Physik III, WS 1992/93
Lösungen zur Übung Nr. 6
Besprechung: 9. Dezember 1992
Aufgabe 1: (5 Punkte)
a) Sei der Radius des Kreises, dann gilt (siehe Skizze)
, also auch
Daher ist auch die mittlere Intensität
auf diesem Kreis konstant.
b) Durch Rotation des Kreises um die Dipolachse wird im
dreidimensionalen Raum ein
Torus. Die gesamte abgestrahlte Leistung ist das Integral über
die mittlere Intensität, integriert über die Oberfläche dieses
Torus:
Wir setzen zur Abkürzung der Schreibweise
,
dann ist in Polarkoordinaten
(
):
Bei dieser Integration ist eigentlich eine Funktion von
, glücklicherweise fällt heraus:
Das Endergebnis war in der Vorlesung bereits angegeben:
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Der Energieverlust in einem Umlauf auf dem Kreis ist
, wobei die Umlaufzeit ist. Wegen
und ist zunächst
Wegen
und
gilt also
|
(1) |
und
Setzen wir wieder
, so erhalten
wir den Energieverlust pro Umlauf in Abhängigkeit der Energie des
Teilchens:
|
(2) |
Beim letzten Schritt haben wir von der Approximation
Gebrauch gemacht.
Zahlenwerte:
,
,
,
,
:
b) Das Verhältnis der abgestrahlten Energie für Elektronen und
Protonen bei sonst gleichen Bedingungen ist einfach:
|
(3) |
Im letzten Schritt wurden die Zahlenwerte
und
eingesetzt.
Man erkennt, daß bei Protonspeicherringen die
Synchrotronstrahlung keine Rolle spielt.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
a) Nach dem Gaußschen Satz ist im Innern der Ader und außerhalb
der konzentrischen Hülle die Feldstärke Null.
Zwischen Ader und Hülle gilt:
wobei die Linienladungsdichte und die Länge des Kabels
ist. Die Integration ist über die Oberfläche des Zylinders mit
Radius (
) und Länge zu erstrecken.
Daher:
und
Die Potentialdifferenz zwischen Innen- und Außenleiter ist:
Mit und folgt schließlich für die
Kapazitätsbelegung
:
Dieses Aufgabe wurde bereits in Physik II (Übung Nr.5, Aufgabe 1)
behandelt.
Zur Berechnung der Induktivitätsbelegung muß zunächst das
Magnetfeld berechnet werden.
Dieses wurde ebenfalls in
Physik II (Übung Nr.8, Aufgabe 4) bereits behandelt. Auf Grund des
Ampereschen Satzes ist
Wegen der Symmetrie hat nur eine Komponente
und ist auf einem Kreis mit Radius konstant. Daher folgt für
:
Der magnetische Fluß ergibt sich zu
Nach Definition ist
, daher
b) Für die Phasengeschwindigkeit ergibt sich:
wobei wir im letzten Schritt davon Gebrauch gemacht haben, daß
im vorliegenden Fall und für die
Vakuumlichtgeschwindigkeit
gilt.
Für die Wellengeschwindigkeit erhalten wir:
c) Die Hälfte der Vakuumlichtgeschwindigkeit erhalten wir
für
, also für
oder
. Die zweite
Bedingung lautet
Zahlenwerte:
oder
Aufgabe 4: (4 Punkte)
In der Vorlesung wurde diskutiert, daß bei transversalen
elektromagnetischen Wellen
auf Wellenleitern mit konstanter paralleler Geometrie gilt:
wobei also die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen
Wellen sind, die sich im Medium mit der relativen
Dielektrizätskonstanten und der relativen
Permeabilität ausbreiten. Im vorliegenden Fall ist
und , daher
mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit .
Die Kapazitätsbelegung ist also:
Der Wellenwiderstand ist dann:
|
(4) |
Zahlenwerte:
Harm Fesefeldt
2007-08-22