\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\centerline{13. "Ubung}
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\centerline{Bearbeitung vom 31.01.07 - 5.02.07}
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{\bf Aufgabe 1: Fehlerfortpflanzung} \newline
Ein Auto mit Masse $m = (940 \pm 10) \; kg$ Masse wird auf der Autobahn mit einer Geschwindigkeit
von $v = (150 \pm 15) \; km/h$ geblitzt. Berechnen Sie die Kovarianzmatrix der Gr"o"sen Impuls
$p = m v$ und Energie $E = (1/2) m v^{2}$. Wie gro"s ist der Korrelationskoeffizient ?
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{\bf Aufgabe 2: Variablentransformation} \newline
a) Gegeben sei die Standard- Normalverteilung in zwei Variablen,
\begin{displaymath}
f(x_{1},x_{2}) =\frac{1}{2 \pi} e^{-(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})/2}
\end{displaymath}
Transformieren Sie diese Verteilung auf die neuen Koordinaten
\begin{eqnarray}
y_{1} &=& x_{1} + x_{2} \nonumber \\
y_{2} &=& \frac{x_{1}}{x_{2}} \nonumber
\end{eqnarray}
und zeigen Sie, da"s die Randverteilung in $y_{2}$ eine Cauchy- Verteilung ist. \newline
b) Entwickeln Sie hieraus einen Algorithmus zur Simulation von Ver"anderlichen einer Cauchy- Verteilung und
erstellen Sie hiervon ein Histogramm. \newline
Anmerkung: 
\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^{\infty} dx \; |x|\; e^{-a x^{2}} = \frac{1}{a}.
\end{displaymath}
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{\bf Aufgabe 3: Maximum Likelihood} \newline
Die Zerfallszeiten $t_i$ (in $\mu s$) ruhender Myonen werden gemessen:
\begin{displaymath}
1.05, \; 1.74, \; 4.50, \; 0.87, \; 1.20, \; 1.44, \; 7.02, \; 1.72, \; 1.27, \; 0.12,
\; 2.93, \; 0.75, \; 6.45, \; 3.14, \; 1.56
\end{displaymath}
Bestimmen Sie mit Hilfe eines Maximum-Likelihood-Fits einen Estimator
f\"ur die
mittlere Lebensdauer $\tau$ nebst Fehler.
Vergleichen Sie mit dem
Literaturwert der mittleren Lebensdauer von $\tau = 2.197 \mu \, s $.
\end{document}
