Physik III, WS 1992/93

Lösungen zur Übung Nr. 5

Besprechung: 2. Dezember 1992
Aufgabe 1: (5 Punkte)
a) Die Welle $\vec{E}_{1}$ ist linear polarisiert, denn $\vec{E}_{1} = E_{0} (\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y}) sin(kz-\omega t)$. $\vec{E}_{2}$ ist zirkular polarisiert, da

$$\vec{E}_{2} \cdot \vec{E}_{2} = E^{2}_{2,x} + E^{2}_{2,y} ... ... [sin^{2} (kz-\omega t) + cos^{2}(kz-\omega t) ] = E_{0}^{2},$$

d.h. der Betrag des $\vec{E}_{2}$- Feldes verändert sich nicht mit der Zeit. Den Umlaufsinn ersieht man am einfachsten, indem man den Vektor an der Stelle $z=0$ für die Zeiten $0, \; T/4, \; T/2,\;3T/4$ und $T$ berechnet. Es ist

$$\vec{E}_{2}(0,0) = E_{0} (sin(0), -cos(0),0) = -\vec{e}_{y} E_{0}$$

$$\vec{E}_{2}(0,T/4) = E_{0} (sin(-\pi/2),-cos(-\pi/2), 0) = - \vec{e}_{x} E_{0}$$

$$\vec{E}_{2}(0,T/2) = E_{0} (sin(-\pi),-cos(-\pi),0) = + \vec{e}_{y} E_{0}$$

$$\vec{E}_{2}(0,3T/4) = E_{0} (sin(-3\pi/2),-cos(-3\pi/2),0) = + \vec{e}_{x} E_{0}$$

$$\vec{E}_{2}(0,T) = E_{0} (sin(-2\pi), -cos(-2\pi),0) = - \vec{e}_{y} E_{0}$$

Wie man der folgenden Skizze ansieht, handelt es sich um eine zirkulare rechtspolarisierte Welle.

b) Nach Vorlesung und den Übungsstunden vom 11.11.92 kann man die Maxwellsche Gleichung $rot \vec{E} = -\partial \vec{B}/\partial t$ komponentenweise folgendermaßen schreiben:

$$\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\... ...}{\partial y} = -\frac{\partial B_{z}}{\partial t} \nonumber$$

Dieses ergibt für $\vec{E}_{1}$ die beiden Gleichungen

$$- \frac{\partial E_{1,y}}{\partial z} = E_{0} k \; cos(kz-\omega t) = - \frac{\partial B_{1,x}}{\partial t}$$

$$\frac{\partial E_{1,x}}{\partial z} = E_{0} k \; cos(kz-\omega t) = - \frac{\partial B_{1,y}}{\partial t}$$

mit der Lösung ( $c = \omega /k)$:

$$\vec{B}_{1} = \frac{E_{0}}{c} (sin(kz-\omega t),sin(kz-\omega t),0)$$

Entsprechend erhalten wir für $\vec{B}_{2}$:

$$\vec{B}_{2} = \frac{E_{0}}{c} (cos(kz-\omega t),sin(kz-\omega t),0)$$

Aufgabe 2: (5 Punkte)
a) Stromdichte und elektrische Feldstärke sind durch

$$j = \frac{I}{\pi R^{2}}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; E = \rho j = \frac{\rho I}{\pi R^{2}}$$

gegeben. Wir wählen die $z$-Achse als Stromrichtung, dann ist in zylindrischen Koordinaten das $\vec{H}$- Feld in positiver $\phi$- Richtung gegeben und an der Oberfläche des Leiters ($r=R$) betragsmäßig gleich $H_{\phi} = I/(2 \pi R)$ (siehe Physik II).

Der Poynting- Vektor ist auf der Oberfläche des Leiters

$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = E_{z} H_{\phi} \vec{e}_{z} \times \vec{e}_{\phi} = - E_{z} H_{\phi} \vec{e}_{r},$$

also normal auf der Leiteroberfläche in den Leiter hineingerichtet. Betragsmäßig ist:

$$S_{r} = - \frac{\rho I^{2}}{2 \pi^{2} R^{3}}.$$

a) Die Wärmeleistung des Stromes kann geschrieben werden als:

$$\frac{dW}{dt} = \int_{V} \vec{j} \vec{E} dV = \int j E \; dV = \frac{\rho I^{2} L}{\pi R^{2}},$$

wobei wir die Integration über das Volumen eines Leiterelementes der Länge $L$ erstreckt haben. Die Integration des Poynting- Vektors über die Oberfläche (Mantelfläche) des Leiters mit der Länge $L$ ist entsprechend:

$$\int \vec{S} d \vec{A} = - S_{r} 2 \pi R L = - \frac{\rho I^{2} L}{\pi R^{2}},$$

was offensichtlich mit dem vorherigen Ausdruck betragmäßig identisch ist.
Zahlenwerte: Für die Wärmeleistung folgt pro Meter: $dW/dt \approx 50 mW = 1,2 \cdot 10^{-5} \; kcal \; s^{-1}$. c) Die allgemeine Interpretation dieses Beispiel ist wie folgt: Auf Grund des Poyntingschen Satzes kann die in Form von Wärme dem elektromagnetischen Feld entzogene Energie nur durch eine einlaufende Strahlung kompensiert werden. Diese Energiestrahlung erfolgt auf Grund unseres Ergebnisses radial in den Leiter hinein. Der metallische Leiter ist hiernach nur in bezug auf den elektrischen Strom als Leiter anzusehen. Für die Energie ist der Kupferstab dagegen ein nichtleitendes Medium. Diese wird über das den Zylinder umgebene Vakuum in Form von Strahlung zugeführt. Das Vakuum stellt bezüglich der Energie einen Leiter, bezüglich des elektrischen Stromes dagegen einen Nichtleiter dar. Alles klar ??
Aufgabe 3: (10 Punkte)
a) Wellenkette I.
Nach den Kirchhoffschen Regeln gilt in einem Glied der Kette für die Spannungen:

$$L \frac{dI_{n}}{dt} = - \frac{Q_{n}}{C} + \frac{Q_{n+1}}{C}.$$

Nochmals nach der Zeit abgeleitet, ergibt die DGL für die Ströme:

$$CL \frac{d^{2}I_{n}}{dt^{2}} = - I_{n}' + I_{n+1}'.$$

Wegen $I_{n}'= I_{n}-I_{n-1}$ und $I_{n+1}' = - I_{n} + I_{n+1}$ folgt

$$CL \frac{d^{2} I_{n}}{ dt^{2}} = I_{n+1} + I_{n-1} - 2I_{n}.$$

Der Strom $I_{n}$ in einem Glied der Kette ist also gekoppelt mit den Strömem $I_{n-1}$ und $I_{n+1}$ des vorhergehenden und nachfolgenden Gliedes. Dieses ist völlig equivalent zum System der durch Federn gekoppelten Massen (siehe Aufgabe 1.4). Als Lösungsansatz war in der Aufgabenstellung eine harmonische Welle vorgeschlagen. Dieser Ansatz ist nicht so speziell, wie er auf den ersten Blick aussehen mag, kann man doch jede periodische Funktion durch eine Summe von harmonischen Wellen darstellen (Fourier- Analyse). Da die obige Gleichung linear ist, kann jede allgemeine periodische Funktion als Lösung aus den harmonischen Wellen aufgebaut werden. Im übrigen darf die Phasengeschwindigkeit natürlich nicht von der Form der Welle abhängen.
Mit dem Lösungsansatz $I_{n} = I_{0} e^{i(kna-\omega t)}$ erhalten wir

$$-CL I_{0} \omega^{2} e^{ikna} e^{-i\omega t} = I_{0} ( e^{ik(n+1)a} + e^{ik(n-1)a} - 2 e^{ikna}) e^{-i\omega t}.$$

Nach Division durch $I_{0} e^{ikna} e^{-i\omega t}$ verbleibt:

$$-CL \omega^{2} = e^{ika}+e^{-ika} -2 = 2 cos(ka) -2 = - 4 sin^{2}(\frac{ka}{2}).$$

Wir bezeichnen die Frequenz der Wellenkette I mit $\omega_{I}$ und die Phasengeschwindigkeit mit $c_{I}$:

$$\omega_{I} = \frac{2}{\sqrt{CL}} sin(\frac{ka}{2}) \; \; \;... ...ac{\omega_{I}}{k} = \frac{2}{\sqrt{CL}} \frac{sin(ka/2)}{k}.$$

In diesem Zusammenhang bemerken wir, daß für $ka/2 \ll 1$ die Phasengeschwindigkeit des kontinuierlichen Wellenleiters (siehe Vorlesung Seite 95) herauskommt:

$$c_{I,a \ll \lambda} \approx \frac{a}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{(L/a)(C/a)}}.$$

$L/a$ und $C/a$ bezeichnet man auch als lineare Induktivitätsbelegung und lineare Kapazitätsbelegung.
Wellenkette II.

Die Spannung am $n$-ten Kondensator ist $U_{n} = -(1/C) \int I_{n} dt$. Die Bilanz der Spannungen im $n$-ten Glied ist damit

$$U_{n} = -\frac{1}{C} \int I_{n} dt = L \frac{dI_{n}'}{dt} - L \frac{dI_{n+1}'}{dt}.$$

Ein zweites Mal differenziert, ergibt die DGL:

$$- \frac{1}{CL} I_{n} = \frac{d^{2}I_{n}'}{dt^{2}} - \frac... ...{n+1}'}{dt^{2}} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} (I_{n}' - I_{n+1}').$$

Wegen $I_{n}'= I_{n}-I_{n-1}$ und $I_{n+1}' = - I_{n} + I_{n+1}$ folgt:

$$I_{n} = CL \frac{d^{2}}{dt^{2}} ( I_{n+1} + I_{n-1} - 2I_{n}).$$

Wir verwenden wiederum den Ansatz $I_{n} = I_{0} e^{i(kna-\omega t)}$. Mit einer ähnlichen Rechnung wie bei der Wellenkette I ergibt sich dann:

$$\omega_{II} = \frac{1}{2\sqrt{CL}} \; \frac{1}{ sin(ka/2)} ... ...{II}}{k} = \frac{1}{2\sqrt{CL}} \; \frac{1}{k \; sin(ka/2)}.$$

Hierbei haben wir die Frequenz und die Phasengeschwindigkeit der Wellenkette II mit $\omega_{II}$ und $c_{II}$ bezeichnet.
b) Beide Wellenketten besitzen Grenzfrequenzen, außerhalb derer die Wellen gedämpft werden. Diesen Sachverhalt erkennt man folgendermaßen: Falls

$$\omega_{I} > \frac{2}{\sqrt{CL}} \; \; \; \; \; oder \; \; \; \; \; \omega_{II} < \frac{1}{2 \sqrt{CL}},$$

so muß $sin(ka/2) = p > 1$ sein. Wie in der Anmerkung zur Aufgabe erwähnt, ist $ka/2$ dann aber eine komplexe Zahl: $ka/2 = \pi/2 + i\beta$ oder $ka = \pi +i 2\beta$. Setzen wir diese Lösung in die harmonischen Wellen für die Ströme ein, so gilt

$$I_{n} = I_{0} e^{i(n \pi + i 2n \beta - \omega t)} = I_{0} (-1)^{n+1} e^{-2 n \beta} e^{-i\omega t},$$

oder, falls wir den Realteil herausprojizieren:

$$I_{n} = I_{0} (-1)^{n+1} e^{- 2 n \beta} cos(\omega t).$$

Die Amplitude nimmt also mit wachsendem $n$ schnell ab. Die Frequenzbereiche, bei denen sich die Wellen ungedämpft fortpflanzen können, sind daher:

$$Wellenkette \; I: \; \; \; \; \; \omega_{I} \leq \frac{2}{\sqrt{CL}}$$

$$Wellenkette \; II: \; \; \; \; \omega_{II} \geq \frac{1}{2\sqrt{CL}}.$$

Man bezeichnet diese Wellenketten daher auch als Hochpaßfilter bzw Tiefpaßfilter.
c) Die expliziten Ausdrücke für die Ströme im gedämpften Bereich erhält man mit der angegeben Formel $\beta = ln(p+\sqrt{p^{2}-1})$:

$$e^{-2n\beta} = (e^{-\beta})^{2n} = \frac{1}{(e^{\beta})^{2n}} = \frac{1}{(p+\sqrt{p^{2}-1})^{2n}}.$$

Mit $p=(\omega_{I}/2) \sqrt{CL}$ (Wellenkette I) und $p=1/(2 \omega _{II} \sqrt{CL})$ (Wellenkette II) erhalten wir die Ströme:

$$Wellenkette \; I: \; \; \; \; \; I_{n} = \frac{(-1)^{n+1} I_{0} } { \left( \sqrt{CL} \omega_{I}/2 + \sqrt{CL \omega_{I}^{2}/4 -1} \right)^{2n} } \; cos(\omega t)$$

$$Wellenkette \; II: \; \; \; \; \; I_{n} = \frac{(-1)^{n+1} I_{0} } { \left( 1/(2 \omega _{II} \sqrt{CL}) + \sqrt{ 1/(4 \omega_{II}^{2} CL) - 1} \right)^{2n} } \; cos(\omega t)$$