Physik III, WS 1992/93

Lösungen zur Übung Nr. 8

Besprechung: 13. Januar 1993
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Die Brechkraft $D$ einer Linse in einem umgebendem Material mit Brechungsindex $n_{0}$ ist:

$$D = \frac{n-n_{0}}{n_{0}} \left( \frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right)$$

Für Luft also:

$$D_{Luft} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \... ...ac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right) = \frac{D_{Luft}}{n-1}$$

In Wasser gilt also:

$$D_{Wasser} = \frac{n-n_{w}}{n_{w}} \left( \frac{1}{R_{a}} ... ...}} \right) = \frac{(n-n_{w})}{n_{w}} \frac{D_{Luft}}{(n-1)}$$

Zahlenwerte:

$$\underline{D_{Wasser} = 1 \; dpt}$$

Aufgabe 2: (5 Punkte)
Ein Strahlenbündel konvergiert in einem Punkt $P$. Das heißt mit anderen Worten, daß der Punkt $P$ das Bild einer nicht nicht näher bezeichneten Linse oder eines optischen Systems ist. Dieses Zwischenbild wird jetzt als Gegenstand mit der Zerstreuungslinse weiter abgebildet. Schiebt man die Zerstreuungslinse vor dem Punkt $P$ in den Strahlengang, ist die Gegenstandsweite $g=-20 \; cm$ negativ, stellt man die Zertreuungslinse hinter dem Punkt $P$ in den Strahlengang, so ist die Gegenstandsweite $g=+20 \; cm$ positiv. Daher

$$a) \; Zerstreuungslinse \; vor \; P: \; \; \; \; \; \frac{1}{b} = -\frac{1}{\vert f\vert} + \frac{1}{\vert g\vert} = \frac{1}{60} \; cm^{-1}$$

$$b) \; Zerstreuungslinse \; hinter \; P: \; \; \; \; \; \frac{1}{b} = -\frac{1}{\vert f\vert} - \frac{1}{\vert g\vert} = - \frac{1}{12} \; cm^{-1}$$

Unser Ergebnis ist also:

$$a) \; Zerstreuungslinse \; vor \; P : \; \; \; \; \; \underline{b = 60 \; cm}$$

$$b) \; Zerstreuungslinse \; nach \; P : \; \; \; \; \; \underline{b = -12 \; cm}$$

Im Fall a) befindet sich Gegenstand und Bild hinter der Linse, im Fall b) befindet sich Gegenstand und Bild vor der Linse.

Aufgabe 3: (5 Punkte)
In der Vorlesung wurden Vergrößerungen einer Lupe bestimmt, wenn das beobachtende Auge sich einmal im Brennpunkt der Lupe und zum anderen direkt vor der Lupe befindet. In dieser Aufgabe diskutieren wir noch einmal die Vergrößerung, wenn der Abstand des Auges von der Lupe eine beliebige Entfernung $a$ beträgt. Die Vergrößerung der Lupe war in der Vorlesung definiert als

$$v = \frac{u'}{u} = \frac{Winkel \; \; zum \; \; Gegenstand ... ...strument, \; \; aber \; \; in \; \; deulicher \; \; Sehweite}$$

Die folgende Skizze veranschaulicht noch einmal diese Definition.

Wir bezeichnen den Abstand des Auges von der Lupe mit $a=5 \; cm$, die deutliche Sehweite mit $s=25 \; cm$. Mit den Bezeichnungen der obigen Abbildung ist dann:

$$u = \frac{G}{s} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; u'=\frac{B}{\vert b\vert+a}$$

und daher (mit $B/G = \vert b\vert/g$):

$$v = \frac{B s}{G(\vert b\vert+a)} = \frac{\vert b\vert s}{g... ...; \; \frac{1}{g} = \frac{v(\vert b\vert+a)}{\vert b\vert s}$$

Die letzte Formel setzen wir in die Abbildungsgleichung ein:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{g} - \frac{1}{\vert b\vert} = \frac{v(\vert b\vert+a)-s}{\vert b\vert s}$$

Zahlenwerte:

$$\frac{1}{f} = 0,15 \; cm^{-1} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{f = 6,67 \; cm}$$

Anmerkung zur Definition der Vergrößerung
Die in der Vorlesung angegebene Definition der Vergrößerung ist die allgemein übliche. Dennoch wird in einigen Büchern (z.B. Bergmann-Schäfer) die Vergrößerung anders definiert, und zwar als das Verhältinis der Sehwinkel mit Lupe und ohne Lupe, aber jeweils bei der gleichen Sehweite $L$, die nicht unbedingt mit der deutlichen Sehweite übereinzustimmen braucht. In diesem Fall ist die Vergrößerung der Lupe identisch mit dem Abbildungsmaßstab $B/G$. Daher auch

$$v=\frac{B}{G} = \frac{\vert b\vert}{g} = \vert b\vert(\frac{1}{f}+\frac{1}{\vert b\vert}) = \frac{\vert b\vert}{f} + 1.$$

Wer diese Definition der Vergrößerung benutzt hat, erhält für die Brennweite

$$f= \frac{\vert b\vert}{v-1} = \underline{10 \; cm}$$

Wir raten allerdings dringend davon ab, diese Definition in einer möglichen Klausuraufgabe oder in Prüfungen zu verwenden.
Aufgabe 4: (6 Punkte)
In der Vorlesung wurde das Fernrohr für den Fall einer unendlichen Gegenstandsweite diskutiert. In diese Aufgabe soll das Fernrohr bei endlicher Gegenstandsweite diskutiert werden. a) Zunächst berechnen wir die Brechkraft des Objektivs. Wegen

$$D_{1} = (n-1) \left( \frac{1}{\vert R_{a}\vert} - \frac{1}{\vert R_{b}\vert} \right)$$

ist $D_{1} = 1/20 \; cm^{-1} = 1/0,2 \; m^{-1}= 5 \; dpt$. Die Brennweiten sind $f_{1}=20 \; cm$, $f_{2}=-5 \; cm$. Mit der in den Rechenübungen am 9.12.92 abgeleiteten Newtonsche Form der Abbildungsgleichung

$$\left[ g- \frac{f_{1}(f_{1}+l)}{l} \right] \left[ b -\frac... ...2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1} f_{2}}{l} \right)^{2}$$ (1)

folgt nach Multiplikation der Gleichung mit $l^{2}$ und Ausmultiplizieren der Klammern:

$$l = \frac{(b-f_{2})f_{1}^{2} + (g-f_{1})f_{2}^{2}} {(g-f_{1})(b-f_{2})}$$

Die Gegenstandsweite ist $g=50 \; m = 50 \cdot 10^{2} \; cm$. Normalerweise sind Fernrohre so konstruiert, daß sich das Auge in der Brennweite des Okulars befindet (siehe Vorlesung). Da das Bild in der deutlichen Sehweite von 25 $cm$ sein soll, muß $b=-25 \; cm + \vert f_{2}\vert= -20 \; cm$ sein. Man könnte das Auge aber auch direkt vor das Okular bringen. In diesem Fall kann $b=-25 \; cm$ gesetzt werden. Wir rechnen im folgenden beide Fälle durch und unterscheiden die Ergebnisse mit dem Index $f$ (Auge in Brennweite des Okulars) und Index 0 (Auge direkt vor dem Okular). Einsetzen der Zahlenwerte führt auf

$$l_{f} = \frac{(-20+5) 20^{2} + (50\cdot 10^{2} -20) 25} {(... ... \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; l_{f}=-1,59 \;cm$$

Daher ist der Abstand von Objektiv und Okular: $d_{f}=f_{1}+f_{2}+l_{f} = (20 - 5 - 1,59) \; cm$ oder $\underline{d_{f}=13.41 \; cm}$
Entsprechend gilt für den Fall des Auges direkt vor dem Okular: $l_{0}=-1,17 \; cm$, $\underline{d_{0}=13,83 \; cm}$. Der Unterschied ist also klein.
b) Zur Berechnung des Abbildungsmaßstabs benutzen wir eine der in den Rechenübungen angegebenen Formeln:

$$\frac{B}{G} = \frac{l(b-f_{2})-f_{2}^{2}}{f_{1}f_{2}} = \frac{f_{1} f_{2}}{l(g-f_{1})-f_{1}^{2}}$$

Zur Überprüfung der Rechnung ist es empfehlenswert, den Abbildungsmaßstab mit beiden Formeln zu berechnen. Einsetzen der Zahlenwerte:

$$\underline{\frac{B_{f}}{G} = 0.012} \; \; \; \; \; \; \; \;... ...\; \; \; \; \; \; \; \; \underline{\frac{B_{0}}{G} = 0.016}$$

Das Bild ist also etwas weniger als $1 \; mm$ groß, also gerade noch in der deutlichen Sehweite sichtbar. Die Vergrößerung ist dagegen (siehe Vorlesung):

$$v = \frac{\alpha}{\alpha_{0}} \approx \frac{tg \alpha}{tg \... ...} = \frac{B}{G} \frac{(g+d)}{b} = 200,5 (\frac{B}{G}) \; m$$

Dieses ergibt Vergrößerungen zwischen 2,4 und 3,2, je nachdem wo sich das Auge befindet. Der Hersteller gibt natürlich die Vergrößerung bei unendlicher Gegenstandsweite an. Diese beträgt nach Vorlesung $v = \vert f_{1}\vert/\vert f_{2}\vert = 4$.