Physik III, WS 1992/93

Übungen in der Übungsstunde am 21. Oktober 1992

Aufgabe 1:
Gegeben sei eine Welle der Form $y=y_{0} sin(kx-\omega t)$ mit den Parametern $y_{0}=2 \; cm, \; k=0,1 \; cm^{-1}$ und $\omega = 5 \; s^{-1}$. Berechnen Sie die a) Wellenlänge, b) Frequenz, c) Schwingungsdauer, d) Phasengeschwindigkeit, e) Amplitude und f) Ausbreitungsrichtung. Wie sieht die Funktion aus, wenn sich die identische Welle in entgegengesetzter Richtung fortplanzt ?
Aufgabe 2:
Zeigen Sie, daß $f(x,t) = A_{0} e^{\pm ik(x-ct)}$ Lösungen der Wellengleichung sind.

Aufgabe 3:
Gegeben ist das Wellenpaket zur Zeit $t=0$:

$$f(x,0) = \frac{3}{2 x^{2} + 1}.$$

a) Wie lautet die Gleichung der Welle mit diesem Profil, die sich mit der Geschwindigkeit $c = 2 \; m \cdot s^{-1}$ in positiver $x$-Richtung bewegt ?
b) Zeigen Sie, daß diese Lösung die Wellengleichung erfüllt.
Aufgabe 4:
Eine harmonische, transversal polarisierte Welle laufe auf einem unendlich langen Seil in positive $x$-Richtung.
a) Zeigen Sie, daß ein Seilstückchen an der Stelle $x_{0}$ eine harmonische Schwingung ausführt.
b) Wann erreicht ein solches Seilstückchen seine maximale Geschwindigkeit ?


Lösung zu Aufgabe 1:
a) $\lambda = 2\pi/k = 62,8 \; m$, b) $\nu = \omega/2\pi = 0,8 \; s^{-1}$, c) $T = 1/\nu = 1,26 \; s$,
d) $v_{ph} = \nu \lambda = 50 \; m \cdot s^{-1}$, e) $y_{0}=2 \; cm$, f) $+x$-Richtung.
Entgegengesetze Richtung: $y=y_{0} sin(kx+\omega t)$.
Lösung zu Aufgabe 2:
Man beachte hierbei die Definition der imaginären Einheit $\sqrt{-1}=i$ und $i^{2} = -1$. Keine weitere Anleitung nötig !
Lösung zu Aufgabe 3:
a)

$$f(x,t) = \frac{3}{2(x-ct)^{2} +1}, \; \; \; \; mit \; \; c=2 \; m\cdot s^{-1}$$

b) Keine Anleitung nötig !
Lösung zu Aufgabe 4:
a) Bei $x=x_{0}=konstant$ können wir eine harmonische Welle durch $y(x_{0},t) = A_{0} sin[k(x_{0}-ct)]$ beschreiben. Diese Funktion löst die DGL der harmonischen Schwingung: $m d^{2}y/dt^{2} = - D y$. Zweimalige Differentation und Koeffizientenvergleich liefert $\omega = \sqrt{D/m}$, wobei $m$ die Masse des Seilstückchens und $D$ irgendeine Konstante ist, die die rücktreibende Kraft beschreibt.
b) Geschwindigkeit des Seilstückchens $dy/dt = -kc A_{0} cos[k(x_{0}-ct)]$. Die Maxima dieses Ausdrucks liegen bei $\vert cos[k(x_{0}-ct)]\vert=1$, d.h. $kx_{0}-\omega t = n \pi, \; n=0,1,2,...$, also an den Stellen, wo die Schwingung $y_(x_{0},t)$ ihren Nulldurchgang hat (analog Pendel).