Physik III, WS 1992/93
Rechenübungen am 28. Oktober 1992

Rechnen mit komplexen Zahlen
Die formale Definition der imaginären Einheit $i$ mit Hilfe der Definition

\begin{displaymath}
i^{2} = -1 \; \; \; \; oder \; \; \; \; i= \sqrt{-1}
\end{displaymath} (1)

führt zu einer Erweiterung des Zahlenbegriffs, zu den komplexen Zahlen. Mit Hilfe dieser Definition können wir die Wurzeln der algebraischen Gleichung

\begin{displaymath}
x^{2} + x + 1 = 0
\end{displaymath}

angeben zu

\begin{displaymath}
x_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{i}{2} \sqrt{3} .
\end{displaymath}

Eine komplexe Zahl besitzt die allgemeine Form
\begin{displaymath}
z = x + i y .
\end{displaymath} (2)

$x$ nennt man den Realteil, $y$ den Imaginärteil von $z$ und schreibt
\begin{displaymath}
x = Re \{ z \}, \; \; \; \; \; y = Im \{ z \} .
\end{displaymath} (3)

Man veranschaulicht komplexe Zahlen durch Punkte in der Gaußschen Zahlenebene.

Der Betrag der komplexen Zahl ist

\begin{displaymath}
\vert z\vert = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ,
\end{displaymath} (4)

sodaß wir $z$ auch in der trigonometrischen Form
\begin{displaymath}
z = \vert z\vert (cos\phi + i sin\phi )
\end{displaymath} (5)

schreiben können. Den Winkel $\phi$ nennt man das Argument der komplexen Zahl $z$. Aus den Reihenentwicklungen für $e^{i \phi}$, $sin\phi$ und $cos\phi$ kann man die Eulersche Formel
\begin{displaymath}
e^{i \phi} = cos\phi + i sin\phi
\end{displaymath} (6)

herleiten. Daraus folgt die Exponentialform der komplexen Zahlen
\begin{displaymath}
z = \vert z\vert e^{i \phi} .
\end{displaymath} (7)

Aus der trigonometrischen Darstellung ersieht man, daß das Argument $\phi$ nicht eindeutig ist. Für eine gegebene komplexe Zahl besitzt das Argument unendlich viele Werte. Unter dem Hauptwert des Arguments versteht man den Wert zwischen $-\pi$ und $+\pi$.

Grundoperationen. Die Grundoperationen können aus den Grundoperationen der Real- und Imaginärteile hergeleitet werden.

$\displaystyle z_{1} \pm z_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle (x_{1} \pm x_{2}) + i (y_{1} \pm y_{2})$ (8)
$\displaystyle z_{1} z_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle (x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2}) + i (x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})$ (9)
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}
+ i \frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$ (10)

Bei der Multiplikation und Division wählt man besser die Exponentialform:
\begin{displaymath}
z_{1} z_{2} = \vert z_{1}\vert \vert z_{2}\vert e^{i(\phi_{...
...rt z_{1}\vert}{\vert z_{2}\vert} e^{i(\phi_{1} - \phi_{2})} .
\end{displaymath} (11)

Die Rechenregeln für komplexe Zahlen sind so definiert, daß alle vom Rechnen mit reellen Zahlen her bekannten Regeln und Relationen (Kommutativität, Distributivität, u.s.w.) erhalten bleiben. Lediglich die Ordnungsrelationen ( $>, <, \geq, \leq$) haben für komplexe Zahlen selbst keine Bedeutung, sondern nur für die Beträge der komplexen Zahlen. Die wichtigsten Ungleichungen seien im folgenden zusammengestellt.
\begin{displaymath}
\vert z_{1} + z_{2} \vert \leq \vert z_{1}\vert + \vert z_{...
...eq \left\vert \vert z_{1}\vert - \vert z_{2}\vert \right\vert
\end{displaymath} (12)

Die zu $z=x+iy$ konjugiert komplexe Zahl $z^{\ast}$ ist durch
\begin{displaymath}
z^{\ast} = x - iy
\end{displaymath} (13)

gegeben. Die folgenden einfachen Rechenregeln lassen sich leicht nachrechnen. Es kann absolut nicht schaden, wenn man sie auswendig kann.

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
z z^{\ast} &=& \vert z\vert^{2} \\
z + ...
...2} \right)^{\ast} &=&
z_{1}^{\ast}/z_{2}^{\ast}
\end{array} \end{displaymath}

Die komplexen trigonometrischen Funktionen.
Die Eulersche Formel kann allgemeiner formuliert werden. Hierzu definieren wir die Sinus-, Cosinus- und Exponentialfunktion durch die aus dem Reellen übertragenen Reihenentwicklungen:
\begin{displaymath}
e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, \; \; \; \; \...
...os z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
\end{displaymath} (14)

Aus diesen Reihenentwicklungen folgt die Eulersche Formel auch für komplexe Argumente,
\begin{displaymath}
e^{iz} = cos z +i sinz,
\end{displaymath} (15)

sowie der gesamte Formelapperat der komplexen Trigonometrie, z.B
$\displaystyle cos^{2} z + sin^{2} z$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1$ (16)
$\displaystyle cos 2z$ $\textstyle =$ $\displaystyle cos^{2} z - sin^{2} z$ (17)
$\displaystyle sin 2z$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2 cos z \; sin z$ (18)
$\displaystyle cos z_{1} + cos z_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2 cos \frac{z_{1} + z_{2}}{2} \;
cos \frac{z_{1} - z_{2}}{2} .$ (19)

Aufgabe 1:
Berechnen Sie die konjugiert komplexen Zahlen zu

\begin{displaymath}
z = \frac{1 - 4i}{2i}, \; \; \; z= 2 e^{i\omega t} e^{-ikx}, \; \; \;
z = \frac{1}{5i} - (4i)^{2} +\frac{i}{4}
\end{displaymath}

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie den Betrag der komplexen Größe

\begin{displaymath}
\psi(x,t) = 2 e^{ikx} e^{i\omega t} + 4 e^{ikx} e^{-i\omega t}
\end{displaymath}

Aufgabe 3:
Leiten Sie die Beziehungen

\begin{displaymath}
sin z = \frac{1}{2i} (e^{i z}-e^{-i z}), \; \; \; \; \;
cos z = \frac{1}{2} (e^{i z}+e^{-i z})
\end{displaymath}

aus der Eulerschen Formel ab.
Aufgabe 4:
Schreiben Sie die Funktionen $sin z$ und $cos z$ als Summe ihrer Real- und Imaginärteile.
Aufgabe 5:
Beweisen Sie, daß die Multiplikation einer Wellenfunktion mit $\pm i$ mit einer Phasenverschiebung um $\pm \pi/2$ gleichwertig ist.
Aufgabe 6:
Wir betrachten zwei Wellen mit übereinstimmenden Amplituden, Geschwindigkeiten und Frequenzen, deren Überlagerung

\begin{displaymath}
\psi(x,t) = A cos(kx + \omega t) + A cos(kx-\omega t + \pi)
\end{displaymath}

ergibt. Mit komplexer Schreibweise zeige man, daß dieses eine stehende Welle ist:

\begin{displaymath}
\psi(x,t) = - 2 A sin(kx) sin(\omega t)
\end{displaymath}

Aufgabe 7:
In der Wellenlehre ebenso wie in allen Teilgebieten der Physik hat man häufig harmonische Funktionen zu quadrieren. Wenn diese Funktionen komplex sind, muß mit äußerster Sorgfalt ein Fehler vermieden werden, der häufig gemacht wird. Man untersuche dieses im Detail anhand der Berechnung von $\psi^{2}(x,t)$ für $\psi(x,t) = A cos(kx-\omega t)$ in komplexer Darstellung. Wo liegt die Schwierigkeit ?
Aufgabe 8:
Mit Hilfe komplexer Schreibweise läßt sich der gesamte Formelapperat der reellen Trigonometrie herleiten. Dieses kann außerordentlich nützlich sein, wenn man mal keine Formelsammlung zur Hand hat (z.B Badeanstalt, Klausur). Hier eine kleine Auswahl:
$\displaystyle cos(x+y)$ $\textstyle =$ $\displaystyle cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)$ (20)
$\displaystyle sin(x+y)$ $\textstyle =$ $\displaystyle sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)$ (21)
$\displaystyle sin(2x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 2 sin(x) cos(x)$ (22)
$\displaystyle cos(2x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle cos^{2}(x) - sin^{2}(x)$ (23)
$\displaystyle 1 + \sum_{k=1}^{n} cos(k x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}
cos(nx/2)$ (24)
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} sin(kx)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}
sin(nx/2)$ (25)

Lösungen
Aufgabe 1: $(1+4i)/(-2i)$, $2e^{-i\omega t}e^{ikx}$, $-1/5i - (-4i)^{2} - i/4$.
Aufgabe 2: $2 \sqrt{5+4cos(2\omega t)}$
Aufgabe 3: ----
Aufgabe 4:

$\displaystyle sin(z)$ $\textstyle =$ $\displaystyle sin(x) \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}+ i \; cos(x)
\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ (26)
$\displaystyle cos(z)$ $\textstyle =$ $\displaystyle cos(x) \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}- i \; sin(x)
\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ (27)

Aufgabe 5: Sei $\psi=A e^{i\phi}$ dann ist $\pm i \psi = \pm i A e^{i\phi}$. Wegen $\pm i = e^{\pm i \pi/2}$ folgt $\pm i \psi = A e^{i(\phi\pm\pi/2)}$.
Aufgabe 6:
$\displaystyle \psi$ $\textstyle =$ $\displaystyle A e^{ikx} [e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} e^{i\pi} ]$ (28)
$\displaystyle e^{i\pi}$ $\textstyle =$ $\displaystyle cos\pi + i \; sin\pi = -1$ (29)
$\displaystyle \psi$ $\textstyle =$ $\displaystyle A e^{ikx} [ e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}] = A e^{ikx}
\; 2i \; sin\omega t$ (30)
$\displaystyle \psi$ $\textstyle =$ $\displaystyle A (2i \; cos(kx) sin(\omega t) - 2 \; sin(kx) sin(\omega t))$ (31)
$\displaystyle Re\{\psi\}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -2 A \; sin(kx) sin(\omega t)$ (32)

Aufgabe 7: Es ist $(Re\{\psi\})^{2}$ zu berechnen. Nach Merkformel ist dieses gleich $(\psi+\psi^{\ast})^{2}/4$ und nicht, wie häufig falsch angenommen wird: $(Re\{\psi\})^{2} \ne Re\{\psi \psi^{\ast}\}$ oder $(Re\{\psi\})^{2} \ne Re\{\psi^{2}\}$.
Aufgabe 8:
Es ist z.B.
$\displaystyle e^{i(x+y)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle e^{ix} e^{iy} = (cos(x)+i\;sin(x))(cos(y)+i\;sin(y))$ (33)
  $\textstyle =$ $\displaystyle cos(x) cos(y) +i(cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y))-
sin(x) sin(y)$ (34)

Gleichsetzen von Real- und Imaginärteil auf der rechten und linken Seite ergibt die ersten beiden Formeln. Für die letzten beiden Formeln beachte man die in der Aufgabenstellung angegebene Reihenentwicklung und die Identität:
\begin{displaymath}
z^{n} = \vert z\vert^{n} (cos\phi + i\; sin\phi)^{n} = \ver...
...^{in\phi} = \vert z\vert^{n}
(cos(n\phi) + i \; sin(n\phi)).
\end{displaymath} (35)





Harm Fesefeldt
2007-08-21