13. Übung

Bearbeitung vom 31.01.07 - 5.02.07

Aufgabe 1: Fehlerfortpflanzung
Ein Auto mit Masse $m = (940 \pm 10) \; kg$ Masse wird auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit von $v = (150 \pm 15) \; km/h$ geblitzt. Berechnen Sie die Kovarianzmatrix der Größen Impuls $p = m v$ und Energie $E = (1/2) m v^{2}$. Wie groß ist der Korrelationskoeffizient ?
Aufgabe 2: Variablentransformation
a) Gegeben sei die Standard- Normalverteilung in zwei Variablen,

$$f(x_{1},x_{2}) =\frac{1}{2 \pi} e^{-(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})/2}$$

Transformieren Sie diese Verteilung auf die neuen Koordinaten

$$y_{1} = x_{1} + x_{2}$$

$$y_{2} = \frac{x_{1}}{x_{2}}$$

und zeigen Sie, daß die Randverteilung in $y_{2}$ eine Cauchy- Verteilung ist.
b) Entwickeln Sie hieraus einen Algorithmus zur Simulation von Veränderlichen einer Cauchy- Verteilung und erstellen Sie hiervon ein Histogramm.
Anmerkung:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \; \vert x\vert\; e^{-a x^{2}} = \frac{1}{a}.$$

Aufgabe 3: Maximum Likelihood
Die Zerfallszeiten $t_i$ (in $\mu s$) ruhender Myonen werden gemessen:

$$1.05, \; 1.74, \; 4.50, \; 0.87, \; 1.20, \; 1.44, \; 7.02, ... ... \; 1.27, \; 0.12, \; 2.93, \; 0.75, \; 6.45, \; 3.14, \; 1.56$$

Bestimmen Sie mit Hilfe eines Maximum-Likelihood-Fits einen Estimator für die mittlere Lebensdauer $\tau$ nebst Fehler. Vergleichen Sie mit dem Literaturwert der mittleren Lebensdauer von $\tau = 2.197 \mu \, s$.