\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 4}
\normalsize  
\vskip 10mm
Besprechung: \bf 25. November 1992 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.2cm} (10 Punkte) \newline
a) F"ur den Teil a) dieser Aufgabe gibt es 4 L"osungsmethoden.
Man kann einmal alles im Reellen rechnen, zweitens kann die Feldst"arke
komplex und die Fourierkoeffizienten reell angesetzt werden, drittens
kann umgekehrt die Feldst"arke reell und die Fourierkoeffizienten
komplex geschrieben werden und letztens k"onnen auch beide, die
Feldst"arke und die Fourierkoeffizienten komplex angesetzt werden.
Wir werden hier drei von diesen Methoden explizit durchrechnen. 
Im folgenden bezeichnen wir die Kreisfrequenz der Grundschwingung
mit $\omega = 2\pi/T= \pi \cdot 10^{10} s^{-1}$.  
Die folgende Skizze gibt ein Bild des zu untersuchenden Signals \newline
\vskip 30mm
\bf \underline{Methode 1}: \rm 
Wir schreiben die Fourierkoeffizienten in der "ublichen Form:
\begin{displaymath}
a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} E(t) cos(n\omega t) dt 
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} E(t) sin(n\omega t) dt 
\end{displaymath}
Dann kann man $E(t)$ schreiben als:
\begin{displaymath}
E(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cos(n\omega t) 
+ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} sin(n\omega t)  
\end{displaymath}
Da $E(t)=0$ f"ur $T/2 \leq t < T$, folgt
\begin{displaymath}
a_{n} = \frac{2E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} e^{-\delta t} cos(\omega_{0} t)
cos(n\omega t) dt 
= \frac{E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} e^{-\delta t} ( 
cos(\omega_{0}-n\omega )t
+ cos( \omega_{0} + n\omega t)t ) dt  
\end{displaymath}
Wir benutzen die Integralformel
\begin{equation}
\int_{0}^{T/2} e^{-\delta t} cos(bt) dt 
= \left[ \frac{e^{-\delta t}}{\delta^{2}+b^{2}} (b sin(bt)-\delta cos(bt))
\right]^{T/2}_{0} = \frac{\delta}{\delta^{2}+b^{2}}.
\end{equation}
Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, da"s $e^{-\delta T/2}=0$ gesetzt
werden kann und damit der Beitrag der oberen Grenze zum Integral 
verschwindet. Daher (mit $T=2\pi/\omega$):
\begin{equation}
a_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \left( 
\frac{\delta}{\delta^{2} + (\omega_{0}-n\omega)^{2}} +
\frac{\delta}{\delta^{2} + (\omega_{0}+n\omega)^{2}} \right)
\end{equation} 
Dasselbe kann f"ur die Koeffizienten $b_{n}$ durchgerechnet werden.
Man erh"alt:
\begin{equation}
b_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \left( 
- \frac{\omega_{0} - n\omega}{\delta^{2} +(\omega_{0}-n\omega)^{2}}
+ \frac{\omega_{0}+n\omega}{\delta^{2}+(\omega_{0}+n\omega)^{2}} \right)
\end{equation}
\bf \underline{Methode 2}. \rm 
Bei der zweiten Methode  setzen wir die Fourierkoeffizienten komplex an
und nehmen die Feldst"arke weiterhin reell. Dieses Verfahren
wurde ebenfalls in der Vorlesung diskutiert.
\begin{displaymath}
c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E(t) e^{-in\omega t} dt, \; \; \; \; \; 
\; \; \; \; \; 
E(t)  = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{in\omega t}  
\end{displaymath}
Auch hier ist die Berechnung der Koeffizienten relativ einfach und ergibt
\begin{eqnarray}
c_{n} &=& \frac{E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} e^{-\delta t} cos(\omega_{0}t)
e^{-in\omega t} dt = \frac{E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} cos(\omega_{0}t)
e^{-(\delta+in\omega )t} dt \nonumber \\
&=& \frac{E_{0}}{T} \left[ 
\frac{e^{-(\delta+in\omega)t}}{(\delta+in\omega)^{2}+\omega_{0}^{2}}
\left( \omega_{0}^{2} sin(\omega_{0}t) - (\delta +in\omega)  
cos(\omega_{0}t) \right) \right]^{T/2}_{0} \nonumber
\end{eqnarray}
Wiederum verschwindet der Beitrag der oberen Grenze zum Integral,
daher ist
\begin{equation}
c_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \frac{\delta+in\omega}{(\delta
+in\omega)^{2}
+\omega_{0}^{2}}
\end{equation}
Falls man in dieser Methode 
$cos(\omega_{0} t) = (e^{i\omega_{0} t} + e^{-i\omega_{0} t})/2$ gesetzt
hat, erh"alt man auch
\begin{equation}
c_{n} = \frac{\omega  E_{0}}{4 \pi} \left[ \left( 
\frac{\delta}{\delta^{2} +(\omega_{0} - n\omega)^{2}} +
\frac{\delta}{\delta^{2} + (\omega_{0}+n\omega)^{2}} \right) + i
\left( \frac{\omega_{0}-n\omega}{\delta^{2} + (\omega_{0}-n\omega)^{2}}
-\frac{\omega_{0}+n\omega}{\delta^{2}+(\omega_{0}+n\omega)^{2}}
\right) \right].
\end{equation} 
Die Koeffizienten $c_{n}$ k"onnen, m"ussen aber nicht (siehe Teil b)),
in die Koeffizienten $a_{n}$ und
$b_{n}$ umgerechnet werden. Hierzu benutzen wir die in der Vorlesung 
angegebene Formel $c_{n} = (a_{n}-ib_{n})/2$.
Die komplex konjugierte Zahl hierzu ist 
$c^{\ast}_{n}=(a_{n}+ib_{n})/2$. Hieraus folgt, da"s
\begin{displaymath}
a_{n}= c_{n}+c^{\ast}_{n} \; \; \; \; \; \; \; \; 
b_{n} = i(c_{n}-c^{\ast}_{n}).
\end{displaymath}
\bf \underline{Methode 3}: \rm
Bei der letzten Methode, die wir diskutieren wollen, benutzen wir
die komplexe Darstellung der Fourierkoeffizienten und setzen die
Feldst"arke als Realteil der komplexen Funktion 
\begin{equation}
E(t) = e^{-\delta t} e^{i\omega_{0} t} = e^{-\delta t}(
cos(\omega_{0} t) + i \; sin(\omega_{0} t) .
\end{equation}
Wir schreiben
\begin{displaymath}
E(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} d_{n} e^{in\omega t} 
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
d_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E(t) e^{-in\omega t} 
\end{displaymath}
und erinnern daran, da"s die Fourierkoeffizienten $d_{n}$ verschieden
von den Koeffizienten $c_{n}$ der Methode 2 sind. 
Die Berechnung der Fourierkoeffizienten ist jetzt besonders
einfach:
\begin{equation}
d_{n} = \frac{E_{0}}{T} \int_{0}^{T/2} 
e^{i(\omega_{0}-n\omega + i\delta )t} dt = \frac{E_{0}}{T}
\left[ \frac{e^{i(\omega_{0}-n\omega +i\delta)t}}
{i(\omega_{0}-n\omega+i\delta)} \right]^{T/2}_{0}.
\end{equation}
Wegen $e^{-\delta T/2}=0$ verschwindet wiederum der Beitrag der 
oberen Grenze, daher
\begin{equation}
d_{n} = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \frac{i}{\omega_{0}-n\omega +i\delta}     
= \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \frac{\delta+i(\omega_{0} -n\omega)}
{\delta^{2} + (\omega_{0}-n\omega )^{2}}.
\end{equation}
Bei der letzten Umformung haben wir Z"ahler und Nenner mit dem
konjugiert Komplexen des Nenners erweitert.
In diesem Fall wollen wir zur "Ubung die
Koeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ zur"uckrechnen. 
F"ur das komplexe Feld erhalten wir
\begin{equation}
E(t) = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 
\frac{\delta + i(\omega_{0}-n\omega)}{\delta^{2}
+(\omega_{0}-n\omega)^{2}} e^{in\omega t}.
\end{equation}
F"ur den Realteil ergibt sich (man beachte nochmal, da"s wir bei 
dieser Methode das elektrische Feld als Realteil einer komplexen
Funktion angesetzt haben):
\begin{equation}
E(t) = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}
\frac{\delta}{(\omega_{0}-n\omega)^{2} + \delta^{2}} cos(n\omega t)
- \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} 
\frac{\omega_{0}-n\omega}{(\omega_{0}-n\omega)^{2} + \delta^{2}}
sin(n\omega t)
\end{equation}
Der Index $n$ l"auft immer noch von $-\infty$ nach $+\infty$. Mit
$cos(-n\omega t)=cos(n\omega t)$ und $sin(-n\omega t)=
-sin(n\omega t)$ folgt aber sofort
\begin{eqnarray}
E(t) = \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \frac{\delta}{\delta^{2}
+\omega_{0}^{2}} &+& 
\frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} 
\left( \frac{\delta}{(\omega_{0}-n\omega)^{2}+\delta^{2}} +
       \frac{\delta}{(\omega_{0}+n\omega)^{2}+\delta^{2}} \right)
cos(n\omega t) \nonumber \\
&+& \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left(
\frac{\omega_{0}+n\omega}{(\omega_{0}+n\omega)^{2}+\delta^{2}} -
\frac{\omega_{0}-n\omega}{(\omega_{0}-n\omega)^{2}+\delta^{2}} \right)
sin(n\omega t). \nonumber
\end{eqnarray}
Man identifiziert sofort die $a_{n}$ und $b_{n}$ von Methode 1.:
\begin{displaymath}
E(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cos(n\omega t) 
+ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} sin(n\omega t).
\end{displaymath} 
Diese Methode 3 haben wir in die Musterl"osung aufgenommen,
da sie in der professionellen Literatur "ublich ist.  \newline
\vskip 5 mm
b) Wir haben also mit drei verschiedenen Methoden drei verschiedene 
S"atze von Fourierkoeffizienten erhalten. Dieses zeigt schon, da"s die
Fourierkoeffizienten selbst nur mathematische Gr"o"sen sind.  
Die physikalisch interessanten Gr"o"sen sind die Amplituden und Phasen
der Oberschwingungen.
W"ahrend Teil a) dieser Aufgabe reine Mathematik war, wollen wir in Teil b)
und c) die physikalischen Aspekte dieser Aufgabe herausarbeiten.
Jeder physikalisch vorgebildete Mensch wird nat"urlich davon ausgehen,
da"s die Amplitude ungef"ahr bei der Frequenz $\omega_{0}$ des emittierten
Lichtes maximal wird. Insofern ist die Antwort auf die Frage b) fast
trivial. Wer dieses allerdings nicht erkannt hat, hat die ganze Aufgabe
nicht verstanden.
Das Problem ist die Begr"undung aus den in Teil a) erhaltenen
Fourierkoeffizienten.
Zur Diskussion der Amplituden mu"s die Fourierreihe zun"achst in
die Form
\begin{equation}
E(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} sin(n\omega t +
\phi_{n})
\end{equation}
umgeschrieben werden. Die $A_{n}$ sind die Amplituden, die $\phi_{n}$
die Phasen der Oberschwingungen. Es gibt durchaus physikalische Probleme,
bei denen auch die Phasen interessant sind, im allgemeinen  beschr"ankt
man die Untersuchung aber auf die Amplituden. Nach Vorlesung gilt
($c_{n} = (a_{n}-ib_{n})/2$):
\begin{equation}
A_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}} = 2 \sqrt{c_{n} c^{\ast}_{n}}
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;  
tg \; \phi_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}.
\end{equation}
Wer die $c_{n}$ Koeffizienten ausgerechnet hat, kann sofort einen
geschlossenen Ausdruck f"ur die Amplitude hinschreiben:
\begin{displaymath}
A_{n} = \frac{2 \omega E_{0}}{2\pi} \sqrt{
\frac{(\delta+in\omega)(\delta-in\omega)}
{[(\delta+in\omega)^{2} + \omega_{0}^{2}][(\delta-in\omega)^{2}
+\omega_{0}^{2}]}} = 
\frac{\omega E_{0}}{\pi} \sqrt{\frac{\delta^{2}+(n\omega)^{2}}
{(\delta^{2}+\omega_{0}^{2}-(n\omega)^{2})^{2} + 4 (\delta n\omega)^{2}}}
\end{displaymath}
Dasselbe Ergebnis erh"alt man mit den Koeffizienten $a_{n}$ und
$b_{n}$, allerdings nach einer etwas l"angeren Rechnung. 
Die Extremalbedingung $d(ln \; A_{n})/d(n\omega) = 0$ f"uhrt nach
kurzer Rechnung tats"achlich auf die L"osung 
\begin{displaymath}
n^{2}_{max} \omega^{2} = \omega_{0}^{2} + \delta^{2}, 
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\underline{n_{max} = 20000} \; \; \; oder \; \; \; \; \; 
\underline{n_{max} = 20001}.
\end{displaymath}
Das Aufsuchen des Maximums durch eine Extremalbedingung ist 
bei der Methode 1 ($A_{n} = \sqrt{a^{2}_{n}+b^{2}_{n}}$) 
ausgesprochen m"uhsam und auch nicht notwendig. Zun"achst
bemerken wir, da"s der D"ampfungsparameter $\delta \ll \omega_{0}$.
In dieser Approximation gilt z.B. f"ur die Koeffizienten $a_{n}$
und $b_{n}$ au"serhalb des Maximums:
\begin{equation}
a_{n} \approx \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \left( \frac{\delta}{(\omega_{0}
-n\omega)^{2}} + \frac{\delta}{(\omega_{0}+n\omega)^{2}} \right)
\; \; \; \; \; \; \; \; 
b_{n} \approx \frac{\omega E_{0}}{2\pi} \left(
\frac{1}{\omega_{0}+n\omega} - \frac{1}{\omega_{0}-n\omega} \right)
\end{equation}
Ersichtlich gehen die Betr"age der Fourierkoeffizienten und damit auch
die Amplitude in dieser Approximation f"ur $n_{max} = \omega_{0}/\omega$
gegen Unendlich. Der D"ampfungsparameter sorgt lediglich daf"ur,
da"s die Amplitude im Maximum endlich bleibt. 
Zur genaueren Bestimmung berechnen wir zun"achst die $a_{n}$- und
$b_{n}$- Koeffizienten im Maximum. Der $b_{n}$ Koeffizient
wechselt bei $(n\omega)^{2} = \omega_{0}^{2} - \delta^{2}$ das 
Vorzeichen, ist bei diesem Wert selbst also Null. Da aber 
$\delta^{2} \ll \omega_{0}^{2}$, kann der $b_{n}$ Koeffizient
im Maximum vernachl"assigt werden. Numerisch erhalten wir
f"ur $n\omega = \omega_{0}$:  
\begin{eqnarray}
a_{n_{max}} &=& \frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} \left( 1 +
\frac{1}{1+4(\omega_{0}/\delta)^{2}} \right) \approx 
\frac{\omega_{0} E_{0}}{2\pi \delta} \nonumber \\
b_{n_{max}} &=& \frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} \left(
\frac{2(\omega_{0}/\delta)}{1+4(\omega_{0}/\delta)^{2}} \right) 
\approx \frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} \left( 
\frac{1}{2 (\omega_{0}/\delta)} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
F"ur $n\omega = \omega_{0}$ ist daher $a_{n}/b_{n} \approx 250$. 
Im Ausdruck f"ur $a_{n}$ selbst ist im 
Maximum der zweite Summand vernachl"assigbar klein gegen den ersten
Summanden:
\begin{equation}
a_{n_{max}} \approx \frac{\omega E_{0}}{2\pi \delta} ( 1 +
1,6 \cdot 10^{-5} ) , \nonumber
\end{equation}
soda"s wir in der N"ahe des Maximums einfach setzen k"onnen:
\begin{equation}
A_{n} \approx a_{n} \approx \frac{\omega E_{0}}{2 \pi} \left(
\frac{\delta}{\delta^{2} +(\omega_{0}-n\omega )^{2}} \right).
\nonumber
\end{equation}
Dieser Ausdruck ist aber ersichtlich f"ur $\omega_{0}=n\omega$ maximal.
Wer es ganz genau wissen will, dem bleibt allerdings nichts anderes 
"ubrig, als einige
Werte um dieses Maximum herum numerisch zu berechnen. Die folgende Tabelle
zeigt Werte f"ur $n=19998$ bis $n=20002$. \newline
\vskip 2mm
\centerline{ \begin{tabular}{r|rrrrr}
$n$ & 19998 & 19999 & 20000 & 20001 & 20002 \\
$A_{n}/(E_{0} \cdot 10^{-4})$ &
9,99895 & 9,99979 & 10,00024 & 10,00003 & 9,99995 
\end{tabular} }
\vskip 1mm
Daher:
\begin{displaymath}
\underline{n_{max} = \frac{\omega_{0}}{\omega} = 20000}.
\end{displaymath}
\vskip 5mm
c) Zur Anfertigung der Skizze mu"s die Amplitude an einigen St"utzpunkten
berechnet werden. Hierbei spielt es keine gro"se Rolle, ob man die
exakten Formeln f"ur die Amplituden oder die Approximationen f"ur
$\delta^{2} \ll \omega_{0}$ benutzt. Es war ausdr"ucklich nur eine
Skizze verlangt.  
Die folgenden Figuren zeigen $a_{n}$, $b_{n}$, $A_{n}$.
Bemerkenswert ist, da"s au"serhalb der Resonanz die 
$b_{n}$ "uberwiegen, w"ahrend im Maximum der $a_{n}$ Term absolut
dominiert. Man beachte, da"s die Ordinaten eine logarithmische Skala haben.
\newline
Die hier durchgerechnete Aufgabe ist das elektromagnetische Modell
der Sto"sverbreiterung von Spektrallinien. Dieses Ph"anomen
spielt eine herausragende Rolle in der gesamten Atomphysik und 
wird in Physik IV sicher noch einmal mit den Methoden der Quantenmechanik
behandelt.
\newpage
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Wir gehen von der in der Vorlesung angegebenen Formel aus:
\begin{equation}
\nu' = \nu_{0} \frac{1-(v_{B}/c) cos\theta_{B}}
{1-(v_{S}/c) cos\theta_{S}}.
\end{equation}
Wir bezeichnen die Geschwindigkeit der Fledermaus $F_{1}$ im folgenden 
mit $v_{S} = v_{1} = 10 \; m/s$ und ihre Senderfrequenz mit
$\nu_{0} = 5 \cdot 10^{4} \; Hz$. Betrachten wir zun"achst die 
Fledermaus $F_{2}$. Diese bewegt sich nicht, also $v_{B}=0$. 
Sie h"ort einmal die direkt von $F_{1}$ kommenden Frequenzen.
Diese sind wegen $\theta_{S} = 180^{o}$ und damit 
$cos\theta_{S}= -1$ durch $\nu_{1} = \nu_{0}/(1+(v_{S}/c))$ gegeben.
Die Wand wirkt als Empf"anger der Welle der Frequenz
$\nu_{2} = \nu_{0}/(1-(v_{S}/c))$. In diesem Fall ist ebenfalls 
$v_{B}=0$, aber $\theta_{S}=0$ und damit $cos\theta_{S} =1$.
Diese Wellen werden reflektiert und ebenfalls von $F_{2}$ empfangen.
\newline
Die Fledermaus $F_{1}$ h"ort einmal die Frequenz $\nu_{0}$ in ihrem
eigenen Ruhesystem. Wie oben schon gesagt, ist die Wand ein 
Schallsender der Frequenz $\nu_{2}$. Relativ zu diesem Sender bewegt
sich $F_{1}$ mit der Geschwindigkeit $v_{B} = v_{S}$ und
$\theta_{B} = 180^{o}$ bzw $cos\theta_{B}=-1$, somit 
$\nu_{3} = \nu_{2} (1+(v_{S}/c))$. \newline
Zusammenfassung:
\begin{eqnarray}
F_{1} &:& \; \; \; \; \; \nu_{0} = \underline{5 \cdot 10^{4} \; Hz} ,
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\nu_{3} = \nu_{0} \frac{1+(v_{S}/c)}{1-(v_{S}/c)} = \underline{5,31 \cdot
10^{4} \; Hz} \nonumber \\
F_{2} &:& \; \; \; \; \; \nu_{1} = \nu_{0} \frac{1}{1+(v_{S}/c)} 
= \underline{4,85 \cdot 10^{4} \; Hz}, 
\; \; \; \; \; \; \; \; 
\nu_{2} = \nu_{0} \frac{1}{1-(v_{S}/c)} = \underline{5,16 \cdot 
10^{4} \; Hz}. \nonumber
\end{eqnarray}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Die Situation ist in der folgende Skizze dargestellt. $B$ ist der 
ruhende Beobachter, $S$ der Dampfer. \newline
\vskip 30mm
Die in der Vorlesung angegebene Formel f"ur die am Ort $B$ ankommenden
Frequenzen ist
\begin{displaymath}
\nu' = \frac{\nu}{1-(v_{s}/c) cos\theta_{s}}.
\end{displaymath}
Im folgenden bezeichnen wir die ausgesandte Frequenz mit $\nu$, die
beim Beobachter ankommende wahre Frequenz mit $\nu'$ und die vom
Beobachter gemessene Frequenz mit $\nu_{m}'$. 
F"ur $t \to \pm \infty$ kann $cos \theta_{s} \approx \mp 1$ gesetzt werden,
soda"s 
\begin{displaymath}
\nu_{-}' = \frac{\nu}{1-(v_{s}/c)} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\nu_{+}' = \frac{\nu}{1+(v_{s}/c)}.
\end{displaymath}
Aus der Parametrisierung der experimentellen Messungen
folgt f"ur die Frequenzen bei $t \to \pm \infty$:
\begin{displaymath}
\nu_{m,-}' = \alpha + \beta \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\nu_{m,+}' = \alpha - \beta. 
\end{displaymath}
Setzen wir $\nu_{m,-}' = \nu_{-}'$ und $\nu_{m,+}' = \nu_{+}'$, so erhalten
wir zwei Bestimmungsgleichungen f"ur $\nu$ und $v_{s}$: 
\begin{displaymath}
\nu = \alpha + \beta - \alpha \frac{v_{s}}{c} - \beta \frac{v_{s}}{c},
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\nu = \alpha - \beta + \alpha \frac{v_{s}}{c} - \beta \frac{v_{s}}{c},
\end{displaymath}
die gel"ost werden durch:
\begin{displaymath}
\nu = \alpha - \frac{\beta^{2}}{\alpha} = \underline{59,96 \; Hz}, 
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; v_{s} = \frac{c\beta}{\alpha} =
\underline{7,98 \; m/s}. 
\end{displaymath}
Auf Grund dieser Parametrisierung erh"alt man eine Geschwindigkeit 
und Frequenz, die etwas kleiner als die wirkliche Geschwindigkeit
von $8 \; m/s$ und Frequenz $60 \; Hz$ ist. Dieses liegt daran, da"s
der Beobachter eine approximative,
und daher nicht ganz korrekte Parametrisierung verwendet hat
(siehe unten). \newline 
Zun"achst mu"s festgestellt werden, da"s der Beobachter die Zeitachse
so gelegt hat, da"s der Nullpunkt beim minimalen Abstand des 
Dampfers vom Beobachter liegt, also bei Punkt $E$ der obigen Skizze.
Denn f"ur $t=0$ ist 
$\nu_{m}' (t=0) = \nu = 60 \; Hz$. Da"s die gemessenen Frequenzen 
f"ur alle anderen Zeiten symmetrisch sind 
($\nu_{m}'(-t) - \nu = \nu - \nu_{m}'(+t))$, liegt an der Tatsache, 
da"s $v_{s}/c \ll 1$ und daher
\begin{displaymath}
\nu'(t) = \frac{\nu}{1 -(v_{s}/c) cos \theta_{s}} \approx
\nu (1 + \frac{v_{s}}{c} cos \theta_{s} ).
\end{displaymath}
Diese Approximation stimmt umso besser, je kleiner $cos \theta_{s}$ 
wird, d.h. je mehr sich der Dampfer dem Punkt $E$ n"ahert.
Mit $cos \theta_{s} = - x/s = - x/\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ und 
$x = v_{s} t_{s}$ folgt:
\begin{displaymath}
\nu'(t_{s}) \approx \nu - \frac{v_{s}^{2} \nu}{c} 
\frac{t_{s}}{\sqrt{v_{s}^{2} t_{s}^{2} + a^{2}}} 
\end{displaymath}
Man beachte auch, da"s die Zeit $t$ des Beobachters und die Zeit $t_{s}$
des Dampfers nur am Punkt $E$ exakt "ubereinstimmen. F"ur weitere 
Entfernungen ergibt sich auf Grund der endlichen Schallausbreitung 
eine Differenz. Dieser Unterschied ist aber wegen $v_{s}/c \ll 1$
f"ur $|cos \theta_{s}| < 0.5 $ vernachl"assigbar klein. Die zeitliche
"Anderung der Frequenzen ist f"ur $t \approx 0$:
\begin{displaymath}
\frac{d\nu'(t=0)}{dt} = - \frac{v_{s}^{2} \nu}{c a}.
\end{displaymath}
Aus den Messungen folgt $d\nu_{m}'(t=0)/dt = - \beta/\sqrt{\gamma}$,
daher folgt f"ur den Abstand $a$ des Dampfers vom Ufer:
\begin{displaymath}      
a = \frac{v_{s}^{2} \nu \sqrt{\gamma}}{c \beta} \approx 
\underline{800 \; m}.
\end{displaymath}
Man k"onnte bei der gesamten L"osung dieser Aufgabe nat"urlich auch
von der Annahme ausgehen, da"s bei einem Dampfer grunds"atzlich
$v_{s} \ll c$ sein mu"s. Dann kann man von vornherein eine 
Taylor- Entwicklung ansetzen und einfach die Parameter vergleichen.
\newline
Eine "ahnliche Methode wird benutzt, um die Geschwindigkeit und 
den Abstand von der Erde bei Satelliten zu messen. 
\end{document}
