiplikation einer Wellenfunktion mit
mit einer Phasenverschiebung um gleichwertig ist.
Aufgabe 6:
Wir betrachten zwei Wellen mit übereinstimmenden Amplituden,
Geschwindigkeiten und Frequenzen, deren Überlagerung
ergibt. Mit komplexer Schreibweise zeige man, daß dieses
eine stehende Welle ist:
Aufgabe 7:
In der Wellenlehre ebenso wie in allen Teilgebieten der Physik hat man häufig
harmonische Funktionen zu quadrieren. Wenn diese Funktionen komplex
sind, muß mit äußerster Sorgfalt ein Fehler vermieden werden,
der häufig gemacht wird. Man untersuche dieses im Detail anhand der
Berechnung von für
in komplexer Darstellung. Wo liegt die Schwierigkeit ?
Aufgabe 8:
Mit Hilfe komplexer Schreibweise läßt sich der gesamte Formelapperat
der reellen Trigonometrie herleiten. Dieses kann außerordentlich nützlich
sein, wenn man mal keine Formelsammlung zur Hand hat (z.B Badeanstalt,
Klausur). Hier eine kleine Auswahl:
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- Hinweis: Die endliche Reihe
existiert auch im Komplexen.
Lösungen
Aufgabe 1: ,
,
.
Aufgabe 2:
Aufgabe 3: ----
Aufgabe 4:
Aufgabe 5: Sei
dann ist
. Wegen
folgt
.
Aufgabe 6:
Aufgabe 7: Es ist
zu berechnen. Nach Merkformel
ist dieses gleich
und nicht, wie häufig
falsch angenommen wird:
oder
.
Aufgabe 8:
Es ist z.B.
Gleichsetzen von Real- und Imaginärteil auf der rechten und linken Seite
ergibt die ersten beiden Formeln. Für die letzten beiden Formeln
beachte man die in der Aufgabenstellung angegebene Reihenentwicklung
und die Identität:
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Harm Fesefeldt
2007-08-21