Physik III, WS 1992/93

Lösungen zur Übung Nr. 2

Besprechung: 11. November 1992
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Nach Vorlesung kann die Schallgeschwindigkeit in einem Gas durch

$$c = \sqrt{\frac{\kappa R T}{M_{m}}}$$

ausgedrückt werden. Hierbei ist $\kappa$ der Adiabatenkoeffizient, $R$ die allgemeine Gaskonstante, $T$ die Temperatur und $M_{m}$ die Molmasse. Die mittlere quadratische Geschwindigkeit ist (siehe Physik I)

$$\sqrt{\overline{v^{2}}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{m}}}$$

Auflösen nach $c$ und Einsetzen der Zahlenwerte ergibt

$$c = \sqrt{\frac{\kappa}{3}} \; \sqrt{\overline{v^{2}}} = \underline{315 \; m/s}.$$

Aufgabe 2: (6 Punkte)
Bei der Schwingung erfährt das Seilstück mit der Länge $\Delta x$ eine Dehnung $\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta \xi)^{2}} - \Delta x$.

Dieses kann man ausdrücken (siehe Anmerkung zur Aufgabe):

$$\Delta l = \left[ \sqrt{1+\left(\frac{\partial\xi}{\partial x}\right)^{2}} -1 \right] \Delta x. \nonumber$$

Für $(\partial \xi/\partial x)^{2} \ll 1$ ergibt die Taylorentwicklung

$$\Delta l \approx \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{\par... ...ac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2} \Delta x. \nonumber$$

Die potentielle Energie bei der Dehnung ist dann (siehe Hinweis zur Aufgabe):

$$\Delta U = F_{s} \Delta l = \frac{1}{2} F_{s} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2} \Delta x, \nonumber$$

also

$$\underline{\frac{dU}{dx} = \frac{1}{2} F_{s} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}}. \nonumber$$

Die lineare kinetische Energiedichte ist

$$\frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} \mu \left( \frac{\partial \xi}{\partial t} \right)^{2} , \nonumber$$

mit der linearen Massendichte $\mu$. Da die Welle in positiver $x$- Richtung laufen soll, gilt $\xi(x,t)=\xi(x-ct)$. Mit $u=x-ct$ ist dann

$$\frac{\partial \xi}{\partial t} = -c \frac{d \xi}{d u} \; ... ...ac{\partial \xi}{\partial x} = \frac{d \xi}{d u}. \nonumber$$

und

$$\left( \frac{\partial \xi}{\partial t} \right)^{2} = c^{2} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}. \nonumber$$

• Man beachte: Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn die Welle in negativer $x$- Richtung läuft. Für die allgemeine Lösung $\xi(x,t)=\xi_{1}(x-ct)+\xi_{2}(x+ct)$ der Wellengleichung gilt diese Formel dagegen nicht. In diesem Fall erhält man stattdessen $(\partial \xi/\partial t)^{2} = c^{2} (\partial \xi/\partial x)^{2} - 4 c^{2} (d\xi_{1}/du)(d\xi_{2}/du)$.

Diesen obigen Ausdruck setzen wir in die Formel für $dT/dx$ ein und erhalten

$$\frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} \mu c^{2} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}. \nonumber$$

Nach Vorlesungsscript (Seite 13) ist aber $c^{2} = F_{s}/\mu$, daher

$$\underline{ \frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} F_{s} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}.} \nonumber$$

Aufgabe 3: (5 Punkte)
Nach Vorlesung ist der Schallpegel (Lautstärke)

$$L = 10 log(\frac{\overline{I}}{I_{0}}) \; \; mit \; \; I_{0}=10^{-12} \; \frac{W}{m^{2}}.$$

Aufgelöst nach $\overline{I}$ und Einsetzen der Zahlenwerte

$$\overline{I} = 10^{-12} 10^{L/10} \; \frac{W}{m^{2}} = \lbr... ... 10 \; W/m^{2} \; & \; f''ur \; & \; L=130 \; Db \end{array}$$ (1)

Nach Vorlesung Seite 27 ist der zeitliche Mittelwert der Intensität

$$\overline{I} = \frac{1}{2} \rho \omega^{2} c \xi_{0}^{2},$$

und daher ( $\omega = 2 \pi \nu$)

$$\xi_{0} = \frac{1}{2\pi \nu} \sqrt{\frac{2 \overline{I}}{\rho c}}.$$

Für Luft bei $20^{o} \; C$ und Normaldruck ist $c = 331 \; m/s$ und $\rho = 1,2 \; kg/m^{3}$. Zahlenwerte eingesetzt ergibt

$$\underline{ \xi_{0} = \lbrace \begin{array}{lll} 1,13 \cd... ...10^{-5} \; m \; & \; f''ur \; & \; L=130 \; Db \end{array} }$$ (2)

Aufgabe 4: (5 Punkte)
Nach Vorlesung ist die resultierende Welle zweier harmonischer Wellen $\xi_{1} = \xi_{0} cos\omega_{a}t$ und $\xi_{2} = \xi_{0} cos\omega_{b}t$ mit dicht nebeneinander liegenden Frequenzen $\omega_{a}$ und $\omega_{b}$ durch

$$\xi(t) = A(t) cos\omega t, \; \; \; \; \; A(t) = 2 \xi_{0... ...t, \; \; \; \; \; \omega = \frac{\omega_{a}+\omega_{b}}{2},$$

gegeben, mit der modulierten Amplitude $A(t)$ und der mittleren Frequenz $\omega$. Das menschliche Ohr ist ein Empfänger mit quadratischem Gesetz, es reagiert nicht auf $A(t)$, sondern auf $A^{2}(t)$, d.h.

$$A^{2}(t) = 4 \xi_{0}^{2} cos^{2}(\frac{\omega_{a}-\omega_{b}}{2})t = 2 \xi_{0}^{2} [1 + cos(\omega_{a}-\omega_{b})t ].$$

Die wahrgenommenen Kreisfrequenzen der Schwebung sind also

$$\omega_{Schwebung} = \omega_{a}-\omega_{b}$$

oder für die Frequenzen:

$$\nu_{Schwebung} = \nu_{a} - \nu_{b}.$$

Da die Stimmgabel mit der niedrigsten Frequenz angegeben war (500 $Hz$), muß die Stimmgabel mit der höchsten Frequenz $508 \; Hz$ haben. Für die mittleren Frequenzen gibt es zwei Lösungen. Nach einigem Probieren findet man:

$$\underline{ I. \; \; \; \nu_{1} = 500 \; Hz, \; \; \; \; \... ...; \; \nu_{3} = 503 \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{4}=508 \; Hz. }$$

mit den Schwebungsfrequenzen

$$\nu_{12}=1 \; Hz, \; \; \; \nu_{13}=3 \; Hz, \; \; \; \nu_{... ...; Hz, \; \; \; \nu_{24}=7 \; Hz, \; \; \; \nu_{34}=5 \; Hz.$$

oder

$$\underline{ II. \; \; \; \nu_{1} = 500 \; Hz, \; \; \; \; ... ...; \; \nu_{3} = 507 \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{4}=508 \; Hz. }$$

mit den Schwebungsfrequenzen

$$\nu_{12}= 5 \; Hz, \; \; \; \nu_{13}=7 \; Hz, \; \; \; \nu_... ..., \; \; \; \nu_{24} = 3 \; Hz, \; \; \; \nu_{34} = 1 \; Hz.$$