Physik III, WS 1992/93

Lösungen zur Übung Nr. 7

Besprechung: 16. Dezember 1992
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Die folgende Skizze zeigt den Strahlenverlauf und die Bezeichnung der Winkel.

Man entnimmt folgende Zusammenhänge

$$\gamma = \alpha - \beta \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; l = \... ...eta} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta x = l \; sin\gamma$$

Außerdem gilt das Brechungsgesetz $sin\alpha = n sin\beta$, daher auch

$$sin\beta = \frac{1}{n} sin\alpha \; \; \; \; \; \; \; \; \;... ...qrt{1-sin^{2}\beta } = \frac{1}{n} \sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}$$

Hieraus folgt der Reihe nach für die Abweichung $\Delta x$:

$$\Delta x = d \; \frac{sin(\alpha-\beta )}{cos\beta } = d \; \frac{sin\alpha ... ... (sin\alpha - \frac{cos\alpha \; sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}} \right)$$

$$\Delta x = d \; sin\alpha \left( 1 - \frac{cos\alpha}{\sqrt{n^{2} - sin^{2}\alpha}} \right)$$

a) Die Abweichung $\Delta x$ ist Null für $\alpha = 0$, d.h. für senkrechten Einfall auf die Vorderfläche. Der Winkel $\alpha$ geht von $-45^{o}$ bis $+45^{0}$, wobei das Vorzeichen wechselt, sobald der Lichtstrahl an der Kante des Würfels auftritt. Die maximale Auslenkung erhält man also für $\alpha = \pm 45^{0}$.
Zahlenwerte:

$$\underline{\vert\Delta x_{max}\vert = 0,33 \; cm}$$

b) Zur Diskussion der Strahlauslenkung bei Rotation des Würfels mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ setzen wir $\alpha = \omega t$. Wie oben bereits diskutiert, wechselt die Ablenkung $\Delta x$ bei $\alpha = \pm 45^{0}$ das Vorzeichen, daher schreiben wir

$$\Delta x = - d \; sin(\omega t) \left( 1 - \frac{cos(\omega t)} {\sqrt{n^{2}... ...{2}(\omega t)}} \right) \; \; \; \; \; f''ur \; \; \; \; \; -45^{o}< \alpha < 0$$

$$\Delta x = + d \; sin(\omega t) \left( 1 - \frac{cos(\omega t)} {\sqrt{n^{2}... ...2}(\omega t)}} \right) \; \; \; \; \; f''ur \; \; \; \; \; 0 < \alpha < +45^{0}$$

Die folgende Grafik zeigt diese Funktion.

Aufgabe 2: (5 Punkte)
a) In der folgenden Abbildung sind der Einfallswinkel $\theta$, der Brechungswinkel $\theta_{f}$ an der Stirnfläche der Faser und der Winkel $\theta_{c}$ der Totalreflektion an der Begrenzungsfläche von Faser und Mantel skizziert.

Der kritische Winkel der Totalreflektion ist $sin\theta_{c} = n_{c}/n_{f}$. Für alle Winkel größer als dieser Winkel erhält man zusätzlich einen gebrochenen Strahl im Punkt $B$. Aus der Geometrie ersieht man, daß

$$\theta_{f} = 90^{o}-\theta_{c} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \... ...; \; \; sin\theta_{c} = cos\theta_{f} = \frac{n_{c}}{n_{f}}$$

und daher

$$sin\theta_{f} = \sqrt{1-cos^{2}\theta_{f}} = \sqrt{1-\left( \frac{n_{c}} {n_{f}} \right)^{2} }.$$

Einsetzen in das Brechungsgesetz am Punkt $A$ führt auf

$$sin\theta_{max} = n_{f} sin\theta_{f} = n_{f} \sqrt{1 - \le... ...ac{n_{c}}{n_{f}} \right)^{2}} = \sqrt{n_{f}^{2} - n_{c}^{2}}.$$

Zahlenwerte:

$$sin\theta_{max} = 0,67 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{\theta_{max}=42^{o}}.$$

b) In der folgenden Skizze zeigen wir das Kabel mit einem Krümmungsradius $R$. Wir definieren den Radius bis zur Mitte des Kabels. Falls jemand den Radius als Abstand zur inneren Mantelfläche ($R'$, siehe obige Abbildung) oder zur äußeren Mantelfläche ($R''$) definiert hat, so ändern sich die Ergebnisse geringfügig.

Aus der Geometrie ersieht man, daß der Winkel am Punkte $B$ nicht kleiner werden darf als

$$sin\theta_{c} = \frac{R-r_{f}}{R+r_{f}} = \frac{n_{c}}{n_{f}}$$

wobei $r_{f}$ der Radius der Faser ist. Daher:

$$n_{c}(R+r_{f})= n_{f}(R-r_{f}) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \... ...min} = r_{f} \left( \frac{n_{f}+n_{c}}{n_{f}-n_{c}} \right).$$

Zahlenwerte:

$$\underline{R_{min} = 22,7 \; mm}.$$

Der Krümmungsradius ist bei dieser Aufgabe nicht ganz eindeutig definiert (siehe oben). Falls man den Radius $R'$ bis zur inneren Mantelfläche als Krümmungsradius genommen hat, so folgt

$$R_{min}' = 2 r_{f} \; \frac{n_{c}}{n_{f}-n_{c}} = \underline{21,7 \; mm}$$

Wenn umgekehrt der Radius $R''$ bis zur äußeren Mantelfläche als Krümmungsradius definiert wurde, so gilt:

$$R_{min}'' = 2 r_{f} \; \frac{n_{f}}{n_{f}-n_{c}} = \underline{23,7 \; mm}.$$

Aufgabe 3: (4 Punkte)
a) Wir benutzen die Abbildungsgleichung

$$\frac{1}{b} + \frac{1}{g} = D = \frac{1}{f}$$

Da $D= 10 \; Dioptrien$, ist $f=0,1 \; m = 10 \; cm$. Mit $g=15 \; cm$ folgt

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{10}-\frac{1}{15} = \frac{1}{30} \; \... ... \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{b = 30 \; cm}.$$

Nach Vorlesung ist

$$\frac{B}{G} = \frac{b}{g} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{B = 4 \; cm}.$$

b) Zur Konstruktion des Strahlenganges muß man eine Skalierung der Achsen vornehmen, da die Bild- und Gegenstandsgrößen sehr viel kleiner als die Bild- und Gegenstandsweiten sind. In der folgenden Zeichnung ist die $z-$ Achse im Verhältnis $4/10$ gegenüber der $r-$ Achse gestaucht. Üblicherweise zeichnet man den Strahlengang eines achsenparallelen Einfallsstrahls, eines Strahls durch die Mitte der Linse und einen Strahl durch den vorderen Brennpunkt, der die Linse nach der Brechung parallel zur optischen Achse verläßt.

Aufgabe 4: (6 Punkte)
Lösung mit der Matrizen-Optik.
Wir behandeln diese Aufgabe zunächst mit der Matrizen- Optik (siehe Rechenübungen vom 2.12.92) und zeichnen daher den Strahlengang eines beliebigen Lichtstrahls durch die Linse.

Die Transformationsformel lautet ausführlich geschrieben:

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right)... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (1)

mit der Linsenmatrix

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -(1-n)/\vert R_{a}\ve... ...0 \\ -(n-1)/(-n \vert R_{a}\vert) & 1/n \end{array} \right)$$ (2)

Da nach Aufgabenstellung $d=0$ gesetzt werden sollte, werden die beiden Translationsmatrizen durch die Linse zu Einheitsmatrizen, können also weggelassen werden. Wir diskutieren die verbleibenden Matrizen noch einmal von rechts nach links. Die erste Matrix auf der rechten Seite beschreibt die Brechung des einfallenden Strahls. Hier ist $R_{a}$ negativ zu nehmen, da dem Lichtstrahl die Fläche konkav erscheint. Außerdem ist $n_{1}=1$ und $n_{2}=n$. Die mittlere Matrix beschreibt die Reflexion am Spiegel. Hier ist $R_{b}$ negativ, da der Strahl die Fläche konkav sieht. Nach der Reflexion kehrt der Strahl zurück zur Begrenzungsfläche zwischen Glas und Luft. Hier ist jetzt aber $R_{a}$ positiv einzusetzen, da der Strahl die Begrenzungsfläche konvex sieht. Außerdem ist $n_{2}=1$ und $n_{1}=n$. In der obigen Formel haben wir die Vorzeichen bereits explizit angeschrieben, sodaß in den weiteren Rechnungen $R_{a}= \vert R_{a}\vert$ und $R_{b}=\vert R_{b}\vert$ positiv sind. Mit den Abkürzungen

$$D_{a} = \frac{n-1}{R_{a}} \; \; \; \; \; \; \; \; \; D_{b} = \frac{2}{R_{b}}$$

können wir die Linsenmatrix schreiben als

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ D_{a} & n \end{array}... ...gin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2D_{a}-nD_{b} & 1 \end{array} \right)$$ (3)

Die Elemente der Matrix $M$ sind also

$$M_{11}=1 \; \; \; \; \; \; \; M_{12}=0 \; \; \; \; \; \; \; M_{21}=2D_{a}-nD_{b} \; \; \; \; \; \; \; M_{22}=1$$

Die weitere Auswertung der Transformation liefert

$$r_{2} = [1+(2D_{a}-nD_{b})d_{2}] r_{1} +[d_{1}+d_{2} +(2D_{a}-nD_{b})d_{1} d_{2}] r_{1}'$$

$$r_{2}' = [2D_{a} - nD_{b}] r_{1} + [1+ (2D_{a}-nD_{b})d_{1}] r_{1}'$$

a) Achsenparallele Strahlen ($r_{1}'=0$) schneiden nach der Brechung ($r_{2}=0$) die optische Achse im Abstand $f=d_{2}$ von der Linse, wobei $f$ die Brennweite ist. Daher folgt aus der ersten Transformationsformel:

$$0 = [1 + (2D_{a} - nD_{b}) f] r_{1} \; \; \; \; \; \; \; \;... ... \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; D=\frac{1}{f} = nD_{b}-2D_{a}$$

oder auch, nach Einsetzen der Abkürzungen:

$$\underline{D = \frac{2n}{R_{b}} - \frac{2(n-1)}{R_{a}}}$$

b) Eine Lichtquelle im Punkt $M_{a}$ auf der optischen Achse hat den Abstand $d_{1}=R_{a}$ von der Linsenbegrenzung. Außerdem ist $r_{1}=0$. Alle Strahlen von diesem Punkt sollen nach Brechung und Reflektion die Steigung $r_{2}'=0$ haben. Wir setzen dieses in die zweite Transformationsformel ein und erhalten

$$0 = [1 + (2D_{a}-nD_{b}]R_{a}] r_{1}'$$

Einsetzen der Ausdrücke für $D_{a}$ und $D_{b}$ ergibt:

$$\left( \frac{2(n-1)}{R_{a}} - \frac{2n}{R_{b}} \right) R_{a... ... \; \; \; \underline{\frac{R_{b}}{R_{a}} = \frac{2n}{2n-1}}$$

Lösung mit zentrierten Systemen
a) Man kann dieses Problem auch mit dem Satz behandeln, der aussagt, daß sich bei zentrierten optischen Systemen die Brechkräfte einfach addieren. Allerdings muß man sorgfältig auf die Vorzeichen der Krümmungsradien achten. Wir entfernen den Spiegel gedanklich von der Linsenoberfläche:

Der Lichtstrahl sieht beim Hinweg eine Linse mit zwei konkaven Bregenzungsflächen und der Brechkraft:

$$D_{1} = (n-1) \left( - \frac{1}{\vert R_{a}\vert} + \frac{1}{\vert R_{b}\vert} \right)$$

wobei wir die Vorzeichenkonventionen bereits angebracht haben. Beim Rückweg dagegen sieht das Licht eine Linse mit zwei konvexen Begrenzungsflächen und der Brechkraft:

$$D_{3} = (n-1) \left( \frac{1}{\vert R_{b}\vert} - \frac{1}{\vert R_{a}\vert} \right)$$

(siehe auch Vorzeichenkonvention der Rechenübungen vom 9.12.92, Seite 4). Der Spiegel hat eine Brechkraft von $D_{2} = 2/\vert R_{b}\vert$. Insgesamt erhalten wir

$$D = D_{1}+D_{2}+D_{3} = - \frac{2(n-1)}{\vert R_{a}\vert} ... ...frac{2n}{\vert R_{b}\vert} - \frac{2(n-1)}{\vert R_{a}\vert}}$$

b) Setzen wir in der Abbildungsgleichung

$$\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} = D$$

$g=\vert R_{a}\vert$ und $b \to \infty$, so folgt das gleiche Ergebnis wie oben für das Verhältnis der Radien.
Die allgemeine Lösung
Die allgemeine Lösung für nichtverschwindende Dicke $d$ der Linse ist ohne die Methoden der Matrizen- Optik kaum lösbar. Für den interessierten Leser skizzieren wir kurz noch einmal den Lösungsweg. Bei der Linsenmatrix müssen wir zwei Translationen einschieben:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ D_{a} & n \end{array}... ... \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ D_{a}/n & 1/n \end{array} \right)$$ (4)

Stures Ausmultiplizieren der Matrizen führt auf

$$M = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array} \right)$$ (5)

mit

$$M_{11} = 1 + 2dD_{a}/n - d D_{b} - d^{2} D_{a} D_{b}/n =M_{22}$$

$$M_{12} = 2d/n - d^{2} D_{b}/n$$

$$M_{21} = 2 D_{a} - nD_{b} - 2dD_{a} D_{b} + 2 d D_{a}^{2}/n - d^{2} D_{a}^{2} D_{b}/n = D_{a} -nD_{b} - dD_{a}D_{b} + D_{a} M_{22}$$

$$M_{22} = 1 - d D_{b} + 2d D_{a}/n - d^{2} D_{a} D_{b}/n = M_{11}$$

Ersichtlich geht für $d=0$ diese Linsenmatrix in die Matrix für dünne Linsen über. Die Gesamtabbildung lautet dann (siehe Rechenübungen):

$$r_{2} = [M_{11} + M_{21} d_{2}] r_{1} + [M_{11} d_{1} + M_{12} +M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ] r_{1}'$$

$$r_{2}' = M_{21} r_{1} + [M_{21} d_{1} + M_{22} ] r_{1}'$$

Die Brechkraft ist allgemein $D=-M_{21}/M_{11}$ (siehe Rechenübungen). Wir verzichten hier darauf, den allgemeinen Ausdruck explizit hinzuschreiben. Falls man allerdings die Glieder mit $d^{2}$ vernachlässigt, erhält man einen Ausdruck in erster Ordnung für $d$. Setzen wir als Abkürzung $D_{0}=nD_{b}-2D_{a}$, so ist

$$D \approx \frac{D_{0} + (d/n) (D_{0} + nD_{b})D_{a} } {1- (d/n) D_{0}}$$ (6)

Diese Formel geht für $d=0$ in $D_{0}$, die Brechkraft für die dünne Linse, über. Für praktische Anwendungen ist jedoch die Frage von Teil b) außerordentlich wichtig, dient diese Spiegellinse doch als Strahler. Wir setzen $r_{1}=0$, $d_{1}=R_{a}$ und $r_{2}'=0$, dann erhalten wir

$$M_{21} R_{a} + M_{22} = 0$$

Einsetzen der Ausdrücke für $D_{a}$ und $D_{b}$ in die Matrixelemente $M_{21}$ und $M_{22}$ liefert dann nach einer etwas mühsamen Rechnung

$$R_{b} = \frac{2n R_{a}^{2} + 2(2n-1) d R_{a} + 2(n-1) d^{2}} {(2n-1) R_{a} + 2(n-1) d}$$

Dieser Ausdruck ist für $d=0$ offensichtlich identisch mit unser speziellen Lösung (siehe oben). Diese Formel ist im Bergmann-Schäfer Band III (Optik), 8.Auflage, Seite 115, angegeben.