\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 1}
\normalsize  
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Besprechung: \bf 4. November 1992 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Wegen der Identit"at
\begin{displaymath}
-ax^{2} -bt^{2} -2 \sqrt{ab} \; xt = -a (x^{2}+\frac{b}{a} t^{2} +
2\sqrt{\frac{b}{a}} \; xt) = -a (x+\sqrt{\frac{b}{a}} \; t)^{2}
\end{displaymath}
kann dieser Wellenberg auch als
\begin{displaymath}
f(x,t) = e^{-a(x+\sqrt{b/a} \; t)^{2}}
\end{displaymath}
geschrieben werden. Vergleich mit der allgemeinen L"osung $f(x \pm ct)$
der Wellengleichung zeigt, da"s es sich a) um eine Welle handelt, die in
\underline{negativer} $x$-Richtung l"auft, und b) 
$c=\sqrt{b/a} = 0,25 \; cm \cdot s^{-1}$. \newline
c) Skizze: \newline
\vskip 50mm
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
a) \underline{Spezielle L"osung mit trigonometrischen Formeln:} \newline
Wir benutzen die einfache trigonometrische Formel
\begin{displaymath}
cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \; cos\beta - sin\alpha \; sin\beta.
\end{displaymath}
Die "Uberlagerung l"a"st sich schreiben als
\begin{eqnarray}
y = y_{1}+y_{2} = y_{0} &[& cos(kx-\omega t) cos\phi_{1} - 
sin(kx-\omega t) sin\phi_{1}  \nonumber \\
&+& cos(kx-\omega t) cos\phi_{2} -
sin(kx-\omega t) sin\phi_{2} ] \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{displaymath}
y=y_{0} [ cos(kx-\omega t) (cos\phi_{1} +cos\phi_{2} )
- sin(kx-\omega t) (sin\phi_{1}+ sin\phi_{2}) ]
\end{displaymath}
Dieser Ausdruck ergibt sicher eine harmonische Welle der Form
\begin{displaymath}
y=A \; cos(kx-\omega t +\phi) = A \; [ cos(kx- \omega t) cos\phi
 - sin(kx-\omega t) sin\phi ] ,
\end{displaymath}
falls 
\begin{eqnarray}
A \; cos\phi &=& y_{0} (cos\phi_{1} + cos\phi_{2} ) \nonumber \\
A \; sin\phi &=& y_{0} (sin\phi_{1} + sin\phi_{2} ) \nonumber 
\end{eqnarray}
Da mit den gegebenen Werten f"ur $\phi_{1}$ und $\phi_{2}$ 
\begin{displaymath}
cos\phi_{1} = sin\phi_{2}, \; \; \; \; \; cos\phi_{2} = sin\phi_{1},
\end{displaymath}
gilt auch
\begin{displaymath}
cos\phi_{1} + cos\phi_{2} = sin\phi_{1} + sin\phi_{2} 
\end{displaymath}
und damit 
\begin{displaymath}
A cos\phi = A sin\phi .
\end{displaymath}
Daher folgt f"ur die Phase: \underline{$\phi = 45^{o}$}. \newline
Entsprechend f"ur die Amplitude:
\begin{displaymath}
A = \frac{y_{0} (cos\phi_{1} + cos\phi_{2})}{cos\phi} =
\frac{2 ( \sqrt{3}/2 + 1/2)}{\sqrt{2}/2} = \underline{3,86 \; cm}. 
\end{displaymath}
b) \underline{Allgemeine L"osung mit trigonometrischen Formeln} \newline
Falls jemand die kompliziertere Formel
\begin{displaymath}
cos \alpha + cos \beta = 2 cos (\frac{\alpha - \beta}{2}) \; 
                           cos (\frac{\alpha + \beta}{2})
\end{displaymath}
gefunden hat, so erh"alt er die allgemeinere L"osung f"ur die Summe 
$y = y_{1}+y_{2}$:
\begin{displaymath}
y = 2 y_{0} cos (\frac{\phi_{1}-\phi_{2}}{2}) \; 
            cos (kx - \omega t + \frac{\phi_{1}+\phi_{2}}{2}).
\end{displaymath}
Dieses ist eine harmonische Welle mit der Phase und Amplitude
\begin{eqnarray}
\phi &=& \frac{\phi_{1}+\phi_{2}}{2} \nonumber \\  
A &=& 2 y_{0} cos(\frac{\phi_{1}-\phi_{2}}{2}) . \nonumber
\end{eqnarray}
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt die gleichen Ergebnisse wie in Teil a).
Mit dieser Herleitung sieht man aber, da"s die "Uberlagerung zweier
harmonischer Wellen mit gleicher Amplitude, Frequenz und Wellenl"ange 
immer eine harmonische
Welle ergibt, unabh"angig von den Phasen $\phi_{1}$ und $\phi_{2}$ der
Einzelwellen. Mit der einfachen Formel von L"osung a) l"a"st sich dieser
Sachverhalt nicht zeigen. Daher haben wir in der 
Aufgabestellung spezielle Werte f"ur $\phi_{1}$ und $\phi_{2}$ 
angegeben, f"ur die der Beweis relativ einfach ist. \newpage  
c) \underline{L"osung mit komplexen Zahlen:} \newline
Die L"osung von Teil b) kann man in eleganter Weise auch mit komplexen
Zahlen schreiben. Um die Anwendung von komplexen Zahlen zu zeigen, 
geben wir noch einmal die vollst"andige Herleitung. \newline
Die gegebenen harmonische Wellen lassen sich darstellen als Realteil 
der komplexen Zahlen
\begin{displaymath}
z_{1,2} = y_{0} e^{i(kx - \omega t +\phi_{1,2})}.
\end{displaymath}
Die "Uberlagerung der zwei harmonischen Wellen mit Phasen $\phi_{1}$
und $\phi_{2}$ ist dann
\begin{displaymath}
z = y_{0} ( e^{i(kx - \omega t + \phi_{1})} + e^{i(kx- \omega t 
+\phi_{2})} )
\end{displaymath}
Auf Grund der allgemeinen Beziehung
\begin{displaymath}
e^{ix} + e^{iy} = 2 cos (\frac{x-y}{2}) e^{i(\frac{x+y}{2})}
\end{displaymath}
folgt in unserem speziellen Fall
\begin{displaymath}
z = 2 y_{0} cos(\frac{\phi_{1}-\phi_{2}}{2}) \; 
    e^{i(kx-\omega t + \frac{\phi_{1}+\phi_{2}}{2})},
\end{displaymath}
mit dem Realteil
\begin{displaymath}
y = 2 y_{0} cos(\frac{\phi_{1}-\phi_{2}}{2}) \;
    cos(kx - \omega t +\frac{\phi_{1}+\phi_{2}}{2}).
\end{displaymath} 
Die weitere Rechnung geht wie in Teil b).
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (4 Punkte) \newline
Nach Vorlesung ist die Geschwindigkeit eines transversalen Wellenberges
auf einer gespannten Saite durch $c = \sqrt{F_{s}/\mu}$ mit der linearen
Massendichte $\mu$ und der Saitenspannung $F_{s}$ gegeben. Da die Masse
des Drahtes gegen"uber der Masse der Bleikugel vernachl"assigt werden
kann, ist die Saitenspannung auf der gesamten L"ange konstant und durch
$F_{s} = m g$ gegeben, wobei $g$ hier die unbekannte 
Gravitationsbeschleunigung des Planeten ist. Daher ist die 
Phasengeschwindigkeit $c=\sqrt{m g/\mu}$. Aufgel"ost nach $g$ ergibt mit
Einsetzen der Zahlenwerte:
\begin{equation}
g = \frac{\mu c^{2}}{m} = \frac{3,1 \cdot 10^{-4}}{0,085}
\left( \frac{1,5}{0.083} \right)^{2} \; 
\frac{kg \cdot m^{2}}{m \cdot kg \cdot s^{2}} = 
\underline{1,19 \; m \; s^{-2}} .  \nonumber
\end{equation}
\newpage
\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (6 Punkte) \newline
a) \underline{L"osung f"ur $a \ll \lambda$}. \newline 
Die Auslenkung $\psi_{n}$ der $n$-ten Masse aus der Ruhelage gehorcht bei
G"ultigkeit des Hookschen Gesetzes (kleine Auslenkungen) der 
Bewegungsgleichung
\begin{displaymath}
m \frac{d^{2} \psi_{n}}{dt^{2}} = D(\psi_{n+1}-\psi_{n})
-D(\psi_{n} - \psi_{n-1}).
\end{displaymath}
\vskip 45mm
Bei gro"ser Wellenl"ange $\lambda$ im Vergleich zum Abstand $a$ kann eine
kontinuierliche N"aherung angenommen werden. Dieses bedeutet, da"s sich
die Auslenkungen benachbarter Massen nur wenig voneinander unterscheiden:  
\begin{displaymath}
\psi_{n}(t) \rightarrow \psi(x,t).
\end{displaymath}
Dann liefert die Taylorentwicklung:
\begin{eqnarray}
\psi_{n+1}(t) &=& \psi(x+a,t) \approx \psi(x,t) 
+ a \frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{a^{2}}{2}
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} + \; \cdot\cdot\cdot \nonumber \\
\psi_{n-1}(t) &=& \psi(x-a,t) \approx \psi(x,t)
- a \frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{a^{2}}{2} 
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} + \; \cdot\cdot\cdot \nonumber
\end{eqnarray}
und damit
\begin{eqnarray}
\psi_{n+1} - \psi_{n} &=& a \frac{\partial \psi}{\partial x}
+ \frac{a^{2}}{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} + \;
\cdot\cdot\cdot \nonumber \\
\psi_{n}-\psi_{n-1}   &=& a \frac{\partial \psi}{\partial x}
- \frac{a^{2}}{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} + \;
\cdot\cdot\cdot \nonumber
\end{eqnarray}
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung ergibt
\begin{displaymath}
\underline{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} = a^{2} \frac{D}{m}
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} }
\end{displaymath}
Vergleich mit der allgemeinen Wellengleichung ergibt f"ur die 
Phasengeschwindigkeit
\begin{displaymath}
c = a \sqrt{\frac{D}{m}} = 5 \cdot 10^{-10} 
\sqrt{\frac{9,4}{9,4 \cdot 10^{-26}}} = \underline{5000 \; m \cdot s^{-1}}.
\end{displaymath}
Die Zahlenwerte f"ur diese Aufgabe wurden so getrimmt, da"s die 
Schallgeschwindigkeit in Stahl herauskommt.
\newpage
b) \underline{L"osung f"ur beliebiges $\lambda$}. \newline
Die Aufgabe kann nat"urlich auch f"ur beliebige Wellenl"angen $\lambda$
gel"ost werden. Hierzu machen wir den naheliegenden Ansatz einer
harmonischen Welle $\psi_{n} = A cos(k n a - \omega t)$. Die L"osung
gestaltet sich am einfachsten, wenn man mit komplexen Zahlen rechnet.
Daher schreiben wir die harmonische Welle als Realteil der komplexen
Auslenkung
\begin{displaymath}
\psi_{n}(t) = A e^{i(kna - \omega t)}.
\end{displaymath}
Einsetzen in die Bewegungsgleichung f"uhrt auf
\begin{displaymath}
-m \omega^{2} = D (e^{ika} + e^{-ika} - 2) 
= 2 D (cos ka - 1) = -4D sin^{2}(\frac{ka}{2}) 
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\omega = 2 \sqrt{\frac{D}{m}} \; sin(\frac{ka}{2}).
\end{displaymath}
F"ur die Phasengeschwindigkeit ergibt sich
\begin{displaymath}
c = \frac{\omega}{k} = 2 \sqrt{\frac{D}{m}} \; \frac{sin(ka/2)}{k}
\end{displaymath}
Wir beobachten also Dispersion, d.h. die Phasengeschwindigkeit h"angt von 
der Wellenl"ange ab ($\lambda = 2\pi/k$). F"ur den Grenzfall 
$a \ll \lambda$ der vorliegenden Aufgabenstellung kann
$sin(ka/2) \approx ka/2$ approximiert werden, soda"s wiederum
\begin{displaymath}
c_{a \ll \lambda} = a \sqrt{\frac{D}{m}}.
\end{displaymath}
c) \underline{L"osung f"ur $\lambda < 2 a$} \newline
In diesem Fall nimmt $sin(ka/2)$ komplexe Werte an. Zusatzaufgabe f"ur
Leute, die bis hierin alles verstanden haben:
Diskutieren Sie diesen Grenzfall.  
\end{document}
