\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 3}
\normalsize  
\vskip 10mm
Besprechung: \bf 25. November 1992 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
a) Der Strom $I$ ist gegeben durch
\begin{equation}
I = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(C U_{0}) = U_{0} \frac{d}{dt} \left( 
\frac{\epsilon_{0} A}{d_{0}+ a \cdot sin(\omega t)} \right) =
- \frac{\epsilon_{0} A U_{0} a \omega \; cos(\omega t)}
       {d_{0}^{2} (1 + (a/d_{0}) sin(\omega t))^{2}}  
\end{equation}
b) \underline{Spezielle L"osung}:
Man k"onnte die Amplituden des Grundtones und des ersten Obertones
mit der Integraldefinition der Fourierkoeffizienten berechnen. Dieses
Vorgehen erweist sich allerdings in diesem Fall bereits als 
au"serordentlich schwierig. Da nach Hinweis $a/d_{0} \ll 1$ ist, 
k"onnen wir nach Potenzen von $(a/d_{0}) sin(\omega t)$ entwickeln. Wegen
\begin{equation}
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{n} \; \; \; f"ur \; \; \; 
|x| < 1,
\end{equation}
folgt in zweiter Ordnung von $a/d_{0}$:
\begin{equation}
\frac{1}{1+(a/d_{0}) sin(\omega t)} \approx 1 - (\frac{a}{d_{0}})
sin(\omega t) + (\frac{a}{d_{0}})^{2} sin^{2}(\omega t) \pm .......
\end{equation}
und 
\begin{eqnarray}
I &=& \frac{\epsilon_{0} A U_{0}}{d_{0}} \frac{d}{dt}
\left( \frac{1}{1+(a/d_{0}) sin(\omega t)} \right) \\ &\approx&
- \frac{\epsilon_{0} A U_{0} a \omega}{d_{0}^{2}} \left(
cos(\omega t) - 2 (\frac{a}{d_{0}}) sin(\omega t) cos(\omega t) 
\right) \\ &=&
- \frac{\epsilon_{0} A U_{0} a \omega}{d_{0}^{2}} \left(
cos(\omega t) - (\frac{a}{d_{0}}) sin(2\omega t) \right)
\end{eqnarray}
Das Verh"altnis der Amplituden ist
\begin{equation}
\underline{\frac{I_{2}}{I_{1}} = \frac{a}{d_{0}}}
\end{equation}
Die Reihenentwicklung zu dieser L"osung wurde im "ubrigen in den
Rechen"ubungen am 4.11.92 auf Seite 3 angegeben. \newline
\underline{Allgemeine L"osung}: 
Die allgemeine L"osung zu dieser Aufgabe wurde ebenfalls in den
Rechen"ubungen am 4.11.92 diskutiert (Seite 2/3). In der Aufgabe 3 
dieser Rechen"ubungen setzen wir $z=i \epsilon e^{i\omega t}$ und
entwickeln die Potenzreihe gem"a"s:
\begin{eqnarray}
\frac{1}{1-i\epsilon e^{i\omega t}} &=& \sum_{n=0}^{\infty}
i^{n} \epsilon^{n} e^{in\omega t} = \sum_{n=0}^{\infty}
i^{n} \epsilon^{n} \left( cos(n\omega t) + i \; sin(n\omega t)
\right)  \nonumber \\
&=& (1 - \epsilon \; sin(\omega t) - \epsilon^{2} \; cos(2\omega t)
+ \epsilon^{3} \; sin(3\omega t) + \epsilon^{4} \; cos(4\omega t)
- \epsilon^{5} \; sin(5\omega t) \pm ....) \nonumber \\
&+& i \left( \epsilon \; cos(\omega t) - \epsilon^{2} \; sin(2\omega t)
- \epsilon^{3} \; cos(3\omega t) + \epsilon^{4} \; sin(4\omega t)
+ \epsilon^{5} cos(5\omega t) \pm .... \right) \nonumber
\end{eqnarray}
Andererseits erhalten wir f"ur die linke Seite der letzten Gleichung,
wobei wir mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitern:
\begin{displaymath}
\frac{1}{1-i\epsilon e^{i\omega t}} = \frac{(1+\epsilon \; sin(\omega t))
+ i \epsilon \; cos(\omega t)}{1+ 2\epsilon \; sin(\omega t) 
+ \epsilon^{2}}.      
\end{displaymath}
Vergleich der Imagin"arteile f"uhrt auf
\begin{displaymath}
\frac{\epsilon \; cos(\omega t)}{1+2\epsilon \; sin(\omega t)
+ \epsilon^{2}} = \epsilon \; cos(\omega t) - \epsilon^{2} sin(2\omega t)
- \epsilon^{3} \; cos(3\omega t) + \epsilon^{4} sin(4\omega t)
+ \epsilon^{5} \; cos(5\omega t) \pm ...
\end{displaymath}
Wir setzen $\epsilon = a/d_{0}$ und bemerken, da"s nach Aufgabenstellung
$\epsilon \ll 1$, also erst recht $\epsilon^{2} \ll 1$. Daher k"onnen
wir im Nenner der linken Seite $\epsilon^{2}$ durch 
$\epsilon^{2} \; sin^{2}(\omega t)$ und 
$(1+ 2 \epsilon \; sin(\omega t) + \epsilon^{2})$ durch
$(1+ \epsilon \; sin(\omega t))^{2}$ ersetzen. Die Summe auf der 
rechten Seite schreiben wir zus"atzlich in allgemeiner Form. Dieses
ergibt schlie"slich f"ur den Strom:
\begin{equation}
I = -\frac{\epsilon_{0} A U_{0} a \omega}{d_{0}^{2}}
\left[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left( \frac{a}{d_{0}} 
\right)^{2n} cos((2n+1)\omega t) + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}
\left( \frac{a}{d_{0}} \right)^{2n-1} sin(2n\omega t) \right] .
\end{equation}
F"ur das Verh"altnis der Amplituden des 1. Obertones zum Grundton erh"alt 
man das gleiche Ergebnis wie in der obigen speziellen L"osung. \newline   
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
a) \underline{Spezielle L"osung} \newline
Die Auslenkung und die Steigung des Seils m"ussen an der 
Verbindungsstelle $x=0$ der beiden Seile $a$ und $b$ "ubereinstimmen.
Dieses bedeutet:
\begin{equation}
\xi_{E}(0,t)+\xi_{R}(0,t) = \xi_{D}(0,t), \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{\partial\xi_{E}(0,t)}{\partial x} + 
\frac{\partial\xi_{R}(0,t)}{\partial x} =
\frac{\partial\xi_{D}(0,t)}{\partial x}
\end{equation}
Setzen wir die angegebenen Wellen ein, so erh"alt man
\begin{eqnarray}
A_{E} sin(-\omega t) + A_{R} sin(\omega t) &=& A_{D} sin(-\omega t) \\
A_{E} k_{a} cos(-\omega t) + A_{R} k_{a} cos(\omega t) &=&
A_{D} k_{b} cos(-\omega t)
\end{eqnarray}
oder
\begin{equation}
-A_{E} + A_{R} = -A_{D}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
A_{E} k_{a} + A_{R} k_{a}
= A_{D} k_{b}.
\end{equation}
Aufgel"ost nach $A_{R}$ und $A_{D}$ ergibt
\begin{equation}
\frac{A_{R}}{A_{E}} = \frac{k_{b}-k_{a}}{k_{b}+k_{a}} \; \; \; \; \; \; \;
\; \; \; \; \; \frac{A_{D}}{A_{E}} = \frac{2k_{a}}{k_{b}+k_{a}}.
\end{equation}
Die Wellenzahlen $k_{a}$ und $k_{b}$ k"onnen durch die Dichten 
ausgedr"uckt werden,
\begin{equation}
k = \frac{\omega}{c} = \omega \sqrt{\frac{\rho A}{F_{s}}},
\end{equation}
wobei $A$ der Querschnitt und $F_{s}$ die Spannungskraft bedeutet.
Diese beiden Gr"o"sen sind f"ur beide Seile gleich gro"s, daher
\begin{equation}
\frac{A_{R}}{A_{E}} = \frac{\sqrt{\rho_{b}} - \sqrt{\rho_{a}}}
                           {\sqrt{\rho_{b}} + \sqrt{\rho_{a}}}
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{A_{D}}{A_{E}} = \frac{2\sqrt{\rho_{a}}}
                           {\sqrt{\rho_{b}} + \sqrt{\rho_{a}}}.
\end{equation}
Zahlenwerte eingesetzt:
\begin{equation}
\frac{A_{R}}{A_{E}} = \underline{0,46} \; \; \; \; \; \;
\; \; \; \; \; \frac{A_{D}}{A_{E}} = \underline{0,54}.
\end{equation}   
b) \underline{Allgemeine L"osung} \newline
Der in der Aufgabenstellung gemachte Ansatz f"ur die drei Wellen
schlie"st schon die Kenntnis der Phasen f"ur die reflektierte und
durchgelassene Welle ein. Allgemeiner h"atten wir ansetzen k"onnen:
\begin{eqnarray}
\xi_{E} &=& A_{E} sin(k_{a}x - \omega t) \\
\xi_{R} &=& A_{R} sin(k_{a}x + \omega t) + B_{R} cos(k_{a}x + \omega t) \\
\xi_{D} &=& A_{D} sin(k_{b}x - \omega t) + B_{D} cos(k_{b}x - \omega t)
\end{eqnarray}
Die Stetigkeitsbedingung $\xi_{E}+\xi_{R}=\xi_{D}$ ergibt an der Stelle
$x=0$:
\begin{equation}
A_{E} sin(-\omega t) + A_{R} sin(\omega t) + B_{R} cos(\omega t)
= A_{D} sin(-\omega t) + B_{D} cos(-\omega t)
\end{equation}
oder:
\begin{equation}
(-A_{E} + A_{R} + A_{D}) sin(\omega t) = (-B_{R}+B_{D}) cos(\omega t)
\end{equation} 
Da diese Gleichung f"ur alle Zeiten gelten soll, m"ussen die Koeffizienten
f"ur die Sinusterme und Cosinusterme getrennt gleich Null werden:
\begin{equation}
A_{E} = A_{R} + A_{D}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
B_{R} = B_{D}.
\end{equation}
Aus der zweiten Stetigkeitsbedingung folgern wir entsprechend:
\begin{equation}
A_{E} k_{a} cos(-\omega t) + A_{R} k_{a} cos(\omega t)  
- B_{R} k_{a} sin(\omega t) = A_{D} k_{b} cos(-\omega t) 
- B_{D} k_{b} sin(-\omega t)
\end{equation}
Wiederum m"ussen die Koeffizienten der Sinusterme und Cosinusterme
getrennt betrachtet werden, woraus folgt:
\begin{equation}
A_{E} k_{a} + A_{R} k_{a} = A_{D} k_{b}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
-B_{R} k_{a} = B_{D} k_{b}.
\end{equation}
Die zweite Gleichung kann zusammen mit der oben hergeleiteten
Bedingung $B_{R}=B_{D}$ nur erf"ullt werden, wenn 
\begin{equation}
B_{R} = B_{D} = 0
\end{equation}
Unsere Annahme f"ur den einfachen Ansatz der Wellen war also 
gerechtfertigt.   \newline  
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Nach Vorlesung ist die Wellenl"ange der $n$-ten Eigenschwingung durch
$\lambda_{n} = 2 L/n$ gegeben, die Kreisfrequenz entsprechend durch
$\omega_{n} = k_{n} c = \pi n c/L$ oder auch
$\omega_{n} = (\pi n/L) \sqrt{F_{s}/\mu}$ mit der linearen 
Massendichte $\mu$. Nach "Ubung 2.2 sind die linearen Dichten der
kinetischen und potentiellen Energie:
\begin{equation}
\frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} \mu \left( 
\frac{\partial\xi}{\partial t} \right)^{2} \; \; \; \; \; \; \; 
\; \; \; \; \; \frac{dU}{dx} = \frac{1}{2} F_{s} \left(
\frac{\partial\xi}{\partial x} \right)^{2}.
\end{equation}
Aus
\begin{eqnarray}
\left( \frac{\partial\xi_{n}}{\partial t} \right) &=&
- 2 A_{n} \omega_{n} sin(\omega_{n} t) sin(\frac{\pi n}{L} x) \\
\left( \frac{\partial\xi_{n}}{\partial x} \right) &=&
2 A_{n} \frac{\pi n}{L} cos(\omega_{n} t) cos(\frac{\pi n}{L} x)
\end{eqnarray}
folgt 
\begin{eqnarray}
\frac{dT}{dx} &=& 2 F_{s} A_{n}^{2} \frac{\pi^{2} n^{2}}{L^{2}}
sin^{2}(\omega_{n} t) sin^{2}(\frac{\pi n}{L} x) \\
\frac{dU}{dx} &=& 2 F_{s} A_{n}^{2} \frac{\pi^{2} n^{2}}{L^{2}}
cos^{2}(\omega_{n} t) cos^{2}(\frac{\pi n}{L} x)
\end{eqnarray}
Die zeitliche Mittelung ergibt in beiden F"allen:
\begin{equation}
\overline{sin^{2}(\omega_{n} t)} = \overline{cos^{2}(\omega_{n}t)}
= \frac{1}{2},
\end{equation}
daher 
\begin{equation}
\overline{\frac{dE}{dx}} = \overline{\frac{dT}{dx}} + 
\overline{\frac{dU}{dx}} = F_{s} A_{n}^{2} 
\frac{\pi^{2} n^{2}}{L^{2}} \left( sin^{2}(\frac{\pi n}{L} x)
+ cos^{2}(\frac{\pi n}{L} x) \right)
= F_{s} A_{n}^{2} \frac{\pi^{2} n^{2}}{L^{2}}.
\end{equation}
Als Endergebnis erhalten wir
\begin{equation}
\overline{E} = \int_{0}^{L} \overline{\frac{dE}{dx}} dx =
\underline{F_{s} \frac{\pi^{2}}{L} A_{n}^{2} n^{2}}.
\end{equation}
Die mittlere Energie nimmt also quadratisch mit $n$ zu. Diese gewaltige
Energiezunahme der Obert"one kann nur abgefangen werden, wenn die
Amplitude mit $A_{n} \sim 1/m \; (m>n)$ abnimmt. Hieraus kann eine
Nebenbedingung f"ur die Gr"o"se der Fourierkoeffizienten hergeleitet
werden. \newline  
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Der Laplace Operator $\Delta$ in der allgemeinen dreidimensionalen
Wellengleichung
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}} = c^{2} \Delta \xi =
c^{2} \left( \frac{\partial^{2}\xi}{\partial x^{2}} +
\frac{\partial^{2}\xi}{\partial y^{2}} + 
\frac{\partial^{2}\xi}{\partial z^{2}} \right)
\end{equation}
ist f"ur kugelsymmetrische Probleme durch 
\begin{equation}
\Delta \xi = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} \left(
r^{2} \frac{\partial \xi}{\partial r} \right)
=  \frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r \xi).
\end{equation}
gegeben. Die Wellengleichung erh"alt dann die Form:
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (r \xi) =
c^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r \xi).
\end{equation}
Die Funktion $r \xi(r,t)$ erf"ullt also unsere normale Wellengleichung,
hat daher die allgemeine L"osung 
$r \xi(r,t) = \xi_{1}(r-ct) + \xi_{2}(r+ct)$. Dieses kann man auch
schreiben als: 
\begin{equation}
\xi(r,t) = \frac{1}{r} \left( \xi_{1}(r-ct) + \xi_{2}(r+ct) \right).
\end{equation}
Die Form der obigen L"osung kann man nat"urlich durch 
Energiebetrachtung einer auslaufenden Kugelwelle erraten.
Spezielle L"osungen sind die auslaufenden harmonischen Kugelwellen
\begin{equation}
\xi(r,t) = \frac{A}{r} sin(kr - \omega t)
\end{equation}
und die stehenden Kugelwellen
\begin{equation}
\xi(r,t) = \frac{A}{r} (sin(kr-\omega t)+sin(kr+\omega t) ) =
-\frac{2A}{r} sin(kr) cos(\omega t).
\end{equation}
\begin{itemize}
\item Man beachte: Die auslaufenden Wellen 
$\xi(r,t)= (1/r) cos(kr-\omega t)$ und stehenden Kugelwellen
$\xi(r,t)= (2A/r) cos(kr) cos(\omega t)$ erf"ullen zwar auch die
Wellengleichung, sind aber unphysikalisch, da die Amplitude f"ur
$r \to 0$ "uber alle Grenzen w"achst, d.h. 
$\lim_{r \to 0} (1/r)cos(kr) = \infty$. Im Gegensatz dazu gilt
f"ur die Sinusl"osung: $\lim_{r \to 0} (1/r)sin(kr) = k$.
\end{itemize}   
Als Nebenbedingung m"ussen wir fordern, da"s an den Kugelw"anden
keine Luftschwingungen stattfinden, d.h. $\xi(R,t)=0$:
\begin{equation}
\frac{sin(kR)}{R} = 0.
\end{equation}
Diese Bedingung wird erf"ullt f"ur alle
\begin{equation}
k_{n} = \frac{n\pi}{R}, \; \; \; n=1,2,3,....
\end{equation}
Mit $k=\omega/c = 2\pi \nu/c$ k"onnen wir auch schreiben
\begin{equation}
\nu_{n} = \frac{n c}{2R} = \underline{n \cdot 33 \; Hz}, \; \; \; 
n=1,2,3,....
\end{equation}   
\end{document}
