12. Übung

Bearbeitung vom 24.01.07 - 29.01.07

Aufgabe 1: Variablentransformation
Die $\chi^{2}$- Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden lautete:

$$\chi^{2}(x) = \frac{1}{2^{n/2} \Gamma( n/2)} x^{n/2-1} e^{-x/2}, \; \; \; \; \; x>0$$

Zeigen Sie, daß man aus der $\chi^{2}$- Verteilung mit 3 Freiheitsgraden mit Hilfe der Transformnation $x = m v^{2}/(kT)$ die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung von Atomen oder Molekülen in einem idealen Gas erhält (siehe auch Aufgabe 3 im Übungsblatt Nr.8):

$$f(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{3/2} v^{2} e^{-mv^{2}/(2kT)}.$$

Anmerkung: Für die Gammafunktion gilt: $\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2$.

Aufgabe 2: Zweidimensionale Verteilungen
Im folgenden sind 3 zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichten angegeben:

$$f(x,y) = 2 \; \; \; \; \; \; \; \; fuer \; \; \; 0 < x < y, \; \; \; 0 < y < 1$$ (1)

$$= 0 \; \; \; \; \; \; \; \; sonst$$

$$f(x,y) = x e^{-(x+y)} \; \; \; \; \; \; \; \; x,y > 0$$ (2)

$$f(x,k) = (k+1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k!} x^{k} \; \; \; \; \;\; \; \; 0 < x < 1, \; \; \; \; \; \; \; \; k \geq 0, \; \;ganzzahlig$$ (3)

a) Bei welchen Verteilungen sind die beiden Variablen korreliert ?
b) Bestimmen Sie die eindimensionalen Randverteilungen (eine unendliche Summe braucht nicht ausgewertet zu werden).
Anmerkung: Es gilt $\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax} dx = n!/a^{n+1}$ für $n>0$, ganzzahlig.

Aufgabe 3: Korrelationen
In den 3 Files file1.dat, file2.dat, file3.dat haben wir Stichproben aus zweidimensionalen Verteilungen mit jeweils $N = 10000$ Wertepaaren abgespeichert. Bestimmen Sie die Korrelationskoeffizienten einschließlich der Fehler. Tragen Sie die Stichproben in 2-dimensionale Histogramme ein und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse visuell. Vergleichen Sie auch die Randverteilungen der 3 Stichproben miteinander.