Physik III, WS 1992/93

Lösungen zur Übung Nr. 4

Besprechung: 25. November 1992
Aufgabe 1: (10 Punkte)
a) Für den Teil a) dieser Aufgabe gibt es 4 Lösungsmethoden. Man kann einmal alles im Reellen rechnen, zweitens kann die Feldstärke komplex und die Fourierkoeffizienten reell angesetzt werden, drittens kann umgekehrt die Feldstärke reell und die Fourierkoeffizienten komplex geschrieben werden und letztens können auch beide, die Feldstärke und die Fourierkoeffizienten komplex angesetzt werden. Wir werden hier drei von diesen Methoden explizit durchrechnen. Im folgenden bezeichnen wir die Kreisfrequenz der Grundschwingung mit $\omega = 2\pi/T= \pi \cdot 10^{10} s^{-1}$. Die folgende Skizze gibt ein Bild des zu untersuchenden Signals

Methode 1: Wir schreiben die Fourierkoeffizienten in der üblichen Form:

$$a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} E(t) cos(n\omega t) dt \... ... \; b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} E(t) sin(n\omega t) dt$$

Dann kann man $E(t)$ schreiben als:

$$E(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cos(n\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} sin(n\omega t)$$

Da $E(t)=0$ für $T/2 \leq t < T$, folgt

$$a_{n} = \frac{2E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} e^{-\delta t} cos(\... ...(\omega_{0}-n\omega )t + cos( \omega_{0} + n\omega t)t ) dt$$

Wir benutzen die Integralformel

$$\int_{0}^{T/2} e^{-\delta t} cos(bt) dt = \left[ \frac{e^... ...os(bt)) \right]^{T/2}_{0} = \frac{\delta}{\delta^{2}+b^{2}}.$$ (1)

Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, daß $e^{-\delta T/2}=0$ gesetzt werden kann und damit der Beitrag der oberen Grenze zum Integral verschwindet. Daher (mit $T=2\pi/\omega$):

$$a_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \left( \frac{\delta}{\d... ... \frac{\delta}{\delta^{2} + (\omega_{0}+n\omega)^{2}} \right)$$ (2)

Dasselbe kann für die Koeffizienten $b_{n}$ durchgerechnet werden. Man erhält:

$$b_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \left( - \frac{\omega_{... ...ega_{0}+n\omega}{\delta^{2}+(\omega_{0}+n\omega)^{2}} \right)$$ (3)

Methode 2. Bei der zweiten Methode setzen wir die Fourierkoeffizienten komplex an und nehmen die Feldstärke weiterhin reell. Dieses Verfahren wurde ebenfalls in der Vorlesung diskutiert.

$$c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E(t) e^{-in\omega t} dt, \... ...; \; E(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{in\omega t}$$

Auch hier ist die Berechnung der Koeffizienten relativ einfach und ergibt

$$c_{n} = \frac{E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} e^{-\delta t} cos(\omega_{0}t) e^{... ...t = \frac{E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} cos(\omega_{0}t) e^{-(\delta+in\omega )t} dt$$

$$= \frac{E_{0}}{T} \left[ \frac{e^{-(\delta+in\omega)t}}{(\delta+in\... ...in(\omega_{0}t) - (\delta +in\omega) cos(\omega_{0}t) \right) \right]^{T/2}_{0}$$

Wiederum verschwindet der Beitrag der oberen Grenze zum Integral, daher ist

$$c_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \frac{\delta+in\omega}{(\delta +in\omega)^{2} +\omega_{0}^{2}}$$ (4)

Falls man in dieser Methode $cos(\omega_{0} t) = (e^{i\omega_{0} t} + e^{-i\omega_{0} t})/2$ gesetzt hat, erhält man auch

$$c_{n} = \frac{\omega E_{0}}{4 \pi} \left[ \left( \frac{\d... ...omega}{\delta^{2}+(\omega_{0}+n\omega)^{2}} \right) \right].$$ (5)

Die Koeffizienten $c_{n}$ können, müssen aber nicht (siehe Teil b)), in die Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ umgerechnet werden. Hierzu benutzen wir die in der Vorlesung angegebene Formel $c_{n} = (a_{n}-ib_{n})/2$. Die komplex konjugierte Zahl hierzu ist $c^{\ast}_{n}=(a_{n}+ib_{n})/2$. Hieraus folgt, daß

$$a_{n}= c_{n}+c^{\ast}_{n} \; \; \; \; \; \; \; \; b_{n} = i(c_{n}-c^{\ast}_{n}).$$

Methode 3: Bei der letzten Methode, die wir diskutieren wollen, benutzen wir die komplexe Darstellung der Fourierkoeffizienten und setzen die Feldstärke als Realteil der komplexen Funktion

$$E(t) = e^{-\delta t} e^{i\omega_{0} t} = e^{-\delta t}( cos(\omega_{0} t) + i \; sin(\omega_{0} t) .$$ (6)

Wir schreiben

$$E(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} d_{n} e^{in\omega t} \; ... ...; \; d_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E(t) e^{-in\omega t}$$

und erinnern daran, daß die Fourierkoeffizienten $d_{n}$ verschieden von den Koeffizienten $c_{n}$ der Methode 2 sind. Die Berechnung der Fourierkoeffizienten ist jetzt besonders einfach:

$$d_{n} = \frac{E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} e^{i(\omega_{0}-n\... ...delta)t}} {i(\omega_{0}-n\omega+i\delta)} \right]^{T/2}_{0}.$$ (7)

Wegen $e^{-\delta T/2}=0$ verschwindet wiederum der Beitrag der oberen Grenze, daher

$$d_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \frac{i}{\omega_{0}-n\ome... ...ega_{0} -n\omega)} {\delta^{2} + (\omega_{0}-n\omega )^{2}}.$$ (8)

Bei der letzten Umformung haben wir Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitert. In diesem Fall wollen wir zur Übung die Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ zurückrechnen. Für das komplexe Feld erhalten wir

$$E(t) = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} ... ...mega)}{\delta^{2} +(\omega_{0}-n\omega)^{2}} e^{in\omega t}.$$ (9)

Für den Realteil ergibt sich (man beachte nochmal, daß wir bei dieser Methode das elektrische Feld als Realteil einer komplexen Funktion angesetzt haben):

$$E(t) = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} ... ...omega}{(\omega_{0}-n\omega)^{2} + \delta^{2}} sin(n\omega t)$$ (10)

Der Index $n$ läuft immer noch von $-\infty$ nach $+\infty$. Mit $cos(-n\omega t)=cos(n\omega t)$ und $sin(-n\omega t)= -sin(n\omega t)$ folgt aber sofort

$$E(t) = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \frac{\delta}{\delta^{2} +\omega_{0}^{2}} + \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\delta... ...2}} + \frac{\delta}{(\omega_{0}+n\omega)^{2}+\delta^{2}} \right) cos(n\omega t)$$

$$+ \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\omega... ...omega_{0}-n\omega}{(\omega_{0}-n\omega)^{2}+\delta^{2}} \right) sin(n\omega t).$$

Man identifiziert sofort die $a_{n}$ und $b_{n}$ von Methode 1.:

$$E(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cos(n\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} sin(n\omega t).$$

Diese Methode 3 haben wir in die Musterlösung aufgenommen, da sie in der professionellen Literatur üblich ist.
mm b) Wir haben also mit drei verschiedenen Methoden drei verschiedene Sätze von Fourierkoeffizienten erhalten. Dieses zeigt schon, daß die Fourierkoeffizienten selbst nur mathematische Größen sind. Die physikalisch interessanten Größen sind die Amplituden und Phasen der Oberschwingungen. Während Teil a) dieser Aufgabe reine Mathematik war, wollen wir in Teil b) und c) die physikalischen Aspekte dieser Aufgabe herausarbeiten. Jeder physikalisch vorgebildete Mensch wird natürlich davon ausgehen, daß die Amplitude ungefähr bei der Frequenz $\omega_{0}$ des emittierten Lichtes maximal wird. Insofern ist die Antwort auf die Frage b) fast trivial. Wer dieses allerdings nicht erkannt hat, hat die ganze Aufgabe nicht verstanden. Das Problem ist die Begründung aus den in Teil a) erhaltenen Fourierkoeffizienten. Zur Diskussion der Amplituden muß die Fourierreihe zunächst in die Form

$$E(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} sin(n\omega t + \phi_{n})$$ (11)

umgeschrieben werden. Die $A_{n}$ sind die Amplituden, die $\phi_{n}$ die Phasen der Oberschwingungen. Es gibt durchaus physikalische Probleme, bei denen auch die Phasen interessant sind, im allgemeinen beschränkt man die Untersuchung aber auf die Amplituden. Nach Vorlesung gilt ( $c_{n} = (a_{n}-ib_{n})/2$):

$$A_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}} = 2 \sqrt{c_{n} c^{\as... ... \; \; \; \; \; \; \; tg \; \phi_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}.$$ (12)

Wer die $c_{n}$ Koeffizienten ausgerechnet hat, kann sofort einen geschlossenen Ausdruck für die Amplitude hinschreiben:

$$A_{n} = \frac{2 \omega E_{0}}{2\pi} \sqrt{ \frac{(\delta+i... ...+\omega_{0}^{2}-(n\omega)^{2})^{2} + 4 (\delta n\omega)^{2}}}$$

Dasselbe Ergebnis erhält man mit den Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$, allerdings nach einer etwas längeren Rechnung. Die Extremalbedingung $d(ln \; A_{n})/d(n\omega) = 0$ führt nach kurzer Rechnung tatsächlich auf die Lösung

$$n^{2}_{max} \omega^{2} = \omega_{0}^{2} + \delta^{2}, \; ... ...} \; \; \; oder \; \; \; \; \; \underline{n_{max} = 20001}.$$

Das Aufsuchen des Maximums durch eine Extremalbedingung ist bei der Methode 1 ( $A_{n} = \sqrt{a^{2}_{n}+b^{2}_{n}}$) ausgesprochen mühsam und auch nicht notwendig. Zunächst bemerken wir, daß der Dämpfungsparameter $\delta \ll \omega_{0}$. In dieser Approximation gilt z.B. für die Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ außerhalb des Maximums:

$$a_{n} \approx \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \left( \frac{\delta... ...1}{\omega_{0}+n\omega} - \frac{1}{\omega_{0}-n\omega} \right)$$ (13)

Ersichtlich gehen die Beträge der Fourierkoeffizienten und damit auch die Amplitude in dieser Approximation für $n_{max} = \omega_{0}/\omega$ gegen Unendlich. Der Dämpfungsparameter sorgt lediglich dafür, daß die Amplitude im Maximum endlich bleibt. Zur genaueren Bestimmung berechnen wir zunächst die $a_{n}$- und $b_{n}$- Koeffizienten im Maximum. Der $b_{n}$ Koeffizient wechselt bei $(n\omega)^{2} = \omega_{0}^{2} - \delta^{2}$ das Vorzeichen, ist bei diesem Wert selbst also Null. Da aber $\delta^{2} \ll \omega_{0}^{2}$, kann der $b_{n}$ Koeffizient im Maximum vernachlässigt werden. Numerisch erhalten wir für $n\omega = \omega_{0}$:

$$a_{n_{max}} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} \left( 1 + \frac{1}{1+4(\omega_{0}/\delta)^{2}} \right) \approx \frac{\omega_{0} E_{0}}{2\pi \delta}$$

$$b_{n_{max}} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} \left( \frac{2(\omega_{0}/\delta... ...\frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} \left( \frac{1}{2 (\omega_{0}/\delta)} \right)$$

Für $n\omega = \omega_{0}$ ist daher $a_{n}/b_{n} \approx 250$. Im Ausdruck für $a_{n}$ selbst ist im Maximum der zweite Summand vernachlässigbar klein gegen den ersten Summanden:

$$a_{n_{max}} \approx \frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} ( 1 + 1,6 \cdot 10^{-5} ) , \nonumber$$

sodaß wir in der Nähe des Maximums einfach setzen können:

$$A_{n} \approx a_{n} \approx \frac{\omega E_{0}}{2 \pi} \lef... ...a}{\delta^{2} +(\omega_{0}-n\omega )^{2}} \right). \nonumber$$

Dieser Ausdruck ist aber ersichtlich für $\omega_{0}=n\omega$ maximal. Wer es ganz genau wissen will, dem bleibt allerdings nichts anderes übrig, als einige Werte um dieses Maximum herum numerisch zu berechnen. Die folgende Tabelle zeigt Werte für $n=19998$ bis $n=20002$.

$n$	19998	19999	20000	20001	20002
$A_{n}/(E_{0} \cdot 10^{-4})$	9,99895	9,99979	10,00024	10,00003	9,99995

Daher:

$$\underline{n_{max} = \frac{\omega_{0}}{\omega} = 20000}.$$

c) Zur Anfertigung der Skizze muß die Amplitude an einigen Stützpunkten berechnet werden. Hierbei spielt es keine große Rolle, ob man die exakten Formeln für die Amplituden oder die Approximationen für $\delta^{2} \ll \omega_{0}$ benutzt. Es war ausdrücklich nur eine Skizze verlangt. Die folgenden Figuren zeigen $a_{n}$, $b_{n}$, $A_{n}$. Bemerkenswert ist, daß außerhalb der Resonanz die $b_{n}$ überwiegen, während im Maximum der $a_{n}$ Term absolut dominiert. Man beachte, daß die Ordinaten eine logarithmische Skala haben.
Die hier durchgerechnete Aufgabe ist das elektromagnetische Modell der Stoßverbreiterung von Spektrallinien. Dieses Phänomen spielt eine herausragende Rolle in der gesamten Atomphysik und wird in Physik IV sicher noch einmal mit den Methoden der Quantenmechanik behandelt.

Aufgabe 2: (5 Punkte)
Wir gehen von der in der Vorlesung angegebenen Formel aus:

$$\nu' = \nu_{0} \frac{1-(v_{B}/c) cos\theta_{B}} {1-(v_{S}/c) cos\theta_{S}}.$$ (14)

Wir bezeichnen die Geschwindigkeit der Fledermaus $F_{1}$ im folgenden mit $v_{S} = v_{1} = 10 \; m/s$ und ihre Senderfrequenz mit $\nu_{0} = 5 \cdot 10^{4} \; Hz$. Betrachten wir zunächst die Fledermaus $F_{2}$. Diese bewegt sich nicht, also $v_{B}=0$. Sie hört einmal die direkt von $F_{1}$ kommenden Frequenzen. Diese sind wegen $\theta_{S} = 180^{o}$ und damit $cos\theta_{S}= -1$ durch $\nu_{1} = \nu_{0}/(1+(v_{S}/c))$ gegeben. Die Wand wirkt als Empfänger der Welle der Frequenz $\nu_{2} = \nu_{0}/(1-(v_{S}/c))$. In diesem Fall ist ebenfalls $v_{B}=0$, aber $\theta_{S}=0$ und damit $cos\theta_{S} =1$. Diese Wellen werden reflektiert und ebenfalls von $F_{2}$ empfangen.
Die Fledermaus $F_{1}$ hört einmal die Frequenz $\nu_{0}$ in ihrem eigenen Ruhesystem. Wie oben schon gesagt, ist die Wand ein Schallsender der Frequenz $\nu_{2}$. Relativ zu diesem Sender bewegt sich $F_{1}$ mit der Geschwindigkeit $v_{B} = v_{S}$ und $\theta_{B} = 180^{o}$ bzw $cos\theta_{B}=-1$, somit $\nu_{3} = \nu_{2} (1+(v_{S}/c))$.
Zusammenfassung:

$$F_{1} : \; \; \; \; \; \nu_{0} = \underline{5 \cdot 10^{4} \; Hz} , \; \;... ...= \nu_{0} \frac{1+(v_{S}/c)}{1-(v_{S}/c)} = \underline{5,31 \cdot 10^{4} \; Hz}$$

$$F_{2} : \; \; \; \; \; \nu_{1} = \nu_{0} \frac{1}{1+(v_{S}/c)} = \underli... ... \nu_{2} = \nu_{0} \frac{1}{1-(v_{S}/c)} = \underline{5,16 \cdot 10^{4} \; Hz}.$$

Aufgabe 3: (5 Punkte)
Die Situation ist in der folgende Skizze dargestellt. $B$ ist der ruhende Beobachter, $S$ der Dampfer.

Die in der Vorlesung angegebene Formel für die am Ort $B$ ankommenden Frequenzen ist

$$\nu' = \frac{\nu}{1-(v_{s}/c) cos\theta_{s}}.$$

Im folgenden bezeichnen wir die ausgesandte Frequenz mit $\nu$, die beim Beobachter ankommende wahre Frequenz mit $\nu'$ und die vom Beobachter gemessene Frequenz mit $\nu_{m}'$. Für $t \to \pm \infty$ kann $cos \theta_{s} \approx \mp 1$ gesetzt werden, sodaß

$$\nu_{-}' = \frac{\nu}{1-(v_{s}/c)} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \nu_{+}' = \frac{\nu}{1+(v_{s}/c)}.$$

Aus der Parametrisierung der experimentellen Messungen folgt für die Frequenzen bei $t \to \pm \infty$:

$$\nu_{m,-}' = \alpha + \beta \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \nu_{m,+}' = \alpha - \beta.$$

Setzen wir $\nu_{m,-}' = \nu_{-}'$ und $\nu_{m,+}' = \nu_{+}'$, so erhalten wir zwei Bestimmungsgleichungen für $\nu$ und $v_{s}$:

$$\nu = \alpha + \beta - \alpha \frac{v_{s}}{c} - \beta \frac... ...pha - \beta + \alpha \frac{v_{s}}{c} - \beta \frac{v_{s}}{c},$$

die gelöst werden durch:

$$\nu = \alpha - \frac{\beta^{2}}{\alpha} = \underline{59,96 ... ...\; v_{s} = \frac{c\beta}{\alpha} = \underline{7,98 \; m/s}.$$

Auf Grund dieser Parametrisierung erhält man eine Geschwindigkeit und Frequenz, die etwas kleiner als die wirkliche Geschwindigkeit von $8 \; m/s$ und Frequenz $60 \; Hz$ ist. Dieses liegt daran, daß der Beobachter eine approximative, und daher nicht ganz korrekte Parametrisierung verwendet hat (siehe unten).
Zunächst muß festgestellt werden, daß der Beobachter die Zeitachse so gelegt hat, daß der Nullpunkt beim minimalen Abstand des Dampfers vom Beobachter liegt, also bei Punkt $E$ der obigen Skizze. Denn für $t=0$ ist $\nu_{m}' (t=0) = \nu = 60 \; Hz$. Daß die gemessenen Frequenzen für alle anderen Zeiten symmetrisch sind ( $\nu_{m}'(-t) - \nu = \nu - \nu_{m}'(+t))$, liegt an der Tatsache, daß $v_{s}/c \ll 1$ und daher

$$\nu'(t) = \frac{\nu}{1 -(v_{s}/c) cos \theta_{s}} \approx \nu (1 + \frac{v_{s}}{c} cos \theta_{s} ).$$

Diese Approximation stimmt umso besser, je kleiner $cos \theta_{s}$ wird, d.h. je mehr sich der Dampfer dem Punkt $E$ nähert. Mit $cos \theta_{s} = - x/s = - x/\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ und $x = v_{s} t_{s}$ folgt:

$$\nu'(t_{s}) \approx \nu - \frac{v_{s}^{2} \nu}{c} \frac{t_{s}}{\sqrt{v_{s}^{2} t_{s}^{2} + a^{2}}}$$

Man beachte auch, daß die Zeit $t$ des Beobachters und die Zeit $t_{s}$ des Dampfers nur am Punkt $E$ exakt übereinstimmen. Für weitere Entfernungen ergibt sich auf Grund der endlichen Schallausbreitung eine Differenz. Dieser Unterschied ist aber wegen $v_{s}/c \ll 1$ für $\vert cos \theta_{s}\vert < 0.5$ vernachlässigbar klein. Die zeitliche Änderung der Frequenzen ist für $t \approx 0$:

$$\frac{d\nu'(t=0)}{dt} = - \frac{v_{s}^{2} \nu}{c a}.$$

Aus den Messungen folgt $d\nu_{m}'(t=0)/dt = - \beta/\sqrt{\gamma}$, daher folgt für den Abstand $a$ des Dampfers vom Ufer:

$$a = \frac{v_{s}^{2} \nu \sqrt{\gamma}}{c \beta} \approx \underline{800 \; m}.$$

Man könnte bei der gesamten Lösung dieser Aufgabe natürlich auch von der Annahme ausgehen, daß bei einem Dampfer grundsätzlich $v_{s} \ll c$ sein muß. Dann kann man von vornherein eine Taylor- Entwicklung ansetzen und einfach die Parameter vergleichen.
Eine ähnliche Methode wird benutzt, um die Geschwindigkeit und den Abstand von der Erde bei Satelliten zu messen.