Physik III, WS 1992/93

Lösungen zur Übung Nr. 9

Besprechung: 20. Januar 1993
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Nach Vorlsesung ist zunächst

$$\frac{E_{r}}{E_{e}} = \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \; \;... ...}}{I_{e}} = \left( \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \right)^{2}$$ (1)

Für die durchgelassene Intensität wurde hergeleitet:

$$1 - R = D = \frac{I_{d}}{I_{e}} = \frac{c_{2} \epsilon_{2}} ... ... = \frac{n_{2}}{n_{1}} \left( \frac{E_{d}}{E_{e}} \right)^{2}.$$ (2)

Daraus folgt:

$$\left( \frac{E_{d}}{E_{e}} \right)^{2} = \frac{n_{1}}{n_{2}}... ...} \right)^{2} \right) = \frac{4 n_{1}^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2} }$$ (3)

und daher

$$\frac{E_{d}}{E_{e}} = \frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}$$

Einsetzen der Zahlenwerte ergibt

$$\frac{E_{r}}{E_{e}} = \underline{-0.143} \; \; \; \; \; \; \... ...\; \; \; \; \; \; \; \frac{I_{d}}{I_{e}} = \underline{0.980}$$

Aufgabe 2: (5 Punkte)
Für die elektromagnetische Welle benutzen wir den Ansatz

$$\vec{E} = \vec{E_{0}} e^{i(\omega t - \tilde{k} z)}$$

wobei die Wellenzahl $\tilde{k}$ komplex ist, da der Brechungsindex $\tilde{n}=n- i \kappa$ komplex ist. Da

$$\tilde{k}=\frac{\omega}{c} \tilde{n} = \frac{\omega}{c} (n-i\kappa)$$

können wir die elektrische Feldstärke schreiben als

$$\vec{E} = \vec{E_{0}} e^{i(\omega t - n\omega z/c + i \; \ka... ...ega z/c)} = \vec{E_{0}} e^{-z/\delta} e^{i\omega (t - (n/c) z}$$

wobei wir zur Abkürzung $\delta = c/(\omega \kappa )$ gesetzt haben.
a) Das Magnetfeld $\vec{B}$ ist nach Maxwell in der folgenden Form an die elektrische Feldstärke gekoppelt:

$$\vec{B} = \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E} = \frac{\tilde{n}}{c} \vec{s} \times \vec{E}$$

wobei $\vec{s}$ ein Einheitsvektor in Richtung der Ausbreitung ist. Mit

$$\tilde{n} = \vert\tilde{n}\vert e^{i\phi_{B}}, \; \; \; \; \... ...; \; \; \; \; \; \; \; \; \; tan (\phi_{B}) = \frac{\kappa}{n}$$

folgt

$$\vec{B} = \frac{\vert\tilde{n}\vert}{c} \vec{s} \times \vec{E} e^{-i \phi_{B}}$$

Der Phasenwinkel ist also $tan(\phi_{B}) = 0,1$ oder $\underline{\phi_{B} = 5,7^{o}}$.
b) Die Intensität ist proportional zu $\vec{E}^{2}$. Daher

$$I \sim E_{0}^{2} e^{-2 z/\delta}$$

Die Intensität ist also bei der Strecke $R_{e}=\delta /2$ auf den $1/e$- ten Teil abgesunken. Zahlenwerte:

$$R_{e} = \frac{\delta}{2} = \frac{c}{2 \kappa \omega} = \frac{\lambda_{vak}}{4 \pi \kappa} = \underline{313 \; nm}$$

Dieses Ergebnis zeigt, daß schon bei ziemlich kleinen Absorptionskoeffizienten die Eindringtiefe der Lichtwelle in der Größenordnung oder kleiner als eine Wellenlänge ist. Daher verliert nicht nur der Brechungsindex seine Bedeutung, sondern insbesondere auch die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Für Wellen mit einer Ausdehnung kleiner als eine Wellenlänge kann eine Phasengeschwindigkeit nicht mehr definiert werden.
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Die Dispersionsformel $n(\lambda )$ ist als Funktion der Wellenlänge $\lambda$ in dem Material angegeben. Wir verwenden daher die in den Rechenübungen vom 16.12.92 angegebene Formel

$$v_{gr} = \frac{c}{n} \left( 1 + \frac{\lambda}{n} \frac{dn}{d\lambda} \right)$$ (4)

Wegen

$$\frac{dn}{d\lambda} = \frac{a-b\lambda^{2}}{a+b\lambda^{2}}$$

folgt

$$v_{gr} = \frac{c(a+b\lambda^{2})}{\lambda} \left( 1 + \frac{a-b\lambda^{2}}{a+b\lambda^{2}} \right) = \frac{2ac}{\lambda}$$ (5)

Die Gruppengeschwindigkeit ist also umgekehrt proportional zu $\lambda$. Damit $v_{gr} \leq c$, muß $\lambda \geq 2a$ sein. Die angegebene Formel für die Dispersion kann also nur für einen beschränkten Wellenlängenbereich gelten.
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Der Brechungsindex ist als Funktion der Frequenz gegeben. Für die Phasengeschwindigkeit folgt:

$$v_{ph} = \frac{c}{n} = \frac{c(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})} {... ...ega^{2}) + B } = \frac{c}{A + B/(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}) }$$

Zur Berechnung der Gruppengeschwindigkeit verwenden wir die in den Rechenübungen vom 16.12.92 angegbene Formel

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{n}{c} + \frac{\omega}{c} \frac{dn}... ...c{n}{c} \left( 1 + \frac{\omega}{n} \frac{dn}{d\omega} \right)$$ (6)

Auswertung der Formel ergibt

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{1}{c} \left( A + B \frac{\omega_{0}^{2} + \omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}} \right).$$ (7)

und daher

$$v_{gr} = \frac{c}{A + B (\omega_{0}^{2}+\omega^{2})/ (\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}}$$

Zur Anfertigung der Skizze bemerken wir zunächst, daß für $\omega \ll \omega_{0}$ und $\omega \gg \omega_{0}$ die folgenden Grenzwerte angenommen werden:

$$v_{ph} = v_{gr} = \frac{c}{A+B/\omega_{0}^{2}} \; \; \; \; \; f''ur \; \; \; \; \; \omega \ll \omega_{0}$$

$$v_{ph} = v_{gr} = \frac{c}{A} \; \; \; \; \; \; \; \; f''ur \; \; \; \; \; \; \; \; \omega \gg \omega_{0}$$

Im übrigen ist die Phasengeschwindigkeit durch $c/n$ gegeben. Für $\omega = \omega_{0}$ ist $v_{ph}=v_{gr} = 0$. Die Phasengeschwindigkeit wird sogar kleiner Null bei $n < 0$ und springt von $-\infty$ nach $+\infty$ bei $n=0$. Die Gruppengeschwindigkeit dagegen ist immer größer Null. Hieraus ergibt sich das in Bild a) und b) angedeutete Verhalten für $n$, $v_{ph}$ und $v_{gr}$. Es ist klar, daß in der Resonanz selbst der Brechungsindex durch die angegebene Formel nicht beschrieben wird, da der Dämpfungsparameter vernachlässigt wurde. Insbesondere kann $n$ nicht kleiner Null werden. Aus den Skizzen a) und b) kann aber durch Extrapolation sofort auf das wirkliche Verhalten geschlossen werden. Diese Extrapolationen sind in den Skizzen c) und d) gezeigt. Im übrigen muß darauf hingewiesen werden, daß die hier benutzte Formel für den Brechungsindex eine Näherung für große Werte von $\vert\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\vert$ ist:

$$n = \sqrt{A' + \frac{B'}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}} \approx A + \frac{B}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.$$

In der genaueren Näherungsformel kann $n$ aber nicht negativ, sondern höchstens imaginär werden. Darüber hinaus weisen wir nochmals darauf hin, daß in der Resonanz die Eindringtiefe in das Medium in der Größenordnung oder kleiner als eine Wellenlänge ist (siehe Aufgabe 2), sodaß die Größen Brechungsindex und Geschwindigkeit keine Bedeutung mehr haben.