Physik III, WS 1992/93
Lösungen zur Übung Nr. 1
Besprechung: 4. November 1992
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Wegen der Identität
kann dieser Wellenberg auch als
geschrieben werden. Vergleich mit der allgemeinen Lösung
der Wellengleichung zeigt, daß es sich a) um eine Welle handelt, die in
negativer -Richtung läuft, und b)
.
c) Skizze:
Aufgabe 2: (5 Punkte)
a) Spezielle Lösung mit trigonometrischen Formeln:
Wir benutzen die einfache trigonometrische Formel
Die Überlagerung läßt sich schreiben als
Dieser Ausdruck ergibt sicher eine harmonische Welle der Form
falls
Da mit den gegebenen Werten für und
gilt auch
und damit
Daher folgt für die Phase: .
Entsprechend für die Amplitude:
b) Allgemeine Lösung mit trigonometrischen Formeln
Falls jemand die kompliziertere Formel
gefunden hat, so erhält er die allgemeinere Lösung für die Summe
:
Dieses ist eine harmonische Welle mit der Phase und Amplitude
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt die gleichen Ergebnisse wie in Teil a).
Mit dieser Herleitung sieht man aber, daß die Überlagerung zweier
harmonischer Wellen mit gleicher Amplitude, Frequenz und Wellenlänge
immer eine harmonische
Welle ergibt, unabhängig von den Phasen und der
Einzelwellen. Mit der einfachen Formel von Lösung a) läßt sich dieser
Sachverhalt nicht zeigen. Daher haben wir in der
Aufgabestellung spezielle Werte für und
angegeben, für die der Beweis relativ einfach ist.
c) Lösung mit komplexen Zahlen:
Die Lösung von Teil b) kann man in eleganter Weise auch mit komplexen
Zahlen schreiben. Um die Anwendung von komplexen Zahlen zu zeigen,
geben wir noch einmal die vollständige Herleitung.
Die gegebenen harmonische Wellen lassen sich darstellen als Realteil
der komplexen Zahlen
Die Überlagerung der zwei harmonischen Wellen mit Phasen
und ist dann
Auf Grund der allgemeinen Beziehung
folgt in unserem speziellen Fall
mit dem Realteil
Die weitere Rechnung geht wie in Teil b).
Aufgabe 3: (4 Punkte)
Nach Vorlesung ist die Geschwindigkeit eines transversalen Wellenberges
auf einer gespannten Saite durch
mit der linearen
Massendichte und der Saitenspannung gegeben. Da die Masse
des Drahtes gegenüber der Masse der Bleikugel vernachlässigt werden
kann, ist die Saitenspannung auf der gesamten Länge konstant und durch
gegeben, wobei hier die unbekannte
Gravitationsbeschleunigung des Planeten ist. Daher ist die
Phasengeschwindigkeit
. Aufgelöst nach ergibt mit
Einsetzen der Zahlenwerte:
Aufgabe 4: (6 Punkte)
a) Lösung für .
Die Auslenkung der -ten Masse aus der Ruhelage gehorcht bei
Gültigkeit des Hookschen Gesetzes (kleine Auslenkungen) der
Bewegungsgleichung
Bei großer Wellenlänge im Vergleich zum Abstand kann eine
kontinuierliche Näherung angenommen werden. Dieses bedeutet, daß sich
die Auslenkungen benachbarter Massen nur wenig voneinander unterscheiden:
Dann liefert die Taylorentwicklung:
und damit
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung ergibt
Vergleich mit der allgemeinen Wellengleichung ergibt für die
Phasengeschwindigkeit
Die Zahlenwerte für diese Aufgabe wurden so getrimmt, daß die
Schallgeschwindigkeit in Stahl herauskommt.
b) Lösung für beliebiges .
Die Aufgabe kann natürlich auch für beliebige Wellenlängen
gelöst werden. Hierzu machen wir den naheliegenden Ansatz einer
harmonischen Welle
. Die Lösung
gestaltet sich am einfachsten, wenn man mit komplexen Zahlen rechnet.
Daher schreiben wir die harmonische Welle als Realteil der komplexen
Auslenkung
Einsetzen in die Bewegungsgleichung führt auf
oder
Für die Phasengeschwindigkeit ergibt sich
Wir beobachten also Dispersion, d.h. die Phasengeschwindigkeit hängt von
der Wellenlänge ab (
). Für den Grenzfall
der vorliegenden Aufgabenstellung kann
approximiert werden, sodaß wiederum
c) Lösung für
In diesem Fall nimmt komplexe Werte an. Zusatzaufgabe für
Leute, die bis hierin alles verstanden haben:
Diskutieren Sie diesen Grenzfall.
Harm Fesefeldt
2007-08-21