\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 2mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 2}
\normalsize  
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Besprechung: \bf 11. November 1992 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (4 Punkte) \newline
Nach Vorlesung kann die Schallgeschwindigkeit in einem Gas durch
\begin{displaymath}
c = \sqrt{\frac{\kappa R T}{M_{m}}}
\end{displaymath}
ausgedr"uckt werden. Hierbei ist $\kappa$ der Adiabatenkoeffizient,
$R$ die allgemeine Gaskonstante, $T$ die Temperatur und $M_{m}$ die
Molmasse. Die mittlere quadratische Geschwindigkeit ist (siehe
Physik I) 
\begin{displaymath}
\sqrt{\overline{v^{2}}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{m}}}
\end{displaymath}
Aufl"osen nach $c$ und Einsetzen der Zahlenwerte ergibt
\begin{displaymath}
c = \sqrt{\frac{\kappa}{3}} \; \sqrt{\overline{v^{2}}} =
\underline{315 \; m/s}.
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (6 Punkte) \newline
Bei der Schwingung erf"ahrt das Seilst"uck mit der L"ange $\Delta x$ eine
Dehnung $\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta \xi)^{2}} - \Delta x$.
\newline
\vskip 30mm
Dieses kann man ausdr"ucken (siehe Anmerkung zur Aufgabe):
\begin{equation}
\Delta l = \left[ \sqrt{1+\left(\frac{\partial\xi}{\partial x}\right)^{2}}
-1 \right] \Delta x. \nonumber
\end{equation}
F"ur $(\partial \xi/\partial x)^{2} \ll 1$ ergibt die Taylorentwicklung 
\begin{equation}
\Delta l \approx \left[ 1 + \frac{1}{2} \left( 
\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2} -1 \right] \Delta x =
\frac{1}{2} \left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2} \Delta x.
\nonumber
\end{equation}
Die potentielle Energie bei der Dehnung ist dann (siehe Hinweis zur
Aufgabe): 
\begin{equation}
\Delta U = F_{s} \Delta l = \frac{1}{2} F_{s} \left( 
\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2} \Delta x, \nonumber
\end{equation}
also
\begin{equation}
\underline{\frac{dU}{dx} = \frac{1}{2} F_{s} \left( 
\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}}. \nonumber
\end{equation} 
Die lineare kinetische Energiedichte ist
\begin{equation}
\frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} \mu \left( 
\frac{\partial \xi}{\partial t} \right)^{2} , \nonumber
\end{equation}
mit der linearen Massendichte $\mu$. Da die Welle in positiver
$x$- Richtung laufen soll, gilt $\xi(x,t)=\xi(x-ct)$. 
Mit $u=x-ct$ ist dann
\begin{equation}
\frac{\partial \xi}{\partial t} = -c \frac{d \xi}{d u}
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{\partial \xi}{\partial x} =  
\frac{d \xi}{d u}. \nonumber
\end{equation}
und 
\begin{equation}
\left( \frac{\partial \xi}{\partial t} \right)^{2} = c^{2}
\left( \frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}. \nonumber
\end{equation}
\begin{itemize}
\item
Man beachte: Dasselbe Ergebnis h"atten wir erhalten, wenn 
die Welle in negativer $x$- Richtung l"auft. F"ur die allgemeine
L"osung $\xi(x,t)=\xi_{1}(x-ct)+\xi_{2}(x+ct)$ der
Wellengleichung gilt diese Formel dagegen nicht. In diesem Fall erh"alt
man stattdessen $(\partial \xi/\partial t)^{2} = 
c^{2} (\partial \xi/\partial x)^{2} - 4 c^{2} (d\xi_{1}/du)(d\xi_{2}/du)$.
\end{itemize}
Diesen obigen Ausdruck setzen wir in die Formel f"ur $dT/dx$ ein und
erhalten 
\begin{equation}
\frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} \mu c^{2} \left(
\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}. \nonumber
\end{equation}
Nach Vorlesungsscript (Seite 13) ist aber $c^{2} = F_{s}/\mu$, daher
\begin{equation}
\underline{ \frac{dT}{dx} = \frac{1}{2} F_{s} \left( 
\frac{\partial \xi}{\partial x} \right)^{2}.} \nonumber
\end{equation}   
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Nach Vorlesung ist der Schallpegel (Lautst"arke) 
\begin{displaymath}
L = 10 log(\frac{\overline{I}}{I_{0}}) \; \; mit \; \; I_{0}=10^{-12}
\; \frac{W}{m^{2}}.
\end{displaymath}
Aufgel"ost nach $\overline{I}$ und Einsetzen der Zahlenwerte
\begin{equation}
\overline{I} = 10^{-12} 10^{L/10} \; \frac{W}{m^{2}} = \lbrace
\begin{array}{lll} 
10^{-12} \; W/m^{2} \; & \; f"ur \; &  \; L=0 \; Db \\
10       \; W/m^{2} \; & \; f"ur \; &  \; L=130 \; Db
\end{array}
\end{equation}
Nach Vorlesung Seite 27 ist der zeitliche Mittelwert der Intensit"at
\begin{displaymath}
\overline{I} = \frac{1}{2} \rho \omega^{2} c \xi_{0}^{2},
\end{displaymath}
und daher ($\omega = 2 \pi \nu$)
\begin{displaymath}
\xi_{0} = \frac{1}{2\pi \nu} \sqrt{\frac{2 \overline{I}}{\rho c}}.
\end{displaymath}
F"ur Luft bei $20^{o} \; C$ und Normaldruck ist
$c = 331 \; m/s$ und $\rho = 1,2 \; kg/m^{3}$. Zahlenwerte eingesetzt 
ergibt
\begin{equation}
\underline{
\xi_{0} = \lbrace \begin{array}{lll}
1,13 \cdot 10^{-11} \; m \; & \; f"ur \; & \; L=0 \; Db \\
3,57 \cdot 10^{-5}  \; m \; & \; f"ur \; & \; L=130 \; Db
\end{array} }
\end{equation}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Nach Vorlesung ist die resultierende Welle zweier harmonischer Wellen
$\xi_{1} = \xi_{0} cos\omega_{a}t$ und 
$\xi_{2} = \xi_{0} cos\omega_{b}t$ mit dicht nebeneinander liegenden
Frequenzen $\omega_{a}$ und $\omega_{b}$ durch
\begin{displaymath}
\xi(t) = A(t) cos\omega t, \; \; \; \; \; 
A(t) = 2 \xi_{0} cos(\frac{\omega_{a}-\omega_{b}}{2})t, \; \; \; \; \; 
\omega = \frac{\omega_{a}+\omega_{b}}{2},
\end{displaymath}
gegeben, mit der modulierten Amplitude $A(t)$ 
und der mittleren Frequenz $\omega$.
Das menschliche Ohr ist ein Empf"anger mit quadratischem Gesetz, es
reagiert nicht auf $A(t)$, sondern auf $A^{2}(t)$, d.h.
\begin{displaymath}
A^{2}(t) = 4 \xi_{0}^{2} cos^{2}(\frac{\omega_{a}-\omega_{b}}{2})t
= 2 \xi_{0}^{2} [1 + cos(\omega_{a}-\omega_{b})t ].
\end{displaymath}
Die wahrgenommenen Kreisfrequenzen der Schwebung sind also
\begin{displaymath}
\omega_{Schwebung} = \omega_{a}-\omega_{b}
\end{displaymath}
oder f"ur die Frequenzen:
\begin{displaymath}
\nu_{Schwebung} = \nu_{a} - \nu_{b}.
\end{displaymath}
Da die Stimmgabel mit der niedrigsten Frequenz angegeben war (500 $Hz$),
mu"s die Stimmgabel mit der h"ochsten Frequenz $508 \; Hz$ haben.
F"ur die mittleren Frequenzen gibt es zwei L"osungen. 
Nach einigem Probieren findet man: 
\begin{displaymath}
\underline{
I. \; \; \; \nu_{1} = 500 \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{2}=501 \; Hz, \; \; \; 
\; \; \nu_{3} = 503 \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{4}=508 \; Hz. }
\end{displaymath}
mit den Schwebungsfrequenzen
\begin{displaymath}
\nu_{12}=1 \; Hz, \; \; \; \nu_{13}=3 \; Hz, \; \; \; \nu_{14}=8 \; Hz,
\; \; \; \nu_{23}=2 \; Hz, \; \; \; \nu_{24}=7 \; Hz, \; \; \; 
\nu_{34}=5 \; Hz.
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\underline{
II. \; \; \; \nu_{1} = 500 \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{2}=505 \; Hz, \; \; 
\;  \; \; \nu_{3} = 507 \; Hz, \; \; \; \; \; \nu_{4}=508 \; Hz. }
\end{displaymath}
mit den Schwebungsfrequenzen
\begin{displaymath}
\nu_{12}= 5 \; Hz, \; \; \; \nu_{13}=7 \; Hz, \; \; \; \nu_{14}=8 \; Hz,
\; \; \; \nu_{23} = 2 \; Hz, \; \; \; \nu_{24} = 3 \; Hz, \; \; \; 
\nu_{34} = 1 \; Hz.
\end{displaymath} 
\end{document}
