\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{Rechen"ubungen  am 28. Oktober 1992}
\normalsize  
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\bf \underline{Rechnen mit komplexen Zahlen} \rm \newline 
Die formale Definition der imagin"aren Einheit $i$ mit Hilfe der Definition
\begin{equation}
i^{2} = -1 \; \; \; \; oder \; \; \; \; i= \sqrt{-1} 
\end{equation}
f"uhrt zu einer Erweiterung des Zahlenbegriffs, zu den komplexen Zahlen.
Mit Hilfe dieser Definition k"onnen wir die Wurzeln der algebraischen 
Gleichung
\begin{displaymath}
x^{2} + x + 1 = 0
\end{displaymath}
angeben zu
\begin{displaymath}
x_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{i}{2} \sqrt{3} .
\end{displaymath}
Eine komplexe Zahl besitzt die allgemeine Form
\begin{equation}
z = x + i y .
\end{equation}
$x$ nennt man den Realteil, $y$ den Imagin"arteil von $z$ und schreibt
\begin{equation}
x = Re \{ z \}, \; \; \; \; \; y = Im \{ z \} .
\end{equation}
Man veranschaulicht komplexe Zahlen durch Punkte in der Gau"sschen 
Zahlenebene.

Der Betrag der komplexen Zahl ist 
\begin{equation}
|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ,
\end{equation}
soda"s wir $z$ auch in der trigonometrischen Form
\begin{equation}
z = |z| (cos\phi + i sin\phi )
\end{equation}
schreiben k"onnen. Den Winkel $\phi$ nennt man das Argument der komplexen
Zahl $z$. Aus den Reihenentwicklungen f"ur $e^{i \phi}$, $sin\phi$ und
$cos\phi$ kann man die Eulersche Formel
\begin{equation}
e^{i \phi} = cos\phi + i sin\phi 
\end{equation}
herleiten. Daraus folgt die Exponentialform der komplexen Zahlen
\begin{equation}
z = |z| e^{i \phi} .
\end{equation}
Aus der trigonometrischen Darstellung ersieht man, da"s das Argument $\phi$ 
nicht eindeutig ist. F"ur eine gegebene komplexe Zahl besitzt  das 
Argument unendlich viele Werte. Unter dem Hauptwert des Arguments versteht
man den Wert zwischen $-\pi$ und $+\pi$. 

\bf Grundoperationen. \rm
Die Grundoperationen k"onnen aus den Grundoperationen der Real- und 
Imagin"arteile hergeleitet werden.
\begin{eqnarray}
z_{1} \pm z_{2} &=& (x_{1} \pm x_{2}) + i (y_{1} \pm y_{2}) \\
z_{1} z_{2}   &=& (x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2}) + i (x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}) \\
\frac{z_{1}}{z_{2}} &=& \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} 
+ i \frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}
\end{eqnarray}
Bei der Multiplikation und Division w"ahlt man besser die Exponentialform:
\begin{equation}
z_{1} z_{2} = |z_{1}| |z_{2}| e^{i(\phi_{1} + \phi_{2})}, \; \; \; \; \;
\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} e^{i(\phi_{1} - \phi_{2})} .
\end{equation}
Die Rechenregeln f"ur komplexe Zahlen sind so definiert, da"s alle 
vom Rechnen mit reellen Zahlen her bekannten Regeln und Relationen 
(Kommutativit"at, Distributivit"at, u.s.w.) erhalten bleiben. Lediglich die
Ordnungsrelationen ($>, <, \geq, \leq$) haben f"ur komplexe Zahlen selbst keine
Bedeutung, sondern nur f"ur die Betr"age der komplexen Zahlen. Die 
wichtigsten Ungleichungen seien im folgenden zusammengestellt.
\begin{equation}
| z_{1} + z_{2} | \leq |z_{1}| + |z_{2}|, \; \; \; \; \;
| z_{1} - z_{2} | \geq \left| |z_{1}| - |z_{2}| \right|
\end{equation}
Die zu $z=x+iy$ konjugiert komplexe Zahl $z^{\ast}$ ist durch 
\begin{equation}
z^{\ast} = x - iy
\end{equation}
gegeben. Die folgenden einfachen Rechenregeln lassen sich leicht 
nachrechnen. Es kann absolut nicht schaden, wenn man sie auswendig kann. 
\begin{displaymath} \begin{array}{rcl}
z z^{\ast} &=& |z|^{2} \\
z + z^{\ast} &=& 2 Re \{ z \} \\
z - z^{\ast} &=& i 2 Im \{ z \} \\
(z_{1} \pm z_{2})^{\ast} &=& z_{1}^{\ast} \pm z_{2}^{\ast} \\
(z_{1} z_{2})^{\ast} &=& z_{1}^{\ast} z_{2}^{\ast} \\
\left( z_{1}/z_{2} \right)^{\ast} &=& 
z_{1}^{\ast}/z_{2}^{\ast}
\end{array} \end{displaymath} 
\bf Die komplexen trigonometrischen Funktionen. \rm \newline
Die Eulersche Formel kann allgemeiner formuliert werden. Hierzu definieren
wir die Sinus-, Cosinus- und Exponentialfunktion durch die aus dem 
Reellen "ubertragenen Reihenentwicklungen:
\begin{equation}
e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, \; \; \; \; \;
sin z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} z^{2n}}{(2n)!}, \; \; \; \; 
\; cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} z^{2n+1}}{(2n+1)!}.
\end{equation}
Aus diesen Reihenentwicklungen folgt die Eulersche Formel auch f"ur
komplexe Argumente,
\begin{equation}
e^{iz} = cos z +i sinz,
\end{equation}
sowie der gesamte Formelapperat der komplexen Trigonometrie, z.B
\begin{eqnarray}
cos^{2} z + sin^{2} z &=& 1 \\
cos 2z &=&  cos^{2} z - sin^{2} z \\
sin 2z &=& 2 cos z \; sin z \\
cos z_{1} + cos z_{2} &=& 2 cos \frac{z_{1} + z_{2}}{2} \; 
                          cos \frac{z_{1} - z_{2}}{2} .
\end{eqnarray}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Berechnen Sie die konjugiert komplexen Zahlen zu
\begin{displaymath}
z = \frac{1 - 4i}{2i}, \; \; \; z= 2 e^{i\omega t} e^{-ikx}, \; \; \;
z = \frac{1}{5i} - (4i)^{2} +\frac{i}{4}
\end{displaymath}
\vskip 4mm
\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Bestimmen Sie den Betrag der komplexen Gr"o"se
\begin{displaymath}
\psi(x,t) = 2 e^{ikx} e^{i\omega t} + 4 e^{ikx} e^{-i\omega t} 
\end{displaymath}
\vskip 4mm
\bf Aufgabe 3: \rm  \newline
Leiten Sie die Beziehungen 
\begin{displaymath}
sin z = \frac{1}{2i} (e^{i z}-e^{-i z}), \; \; \; \; \;
cos z = \frac{1}{2}  (e^{i z}+e^{-i z})
\end{displaymath}
aus der Eulerschen Formel ab. \newline
\vskip 4mm
\bf Aufgabe 4: \rm \newline
Schreiben Sie die Funktionen $sin z$ und $cos z$ als Summe ihrer Real-
und Imagin"arteile. \newline 
\vskip 4mm
\bf Aufgabe 5: \rm \newline
Beweisen Sie, da"s die Multiplikation einer Wellenfunktion mit $\pm i$
mit einer Phasenverschiebung um $\pm \pi/2$ gleichwertig ist. \newline
\vskip 4mm
\bf Aufgabe 6: \rm \newline
Wir betrachten zwei Wellen mit "ubereinstimmenden Amplituden,
Geschwindigkeiten und Frequenzen, deren "Uberlagerung
\begin{displaymath}
\psi(x,t) = A cos(kx + \omega t) + A cos(kx-\omega t + \pi) 
\end{displaymath}
ergibt. Mit komplexer Schreibweise zeige man, da"s dieses
eine stehende Welle ist:
\begin{displaymath}
\psi(x,t) = - 2 A sin(kx) sin(\omega t)
\end{displaymath}
\vskip 4mm
\bf Aufgabe 7: \rm \newline
In der Wellenlehre ebenso wie in allen Teilgebieten der Physik hat man h"aufig
harmonische Funktionen zu quadrieren. Wenn diese Funktionen komplex
sind, mu"s mit "au"serster Sorgfalt ein Fehler vermieden werden,
der h"aufig gemacht wird. Man untersuche dieses im Detail anhand der 
Berechnung von $\psi^{2}(x,t)$ f"ur $\psi(x,t) = A cos(kx-\omega t)$
in komplexer Darstellung. Wo liegt die Schwierigkeit ?  \newline  
\vskip 4mm
\bf Aufgabe 8: \rm \newline
Mit Hilfe komplexer Schreibweise l"a"st sich der gesamte Formelapperat
der reellen Trigonometrie herleiten. Dieses kann au"serordentlich n"utzlich 
sein, wenn man mal keine Formelsammlung zur Hand hat (z.B Badeanstalt, 
Klausur). Hier eine kleine Auswahl: 
\begin{eqnarray}
cos(x+y) &=& cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) \\
sin(x+y) &=& sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) \\
sin(2x)  &=& 2 sin(x) cos(x) \\
cos(2x)  &=& cos^{2}(x) - sin^{2}(x) \\
1 + \sum_{k=1}^{n} cos(k x) &=& \frac{sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}
                                   cos(nx/2) \\
\sum_{k=1}^{n} sin(kx) &=& \frac{sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}
                                   sin(nx/2)
\end{eqnarray}
\begin{itemize}
\item Hinweis: Die endliche Reihe 
$\sum_{k=0}^{n} z^{k} = (1-z^{n+1})/(1-z)$ existiert auch im Komplexen.
\end{itemize}        
\newpage
\bf \underline{L"osungen} \rm \newline
\bf Aufgabe 1: \rm $(1+4i)/(-2i)$, $2e^{-i\omega t}e^{ikx}$, 
                   $-1/5i - (-4i)^{2} - i/4$. \newline
\bf Aufgabe 2: \rm $2 \sqrt{5+4cos(2\omega t)}$ \newline
\bf Aufgabe 3: \rm ------- \newline
\bf Aufgabe 4: \rm \newline
\begin{eqnarray}
sin(z) &=& sin(x) \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}+ i \; cos(x)
                \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \\
cos(z) &=& cos(x) \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}- i \; sin(x)
                \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}
\end{eqnarray}
\bf Aufgabe 5: \rm Sei $\psi=A e^{i\phi}$ dann ist 
$\pm i \psi = \pm i A e^{i\phi}$. Wegen $\pm i = e^{\pm i \pi/2}$ folgt
$\pm i \psi = A e^{i(\phi\pm\pi/2)}$. \newline
\bf Aufgabe 6: \rm 
\begin{eqnarray}
\psi &=& A e^{ikx} [e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} e^{i\pi} ] \\
e^{i\pi} &=& cos\pi + i \; sin\pi = -1 \\
\psi &=& A e^{ikx} [ e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}] = A e^{ikx} 
\; 2i \; sin\omega t \\
\psi &=& A (2i \; cos(kx) sin(\omega t) - 2 \; sin(kx) sin(\omega t)) \\
Re\{\psi\} &=& -2 A \; sin(kx) sin(\omega t)
\end{eqnarray}
\bf Aufgabe 7: \rm Es ist $(Re\{\psi\})^{2}$ zu berechnen. Nach Merkformel
ist dieses gleich $(\psi+\psi^{\ast})^{2}/4$ und nicht, wie h"aufig
falsch angenommen wird: $(Re\{\psi\})^{2} \ne Re\{\psi \psi^{\ast}\}$ oder
$(Re\{\psi\})^{2} \ne Re\{\psi^{2}\}$. \newline
\bf Aufgabe 8: \rm \newline
Es ist z.B. 
\begin{eqnarray}
e^{i(x+y)} &=& e^{ix} e^{iy} = (cos(x)+i\;sin(x))(cos(y)+i\;sin(y)) \\
           &=& cos(x) cos(y) +i(cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y))-
               sin(x) sin(y) 
\end{eqnarray}
Gleichsetzen von Real- und Imagin"arteil auf der rechten und linken Seite
ergibt die ersten beiden Formeln. F"ur die letzten beiden Formeln 
beachte man die in der Aufgabenstellung angegebene Reihenentwicklung
und die Identit"at:
\begin{equation}
z^{n} = |z|^{n} (cos\phi + i\; sin\phi)^{n} = |z|^{n} (e^{i\phi})^{n}=
=|z|^{n} e^{in\phi} = |z|^{n}
(cos(n\phi) + i \; sin(n\phi)).
\end{equation}
\end{document}
